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2021 届会昌中学宁师中学第三次联考
高二文科数学试题
考试用时：120 分钟 满分分值：150 分 2019 年 9 月 26 日
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知直线 l1： 3 1 0ax y 与直线 l2：6 4 3 0x y 垂直，则 a 的值为（ ）
A．2 B． 9
2 C．﹣2 D． 9
2
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
3．如图所示是水平放置三角形的直观图，点 D 是△ABC 的 BC 边中点，AB，BC 分别与 y′
轴、x′轴平行，则三条线段 AB，AD，AC 中（ ）
A．最长的是 AB，最短的是 AC
B．最长的是 AC，最短的是 AB
C．最长的是 AB，最短的是 AD
D．最长的是 AC，最短的是 AD
4．已知向量a与b 的夹角为120， 3a ，| | 13a b ，则| |b （ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则 m⊥β；
③若 m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若 m∥n，n⊂α，则 m∥α.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．若将函数 2sin 16f x x
的图象上各点横坐标缩短到原来的 1
2 (纵坐标不变)得到
函数 g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 g x 在 0 6
， 上单调递增 B．函数 g x 的周期是
2
C．函数 g x 的图象关于点 012
， 对称 D．函数 g x 在 0 6
， 上最大值是 1
7．已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面边长为 1，侧棱长为 2， E 为 1AA 的中点，从 E 拉一
条绳子绕过侧棱 1CC 到达 B 点的最短绳长为（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
8．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2，侧视
图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且 1AB BC ，则异面直线 PB 与CD所成角
的正切值是（ ）
A．1 B． 2 C． 1
2 D． 2
2
8．已知直线 y x m 与曲线 2 2y x x 有两个不同交点，
则（ ）
A. 0 2 1m B. 0 2 1m
C. 2 1 2 1m D. 0 2 1m
10．如图，在四面体 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，
E 是 AC 的中点，则下列正确的是（ ）
A．平面 ABC 平面 ABD
B．平面 ABD 平面 BDC
C．平面 ABC 平面 BDE，且平面 ADC 平面 BDE
D．平面 ABC 平面 ADC，且平面 ADC 平面 BDE
11．已知 0m ， 0xy ，当 2x y 时，不等式 2 4m
x y
恒成立，则 m 的取值范围是
A． 2, B． 2, C．0, 2 D． 0,2
12．如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H，以下四个命题：
①点 H 是△A1BD 的垂心；
②AH 垂直平面 CB1D1
③直线 AH 和 BB1 所成角为 45°；
④AH 的延长线经过点C1
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上）
13．已知等差数列{ }na 的前n 项和为 nS ，若 5 7 9 15a a a ，则 13S ________.
14．已知实数 ,x y 满足约束条件
0
4 0
1
x y
x y
y
，则 2z x y 的最大值是 ．
15．圆 2 2
1 : 4 3 0C x y x 与圆 2 2
2 :( 1) ( 4)C x y a 恰有三条公切线，则实数 a 的值
是 ．
16．在三棱锥 S ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，SA＝SB＝SC
＝10，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于 D，E，F，H，
且 D，E 分别是 AB，BC 的中点，如果直线 SB∥平面 DEFH，那
么四边形 DEFH 的面积为 ．2
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分 10 分) 设数列{ }na 的前n项和为 nS ， *1 ( )n nS a n N .
（1）求数列{ }na 的通项公式；（2）设 2logn nb a ，求数列
1
1
n nb b
的前n 项和 nT .
18．（本小题满分 12 分）如图所示， ABC 是正三角形，线段 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC ，
设 2EA AB DC ，且 F 为 BE 的中点.
（1）求证： DF ∥平面 ABC ；（2）求证： AF BD .
19．（本小题满分 12 分）如图，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上，
且满足 AE:EB＝CF:FB＝2:1，CG:GD＝3:1，过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H.
（1）求 AH:HD；（2 求证：EH、FG、BD 三线共点．
20．（本小题满分 12 分）在 ABC△ 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c，若 tan 21 tan
A c
B b
．
（1）求角 A的大小．
（2）若函数 2 π( ) 2sin 3 cos24f x x x
， π π,4 2x
，在 x B 处取到最大值 a ，求 ABC△
的面积．
21．（本小题满分 12 分）如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC
＝2，CD＝1＋ 3 ，过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，现将△ADE 沿 AE 折叠，使得 DE⊥EC.
（1）求证：BC⊥面 CDE;
（2）在线段 AE 上是否存在一点 R，使得面 BDR⊥面 DCB，若存在，求出点 R 的位置；若
不存在，请说明理由.
22．（本小题满分 12 分）已知圆C ： 22 3 1x y 与直线 m ： 3 6 0x y ，动直线l 过
定点 ( 1,0)A .
（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
（2）若直线l 与圆C 相交于 P 、Q两点，点 M 是 PQ 的中点，直线l 与直线 m 相交于点 N．探
索 AM AN 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．1
2021 届会昌中学宁师中学第三次联考文科数学参考答案
一、选择题
CDBCA ACDAC BD
二、填空题
13．65 14． 1 15．16 16．10
三、解答题
17.（1）因为 *1n nS a n N ，所以 1 11n nS a （ *n N ，且 2n ），
则 1 11 1n n n nS S a a （ *n N ，且 2n ）
即 1
1
2n na a （ *n N ，且 2n ） .………………………………2 分
因为 *1n nS a n N ，所以 1 1 11S a a ，即 1
1
2a .………………………3 分
所以 na 是以 1
2
为首项， 1
2
为公比的等比数列.
故 *1
2
n
na n N
.. . ………………………………5 分
（2） 2logn nb a ，所以 2
1log 2
n
nb n
. .. . ………………………………6 分
所以 1
1 1 1 1
1 1n nb b n n n n
， .. . ………………………………8 分
故 1 1 11 2 2 3nT 1 1 111 1 1
n
n n n n
. ………………10 分
18．（1）证明:如图所示,取 AB 的中点G ,连接 ,CG FG .
∵ ,EF FB AG GB ,∴ .. . ………………………………2 分
又 ∴ ∴四边形CDFG 为平行四边形. 故 DF CG .……4 分
∵ DF 平面 ABC ,CG 平面 ABC ,∴ DF 平面 ABC ……………………..5 分
（2）证明:∵ EA 平面 ABC ,∴ .AE CG 又 ABC 是正三角形,∴ .CG AB
∴CG 平面 .AEB .. . ………………………………7 分
又∵ DF CG ,∴ DF 平面 AEB .∴ .AF DF …………………………9 分
∵ ,AE AB EF FB ,∴ .AF BE ∴ AF 平面 BED , ………………………11 分
∴ .AF BD ...………………………………12 分
19. （1）∵AE
EB
＝CF
FB
＝2，∴EF∥AC，
∴EF∥平面 ACD，而 EF⊂平面 EFGH， ...………………………………2 分
平面 EFGH∩平面 ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH. ...………………………………4 分
∴AH
HD
＝CG
GD
＝3，∴AH:HD＝3:1. ...………………………………6 分
（2）证明：∵EF∥GH，且EF
AC
＝1
3
，GH
AC
＝1
4
，
∴EF≠GH，∴四边形 EFGH 为梯形． ...………………………………8 分
令 EH∩FG＝P，则 P∈EH，而 EH
⊂
平面 ABD，
又 P∈FG，FG
⊂
平面 BCD， ...………………………………10 分
平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
∴P∈BD，∴EH、FG、BD 三线共点． .....……………………………12 分
20．解：（1）∵ sin cos 2sin1 cos sin sin
A B C
A B B
， .....……………………………1 分
∴ cos sin sin cos 2sin
cos sin sin
A B A B C
A B B
，∴ sin( ) 2sin
cos sin sin
A B C
A B B
，……………………………3 分
∴ sin 2sincos
C CA
，又∵sin 0C ，∴ 1cos 2A ，故 π
3A ．…………………………5 分
（2）∵ 2 π π2sin 3cos2 1 2sin 24 3f x x x x
，…………………………7 分
∴当 π π2 3 2x ，即 5π
12x 时， max 3f x ，此时 5π
12B ， π
4C ， 3a ， ……9 分
∵
sin sin
a c
A C
，∴
723sin 2 673sin
2
a cC A
， …………………………10 分
则 1 1 6 2 9 3 3sin 3 62 2 4 4S ac B ． …………………………12 分
21.（1）∵AE⊥CD，∴AE⊥CE，AE⊥DE，
又CE DE E ， AE 平面CDE ． …………………………3 分
由已知易得 AE∥BC，∴BC⊥平面 CDE; ………………………5 分2
（2）存在，当 R 点满足 1
4AR AE 时，面 BDR 面 BDC ．………………………6 分
证明：如图，过点 E 作 EF⊥CD 交 CD 于 F，易得 1
4CF CD ，…………………7 分
由（1）可知 BC⊥平面 CDE ，则 BC⊥EF，∴EF⊥平面 BCD，…………………9 分
过点 F 作 FG∥BC 交 BD 于 G，连结 GR，则 3
4FG BC ，
又 1
4AR AE ，且 BC∥AE，∴四边形 EFGR 是平行四边形， ………………11 分
∴EF∥GR，∴GR⊥平面 BCD，又GR 平面 BDR，面 BDR 面 BDC ．…………12 分
22．解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 1x ，
此时与圆相切，符合题意； ………………………………1 分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 ( 1)y k x ，即 0kx y k ，
若直线与圆相切，则圆心(0,3) 到直线的距离等于半径 1，
所以 2
3 1
1
k
k
，解得 4
3k ，
所以直线l 的方程为 4 ( 1)3y x ，即 4 3 4 0x y . ………………………………4 分
综上，直线l 的方程为 1x 或 4 3 4 0x y .
直线l 的方程为 1x 或 4 3 4 0x y ． ………………………………5 分
（2）∵CM ⊥ MN ，∴ ( ) = + =AM AN AC CM AC AN CM AC AN AN NA
若直线l 与 x 轴垂直时，不符合题意； ………………………………7 分
所以l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ( 1)y k x ，
则由
3 6
( 1) 1 3
3 6 0 5
1 3
kxy k x k
x y ky k
，即 3 6 5( , )1 3 1 3
k kN k k
． ………………………9 分
∴ 5 5( , )1 3 1 3
kAN k k
，从而 5 15 51 3= 1 3=AN AN kAM AC k k
．
综上所述， = 5AAM N ． ………………………12 分
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