2019—2020IP 学年（上）高三第一次月考数学试卷（文科）
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．下列不等式中，正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．已知 ， ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
3．若函数 的图像如下图所示，则函数 的图像有可能是（ ）
A． B． C． D．
4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序
为
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
5．已知 是第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形 中，点 满足 ， 与 交于
点 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知正实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
( )y f x= ( )'y f x=
α 1sin cos 5
α α+ = cos sinα α− =
1
5
− 7
5
− 1
5
7
5
ABCD E F、 2 , 2BE EC CF FD= = EF AC
G AG GCλ= λ =
9
7
7
4
7
2
9
2
,m n 2 2 2m n m n+ + + = mnA． B．2 C． D．3
8．如图所示，设 为 所在平面内的一点，并且 ，则 与 的面
积之比等于（ ）
A. B. C. D.
9．已知点 ，O 为坐标原点，点 P（x，y）的坐标 x，y 满足
则向量 方向上的投影的取值范围是
A． B．[-3，3] C． D．
10．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．21+ B．18+
C．21 D．18
11．设 为等差数列 的前 n 项和，且 ， ，则 ( )
A． B． C．2018 D．2016
12．已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，若动点 P 满足
则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
3 0,
3 2 0,
0,
x y
x y
y
− ≤
− + ≥
≥
OP OA 在向量
6 3 2− 6 4 2−
2AP PB PC= +
2
5
3
5
3
4
1
4
)3,3(A
]3,3[− ]3,3[− ]3,3[−
( ), 0, ,
sin sin
AB ACOP OA
AB B AC C
λ λ
= + + ∈ +∞
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 是虚数单位，复数 ，则在复平面上复数 对应的点坐标______.
14．已知关于 的不等式 的解集是 ，则 .
15．将函数 的图像向左平移 个单位得到一个偶函数的图像，则
____．
16．已知结论：在正 中，若 是边 的中点， 是 的重心，则 .若
把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体 中，若 的中心
为 ，四面体内部一点 到四面体各面的距离都相等，则 __________．
三、解答题（70 分）
17．（10 分）已知集合 ， ，求：
（1） ；
（2） ．
18．（12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和为 ．
i 1z i= − z
x ( 1)( 1) 0ax x− + > 1( , 1) ( , )2
−∞ − ∪ +∞ a =
ABC D BC G ABC 2AG
GD
=
ABCD BCD
M O AO
OM
=
{ | 3 3}A x x x= < − >或19．（12 分）在△ABC 中，a=7，b=8，sinB= ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求 AC 边上的高．
20．（12 分）如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，
E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．
21．（12 分）围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需
维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所
示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x（单
位：元）。
4 3
7（Ⅰ）将 y 表示为 x 的函数；
（Ⅱ）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
22．（12 分）已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
( ) ( 1) ( 0, )xf x ax e x a R= − > ∈ e
( )f x
1a = ( ) 2f x kx> − k2019—2020IP 学年（上）高三第一次月考数学试卷（文科）参考答案
1．A【详解】若 ，则 ,故 B 错，设 ,则 ， 所以
C、D 错，故选 A
2．D【详解】由于 、 、 、 成等差数列，则 ，又 、 、 成等比
数列，则 ， ，当 时， ；当 时，
，因此， 或 ，故选：D。
3．A【详解】由 的图象可知：在 ， 单调递减，所以当 时，
在 ， 单调递增，所以当 时， 故选 A.
4．A【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人
成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测
正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预
测正确，不符合题意，故选 A．
5．B【详解】由题意可得： ，故
， 是第二象限角，则 ，故
.
6．C【详解】设 是 上除 点外的令一个三等分点，连接 ，连接
交 于 ，则 .在三角形 中， 是两条中线的交点，
故 是三角形 的重心，结合 可知 ，由于 是
中点，故 .所以 ，由此可知 ，故选 C.
7．C【解析】 ，
当且仅当 m=n 时取等号。
8．D【详解】延长 AP 交 BC 于点 D，因为 A、P、D 三点共线，所以
，设 代入可得
即
又因为 ，即 ，且 解得 所以
可得 因为 与 有相同的底边，所以面积之比就等于
与 之比 所以 与 的面积之比为
9．A【解析】因为点 ，O 为坐标原点，点 P（x，y）的坐标 x，y 满足
不等式组，那么 则根据投影的几何意义可知，向量 在向量 OA 方向上的投
影的取值范围是 ，
10．A 试题分析：由题意，该多面体的直观图是一个正方体 挖去左下角
三棱锥 和右上角三棱锥 ，如下图，则多面体的表面积
( )f x ( ,0)−∞ ( )f x ( , 0)x ∈ −∞ ' ( )f x
0;<
(0, )+∞ ( )f x (0, )x∈ +∞ ' ( )f x 0;>
1 241 2sin 2cos ,2sin cos25 25
α α α+ = = −
2 49(cos sin ) 1 2sin 2cos 25
α α α− − == α cos 0,sin 0α α< >
7
5cos sinα α− = −
H BC E FH BD
AC O / /BD FH CFH ,CG FG
G CFH 2
3
CH CF
BH DF
= = 2
4.5
CG
CO
= O
AC 2 2
4.5 2 9
CG
AC
= =×
7
2
AG
CG
=
7
2
λ =
( )2 20, 0 2 2 2 2 2m n m n m n mn mn mn> > ∴ = + + + ≥ + = +
( )
( )( ) ( )22 2 22 2 2 0 2 2 6 4 2.
2 2 2 2 2 2
mn mn
× −
∴ ≤ = = − ∴ < ≤ − = −
+ + −
)3,3(A
OP
]3,3[−
' ' ' 'ABCD A B C D−
A EFG− ' ' ' 'C E F G−.故选 A.
11．A【详解】因为数列 为等差数列， ，
所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列。所以 ，所
以 。所以 。
12．C【解析】在 中，由正弦定理得 ，设
边上的中点为 ，由已知可得 ，
故 点的轨迹在三角形的中线上，则 点轨迹一定通过三角形的重心，故选 C.
13． 【详解】因为 ，对应点坐标为
14 ． 2 试 题 分 析 ： 化 分 式 不 等 式 为 整 式 不 等 式 ， 根 据 解 集 是
得， ,方程的两实根分别为 ， ，所以 = ，a=2
15． 【详解】将函数 的图像向左平移 个单位得到 的图像，
其图像关于 轴对称，所以有 ， ，又 ，所以 .
16．3【解析】推广到空间，则有结论：“ 3”．设正四面体 ABCD 边长为 1，易
求得 AM= ，又 O 到四面体各面的距离都相等，所以 O 为四面体的内切球的球
心，设内切球半径为 r，则有 r= ，可求得 r 即 OM= ，所以 AO=AM-OM= ，所以
3
17．
（1） （2）
18．详解：（Ⅰ）当 时， ，当 时， ， ，
相减得： ，综上，数列 的通项 .
（Ⅱ）令 ，则 ①，
① ，得 ②，① ②，得
所以 .
19．解：（1）在△ABC 中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB= ．由
正弦定理得 = ，∴sinA= ．∵B∈（ ，π），∴A∈（0，
1 1 32 2 6 1 1 6 2 2 2 21 32 2 2S = × × − × × × + × × ⋅ × = +
ABC∆
sin sin
AB AC
C B
= sin sin ,AB B AC C k BC= =
D ( ) 2,AB ACOP OA AP AB AC ADk k k k
λ λλ − = + = + =
即
P P
(1,1). 2 2 ( 1) 1 11 2
i i iz i z ii
− −= = = − ∴ = +− (1,1).
( 1)( 1) 0ax x− + >
1( , 1) ( , )2
−∞ − ∪ +∞ 0a > 1−
a
1
a
1
2
1
AO
OM
=
6
3
3V
S
6
12
6
4
AO
OM
=
1
7
π
2
2 4 31 cos 7B− =
sin sin
a b
A B
= ⇒ 7
sinA
8
4 3
7
3
2
π
2），∴∠A= ．
（2）在△ABC 中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= = ．
如图所示，在△ABC 中，∵sinC= ，∴h= = ，∴AC 边上的高为
．
20．（1）连接 ，
， 分别为 ， 中点 为 的中位线
且
又 为 中点，且 且
四边形 为平行四边形
，又 平面 ， 平面
平面
（2）在菱形 中， 为 中点，所以 ，根据题意有 ， ，
因为棱柱为直棱柱，所以有 平面 ，所以 ，所以
，
设点 C 到平面 的距离为 ，根据题意有 ，则有
，解得 ，
所以点 C 到平面 的距离为 .
21．（1）如图，设矩形的另一边长为 a m 则 45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知 xa=360,得 a= , 所以 y=225x+
（2）
．当且仅当 225x= 时，等号成立．
即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元．
22．（1）
当 时， 在 上递增；当 时，令 ，解得：
在 上递减，在 上递增；
当 时， 在 上递减
（2）由题意得： 即 对于 恒成立
π
2
π
3
3 1 1 4 3
2 7 2 7
× − + ×
3 3
14
h
BC sinBC C⋅ 3 3 3 37 14 2
× =
3 3
2
ME 1B C
M E 1BB BC ME∴ 1B BC∆
1/ /ME BC∴ 1
1
2ME B C=
N 1A D 1 1/ /AD BC 1/ /ND BC∴ 1
1
2ND B C=
//ME ND∴ ∴ MNDE
/ /MN DE∴ MN ⊄ 1C DE DE ⊂ 1C DE
/ /MN∴ 1C DE
ABCD E BC DE BC⊥ 3DE = 1 17C E =
DE ⊥ 1 1BCC B 1DE EC⊥
1
1 3 172DECS∆ = × ×
1C DE d 1 1C CDE C C DEV V− −=
1 1 1 13 17 1 3 43 2 3 2d× × × × = × × × × 4 4 17
1717
d = =
1C DE 4 17
17
( ) ( ) ( )1 , 0,xf x ax e x a R= − > ∈ ( ) ( )1 xf x ax a e ⇒ = − − ′
1a ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x⇒ ( )0, ∞+ 0 1a< < ( ) 0f x′ =
1 ax a
−= ( )f x⇒ 10 a, a
−
1 ,a
a
− +∞
0a ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x⇒ ( )0, ∞+
( ) ( )1 xf x x e= − ( )1 2xx e kx− > − 0x >方法一、令 ，则
当 时， 在 上递增，且 ，符合题意；
当 时， 时， 单调递增
则存在 ，使得 ，且 在 上递减，在 上递增
由 得： 又 整数 的最大值为
另一方面， 时， ，
， 时成立
方法二、原不等式等价于： 恒成立
令
令 ，则
在 上递增，又 ，
存在 ，使得
且 在 上递减，在 上递增
又 ，
又 ，整数 的最大值为
( ) ( ) ( )1 2 0xg x x e kx x= − − + ≥ ( ) ( )0xg x xe k x= − ≥′
0k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x⇒ ( )0, ∞+ ( )0 1 0g = >
0k > ( ) ( )1 xg x x e′ = +′ 0x⇒ ≥ ( )g x′
0 0x > ( ) 0
0 0 0xg x x e k′ = − = ( )g x ( ]00, x [ )0 ,x +∞
( ) ( ) ( ) 0
0 0 0min 1 2 0xg x g x x e kx⇒ = = − − + >
0
0
0
1 2 0x k kxx
−∴ ⋅ − + >
0
0
2
1 1
k
x x
⇒ < + −
0
0
1 2x x
+ ≥ 0 2k< < k Z∈ ⇒ k 1
1k = 1 1 02 2
eg = −
0
1 ,12x ∴ ∈
( )
0
0
2 1,2
1 1x x
∈ + −
1k∴ =
( ) ( )1 2 0
xx ek xx
− +< >
( ) ( ) ( )1 2 0
xx eh x xx
− += > ( ) ( ) ( )
2
2
1 2
0
xx x e
h x xx
+ −
⇒ ′
−
= >
( ) ( ) ( )2 1 2 0xt x x x e x= − + − > ( ) ( )1 0xt x x x e= + >′
( )t x∴ ( )0, ∞+ ( )1 0t > 1 3 2 02 4t e = −
微信/支付宝扫码支付