沈阳铁路实验中学 2019-2020 学年度上学期 10 月月考试题
高三数学
时间：120 分钟 分数：150 分
命题人;
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一. 选择题: 本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合 A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1 2 2 4 3n n na a S+ = +（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
20.（本小题满分 12 分）在锐角 中， ， .
（1）若 的面积等于 ，求 、 ；
（2）求 的周长的取值范围.
21.（本小题满分 12 分）已知 ．
（1）求函数 在定义域上的最小值；
（2）求函数 在 上的最小值；
（3）证明：对一切 ， 都成立.
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请将相应题号涂
黑.
22.（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）．以 为极点， 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、 ，与
直线 的交点为 ，求线段 的长．
23.（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲
已知函数 ，
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围.
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n
ABC∆ 2c = 3 2 sina c A=
ABC∆ 3 a b
ABC∆
( ) lnf x x x=
( )f x
( )f x [ , 2]( 0)t t t+ >
(0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex
> −
−
x yΟ C 1{ x cos
y sin
ϕ
ϕ
= +
= ϕ Ο x
C
l 2 sin 3 33
πρ θ + = :ΟΜ
3
πθ = C Ο Ρ
l Q QΡ
−
( ) 1f x x a x= − + − a R∈
3a = ( ) 4f x ≤
( ) 2f x < a参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. D 2. A 3. A 4. C 5. C 6. B
7. D 8. B 9. B 10. A 11. C 12. A
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 14. 15. . 16. ①④
三．解答题
17．（1）单调递增区间为 （2）最大值为 3，最小值为 0.
【解析】
试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函数的
递增区间即可；
（2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最
小值即可．
试题解析：（1）由 得 ，
所以 .
由 得 ，
即函数 的单调递增区间为
（2）由题意知
因为 ，
故当 时， 有最大值为 3；
当 时， 有最小值为 0.
, ,3 6k k k Z
π ππ π − + + ∈
f x（ ）
g x（ ）
m n⊥ 22cos 2 3sin cos 0m n x x x y ⋅ = + − =
22cos 2 3sin cos 1 cos2 3sin2 2sin 2 16y x x x x x x
π = + = + + = + +
2 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ,3 6k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
2sin 2 16y x
π = + + , ,3 6k k k Z
π ππ π − + + ∈
( ) 2sin 16g x x
π = − +
[ ] 50, , ,6 6 6x x
π π ππ ∈ ∴ − ∈ −
6 2x
π π− = ( )g x
6 6x
π π− = − ( )g x故函数 在 上的最大值为 3，最小值为 0.
18．（I） ；（II） （km/h）；（III）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ） 表示 80 左边小矩形的和；（Ⅱ）根据频率分布直方图计算平
均车速就是每个小矩形的中点值乘以本组的频率（本组小矩形的面积）和；（Ⅲ）分别计算
车速在 和 的车辆，然后再分别编号，列举所有抽取 2 辆车的基本事件，再计算两
辆车都落在区间 的基本事件的个数，相除就是概率.
试题解析：（Ⅰ）速度低于 80km/h 的概率约为： .
（Ⅱ）这 40 辆小型车辆的平均车速为：
（km/h），
（Ⅲ）车速在 内的有 2 辆，记为 车速在 内的有 4 辆，记为 ，从中抽 2
辆，抽法为 共 15 种，
其中车速都在 内的有 6 种，故所求概率 .
19．（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）令 ，由 代入题中等式得出 的值，再令 ，由 得
出 ，将两式相减，经化简得出 ，结合等差数列的定义求
出数列 的通项公式；
（Ⅱ）先将数列 表示为 ，再利用裂项求和法求出数列 的前
项和.
【详解】
（Ⅰ）当 时，由题意可得 ，即 ，
，解得 ；
当 时，由 ，得 ，
( )g x [ ]0,x π∈
2 1n + 1 1
6 4 6n
− +
1n = 1 1S a= 1a 2n ≥ 2 2 4 3n n na a S+ = +
2
1 1 12 4 3n n na a S− − −+ = + 1 2n na a −− =
{ }na
{ }nb 1 1 1
2 2 1 2 3nb n n
= − + +
{ }nb
n
1n = 2
1 1 1 12 4 3 4 3a a S a+ = + = + 2
1 12 3 0a a− − =
1 0a > 1 3a =
2n ≥ 2 2 4 3n n na a S+ = + 2
1 1 12 4 3n n na a S− − −+ = +上述两式相减得 ，即 ，
，
，则 ， ，即 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
因此， ；
（Ⅱ） ， ，
因此，数列 的前 项和为
.
【点睛】
本题考查利用前 项和求通项，考查裂项法求和，解题时要熟悉裂项求和所适用的数列通项的
结构，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.
20．（1） （2） .
【解析】试题分析：（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积，余弦定理转化求解
即可；
（2）利用正弦定理表示三角形的周长，利用三角函数的有界性求解即可．
试题解析：
（1）由 及正弦定理得： ，
又 ， .又 为锐角，故 ，
又 ，
由 得 ，
所以由 解得 .
2 2
1 12 2 4n n n n na a a a a− −− + − = 2 2
1 12 2 0n n n na a a a− −− − − =
( )( )1 1 2 0n n n na a a a− −∴ + − − =
0na > 1 0n na a − >+ 1 2 0n na a −∴ − − = 1 2n na a −− =
{ }na 3 2
( )3 2 1 2 1na n n= + − = +
2 1na n= + ( )( )1
1 1 1 1 1
2 1 2 3 2 2 1 2 3n
n n
b a a n n n n+
∴ = = = − + + + +
{ }nb n 1 1 1 1 1 1 1 1 1+2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 3nT n n
= − + − + − + +
1 1 1 1 1
2 3 2 3 6 4 6n n
= − = − + +
n
2{ 2
a
b
=
= (2 2 3,6+
3 2 sina c A= 3sin 2sin sinA C A=
sin 0A ≠ 3sin 2C∴ = C 3C
π=
1 sin 32ABCS ab C∆ = = 4ab∴ =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2a b ab= + − 2 2 4a b ab+ − =
2 2
4{ 4
ab
a b ab
=
+ − =
2{ 2
a
b
=
=（2）由正弦定理得 ， ，记 周长为 ，则
，
又 ，
，
为锐角三角形，
.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵
活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
21．（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出导数，极值点和单调区间，可得极小值和最小值；
（Ⅱ）讨论 时， 时，运用单调性，即可得到所求最小值；
（Ⅲ）问题等价于证明 ．由（1）设
，求出导数，求出最大值即可．
【详解】
4 sin
3
a A= 4 sin
3
b B= ABC∆ l
4 42 sin sin
3 3
l A B= + +
2
3A B
π+ =
4 42 sin sin
3 3
l A B∴ = + + 4 22 sin sin 33
A A
π = + + −
2 4sin 6A
π = + +
ABC∆ ,6 2A
π π ∴ ∈
(2 2 3,6l ∴ ∈ +
1
e
− ( )min
1 1,0
1,
te ef x
tlnt t e
− < − ∈ +∞
2( ) ( (0, ))x
xm x xe e
= − ∈ +∞解：（Ⅰ）由 得 ，
令 ，得 ．
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
可得最小值为
（Ⅱ）当 ，即 时，
当 ，即 时， 在 上单调递增，
此时
所以
（Ⅲ）问题等价于证明 ．
由（1）知 的最小值是 ，
当且仅当 时取到，设 ，
则 ，易知 ，当且仅当 时取到．
从而对一切 ，都有 成立．
【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区间和最值，注意运用分类讨论的方法和构造函数的方法，考
查运算能力，属于中档题．
22．（1） ；（2）2
【解析】试题分析：（I）把 cos2φ+sin2φ=1 代入圆 C 的参数方程为 （φ 为参
数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆 C 的极坐标方
ln 0f x x x x=（ ） ， ＞ ' ln 1f x x= +（ ）
' 0f x（ ）= 1x e
= 1x e
=
10,x e
∈ ' 0f x f x（ ）＜ ，（ ）
1 ,x e
∈ +∞ ' 0f x f x（ ）＞ ，（ ）
1 1f e e
= −
10 2t te
< < < + 10 t e
< < ( )min
1 1f x f e e
= = −
1 2t te
≤ < + 1t e
≥ f x（ ） [ ]2t t +，
min lnf x f t t t= =（ ） （ ）
( )min
1 1,0
1,
te ef x
tlnt t e
− < − ∈ +∞
ln 0f x x x x=（ ） ， ＞ 1
e
−
1x e
= ( ) ( )( )2 0,x
xm x xe e
= − ∈ +∞
( ) 1
x
xm x e
=′ − ( ) ( )max
11m x m e
= = − 1x =
0x∈ + ∞（ ， ） 1 2ln xx e ex
> −
2cosρ θ=
1{ x cos
y sin
ϕ
ϕ
= +
=程．（II ）设 P （ρ 1 ，θ 1 ），联立 ，解得 ρ1 ，θ 1 ；设 Q （ρ 2 ，θ 2 ），联立
，解得 ρ2，θ2，可得|PQ|．
解析：
（1）圆 的普通方程为 ，又 ，
所以圆 的极坐标方程为
（2）设 ，则由 解得 ，
设 ，则由 解得 ，
所以
23．（1） ；（2）
【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式，分段解不
等式即可；（2）根据题意将问题转化为 2≤f（x）min，由绝对值三角不等式得到函数最值，求
得参数范围即可。
解析：
（1）当 a=3 时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，
即有 f（x）=
不等式 f（x）≤4 即为 或 或 .
即有 0≤x＜1 或 3≤x≤4 或 1≤x＜3，则为 0≤x≤4，
则解集为[0，4]；
（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2 恒成立，
2
{
3
cosρ θ
πθ
=
=
( )sin 3cos 3 3
{
3
ρ θ θ
πθ
+ =
=
C ( )2 21 1x y− + = cosx ρ θ= siny ρ θ=
C 2cosρ θ=
( )1 1,ρ θΡ
2
{
3
cosρ θ
πθ
=
= 1 1ρ = 1 3
πθ =
( )2 2Q ,ρ θ
( )sin 3cos 3 3
{
3
ρ θ θ
πθ
+ =
= 2 3ρ = 2 3
πθ =
Q 2Ρ =
[ ]0,4 ( ] [ ), 1 3,−∞ − ∪ +∞
4 2 , 1
{ 2,1 3,
2 4, 3
x x
x
x x
− <
≤ <
− ≥
1{ 4 2 4
x
x
<
− ≤
3{ 2 4 4
x
x
≥
− ≤
1 3{ 2 4
x≤ <
≤∴2≤f（x）min；
由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，
即 f（x）min=|1﹣a|，
∴|1﹣a|≥2，即 a﹣1≥2 或 a﹣1≤﹣2，
解得 a≥3 或 a≤﹣1．
∴实数 a 的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．
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