重庆市第一中学2020届高三上学期10月考试数学（文）（含答案）.doc

秘密★启用前 【考试时间：10 月 19 日 7:40 — 9:40】 2019 年重庆一中高 2020 级高三上期 10 月月考 数学（文科）试题卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 第 Ⅰ 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目 要求的） 1. 设集合 ， ，则 ( ) A． B． C． D． 2. 已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 ( ) A． B． C． D. 3. 已知向量 ， ，则 ( ) A． B． C． D． 4. 已知数列 是等差数列且 ，设其前 项和为 . 若 ，则 ( ) A． B． C． D． 5. 已知平面 ，直线 满足 ，则“ ”是“ ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分 也不必要条件 6. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 . 若 ，则 ( ) A． B． C． D． { }2 2 0M x x x= − + + ≥ { }1N x x= < M N = { }1x x < { }1 1x x− ≤ < { }2x x ≤ { }2 1x x− ≤ < z 1z i= + i z z = 2 2 2 2 i− 2 2 2 2 i+ 2 2i− 2 2i+ (1,1)a = ( 1,1)b = − 2a b+ =  10 10 5 5 { }na 0na > n nS 2 1 9 5a a a+ = 9S = 36 27 18 9 α ,m n ,m nα α⊄ ⊂ m n∥ m α∥ { }na n nS 4 2 33 , 2S S a= = 1a = 1 4 1 2 1 4O A D B C P Q 7. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ( ) A． B． C． D. 8. 函数 的部分图象大致是( ) 9. 已知 为第二象限角， ，则 ( ) A． B． C． D. 10. 在正方体 中，若点 为正方形 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A． B． C． D. 11. 已知函数 ，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 . 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说 法中正确的是( ) A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 的图象关于点 对 称 C．函数 在 上为增函数 D．函数 在 上为减函数 12. 如图，三棱锥 的顶点 都在同一球面上， 过球心 ， ， 是边长为 4 的等边三角形，点 分别为线段 上的动点（不含端 α 1 1, 2( ) 2 log ( 0, 1), 2a x xf x x a a x  + ≤=   > ≠ > 且 R a (1,+ )∞ ( )2,+∞ )2, +∞ (1, 2 2 ( )cos( ) x xe e xf x x −−= 3sin( )4 3 πα + = sin(2019 2 )π α− = 5 3 ± 5 3 − 1 3 ± 1 3 − 1 1 1 1ABCD A B C D− M ABCD 1AB 1D M 6 6 3 3 3 6 2 2 3 ( ) sin(2 ) ( 0, )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < 2 π ( )y f x= 3 8 π ( )f x 8x π= − ( )f x ( ,0)8 π ( )f x ,04 π −   ( )f x 0, 3 π     A BCD− , , ,A B C D BD O 4 2BD = ABC∆ ,P Q ,AO BC点），且 ，则三棱锥 体积的最大值为( ) A． B． C． D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 曲线 在点 处的切线方程为_________. 14. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为_________. 15. 若锐角 的面积为 ，且 ， ，则 _________. 16. 已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则 _________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每 个试题考生 都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 已知公差 的等差数列 满足 ，且 成等比数列. （1）求 的通项公式； （2）若 是 的前 项和，求数列 的前 n 项和 . 18.（12 分） 已知 分别是 内角 的对边， . （1）求角 的大小； （2）若 ，且点 是 边上的一点， ，求 的长度. AP CQ= P QOC− 2 3 2 3 1 3 4 2 4 3 − lny x x= (1,0) ,x y 3 0 0 2 0 x x y x y − ≤  + ≥  − − ≥ 2z y x= − ABC∆ 10 3 5AB = 8AC = BC = { }na n nS 21 (4 1)n nS a += 216 8 402 4 2 4 6 8 40 1 1 11 1 ( 1)1 1 1 1 1 a a aa a S S S S S + + ++ +− + − + + − =− − − − − 0d ≠ { }na 1 1a = 1 2 4, ,a a a { }na nS { }na n 1 nS       nT , ,a b c ABC∆ , ,A B C 1cos ( cos cos ) 2A c B b C a+ = − A 4, 4 3b a= = D BC 7AD = DCA N C M B E D 19.（12 分） 如图，等腰梯形 中， ， 为线段 上一点，且 ，以 为折痕将四边形 折起，使 到达 的位置，且 . （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. 20.（12 分） 已知 为坐标原点， 为椭圆 ： 的上焦点， 上一点 在第一象限，且 ． （1）求直线 的方程； （2）若斜率为 的直线 交椭圆 于不同的两点 ，求 面积的最大值． 21.（12 分） 已知函数 ，设 为 的导函数. （1）设 在区间 上单调递增，求 的取值范围； （2）若 时，函数 的零点为 ，函数 的极小值点为 ，求证： . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （10 分） 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点，以 轴的非负 半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； MNCD 1, 2, 602MD NC MN MD CDM °= = ∠ =∥ E MD 3ME = EC MNCE MN AB AE DC⊥ DE ⊥ ABCE A DBE O F C 2 2 14 9 x y+ = C A 5OA = AF 1 2 − l C M N、 OMN∆ ( ) (1 ln )xf x e a x= + '( )f x ( )f x 2( ) ( )xg x e f x x x−= + − [ ]1,2 a 2a > ( )f x 0x '( )f x 1x 0 1x x> 1C 2 cos 3sin x y ϕ ϕ  = = ϕ O x 2C sin( ) 14 πρ θ − = 1C 2C（2）若射线 与曲线 交于点 ，求 的取值范围． 23. [选修 4—5：不等式选讲] （10 分） 已知函数 ( )的值域为 . （1）若 ，求 的值； （2）证明： . 2019 年重庆一中高 2020 级高三上期 10 月月考 数学（文科）试题卷（参考答案） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B C A C D B D C C A 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.（1）由条件知 ， 又 ，则有 ，又 ，故 ，故 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）由（1）可得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 即 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 18. （1）由正弦定理可得 ， 即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 : ( )2OM πθ α α π= < < 1C M 2 1 OM ( )f x x b x a= + + − 0, 0a b> > [1, )+∞ a b= a 2 2 1 4a b ab+ − ≥ 1y x= − 9− 7 40 41 2 2 2 1 4 1 1 1( ) ( 3 )a a a a d a a d= ⇒ + = + 1 1a = ( 1) 0d d − = 0d ≠ 1d = na n= ( 1) 1 2 1 12( )2 ( 1) 1n n n nS S n n n n += ⇒ = = −+ + 1 1 1 1 1 1 12(1 )2 2 3 3 4 1 1 22 1 1 1n n n nT n n =  × − = + + − + − + − + − =+  1cos (sin cos sin cos ) sin2A C B B C A+ = − 1cos sin sin2A A A= −又 ， ，故 ，所以 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）在 中，由正弦定理得 ，所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 故在 中， . 在 中，由余弦定理 ， 得 ，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 解得 或 ． 经检验，都符合题意． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 19. （ 1 ） 等 腰 梯 形 中 ， ， . 则 由 余 弦 定 理 ， 故 . ，而折叠后依旧有 ，即 ，又 ， 平面 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 又 平面 ， ，又 ， ， 平面 ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）解法一：（等体积法） 且 平面 ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ， 故 ， 0 A π< 1cos 2A = − 2 3A π= ABC∆ sin sin BC AC BAC ABC =∠ ∠ 24sin 13sin 24 3 ABC π ∠ = = 2 3BAC π∠ = (0, )3ABC π∠ ∈ 6ABC π∠ = ABC∆ 2 3 6 6ACD π π ππ∠ = − − = ADC∆ 2 2 2 2 cosAD AC DC AC DC C= + − ⋅ ⋅ 27 16 8 cos 6DC DC π= + − ⋅ 2 4 3 9 0DC DC− + = 3 3DC = 3DC = MNCD 4 2MD CD MN= = =， 60 1CED CDE ED MD EM∆ ∠ = ° = − =中， ， 2 2 2 2 cos60 3 3CE DE DC DE C CD E°= + − ⋅ = ⇒ =⋅ 2 2 2CE ED CD CE DE+ ⇒= ⊥ 90MEC °∴∠ = 90AEC °∠ = AE CE⊥ AE DC DC CE C⊥ ， ＝ AE∴ ⊥ DCE DE ⊂ DCE AE∴ ⊥ DE DE CE⊥ AE CE E ＝ DE∴ ⊥ ABCE 1 1 3 3sin 3 2 sin 602 2 2ABE MNES S ME MN M ° ∆ ∆= = ⋅ ⋅ = × × × = DE ⊥ ABCE ∴ 1 3 3 2D ABE ABEV S DE− ∆= ⋅ = AE CED BC AE BC CED⊥ ∴ ⊥ 平面 ，且 ∥ ， 平面 2 2 7Rt BEC BE EC BC∆ = + =中，A N C M B E D H 又 平面 ， ， 故 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 设点 到平面 的距离为 h，则由 ，得 h＝ . 故点 到平面 的距离为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 解法二：由（1）得 ，又 ， . 在平面 内作 ，垂足为 ，则 ， 等腰梯形 中 ， ， 则 ，故 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 ， ， 求 得 . 故点 到平面 的距离为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 20.（1）设 ，因为 ，所以 ，① 又因为点 在椭圆上，所以 ，② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 由①②解得， ，或 ， 在第一象限，故 的坐标为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 又因为 的坐标为 ，所以直线 的方程为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）设直线 ， . DE ⊥ ABCE DE BE∴ ⊥ 1 1 71 72 2 2BDES BE DE∆ = ⋅ = × × = A DBE 1 3D ABE A DBE BDEV V S h− − ∆= = ⋅ 3 3 2123 77 2 ⋅ = A DBE 3 21 7 DE ABCE⊥ 平面 DE DEB⊂ 平面 DEB ABCE∴ ⊥平面 平面 ABE AH EB⊥ H AH DEB⊥ 平面 MNCD , 4MD NC MD =∥ 2 1CD MN CE DE DE= = ⊥ =， ， 2 2NC MD DE= − = 2BC = 2 2 7BE EC BC= + = 1 1 2 2ABES AE EC BE AH∆ = ⋅ = ⋅ 3 3 3 21 77 AE ECAH BE ⋅= = = A DBE 3 21 7 0 0 0 0( , ) ( 0, 0)A x y x y> > 5=OA 2 2 0 0 5+ =x y A 2 2 0 0 14 9 x y+ = 0 0 4 5 ,5 3 5 5  =  = x y 0 0 4 5 ,5 3 5 5  = −  = x y A A 4 5 3 5,5 5       F ( )0, 5 AF 1 52y x= − + 1: 2l y x m= − + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y由 得， ，由 ，得 ， 由韦达定理得， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 所以 ， 又因为 到直线 的距离 ， 故 ，当且仅当 ，即 时等号成立. 所以 面积的最大值为 3. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 21.（1） . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 在 上单调递增， 在 上恒成立，故 ， 即得 在 上恒成立，即 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）设 ，则 . 设 ，则 ，故 在 上单调递增. 因 为 ， 所 以 ， 故 存 在 ， 使 得 ，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，故 是 的 极小值点，因此 . 即 且 ，即 ，即 ①∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 2 2 1,4 9 1 2  + =  = − + x y y x m 2 25 2 2 18 0− + − =x mx m 0∆ > 10 10m− < < 2 1 2 1 2 2 2 18, ,5 5 m mx x x x −+ = = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 51 1 ( ) ( ) 4 102 5MN k x x x x x x m= + − = + − + − = − O MN 2 1 51 4 md m= = + 1 2OMNS MN d∆ = ⋅ 2 2 23 3 1010 35 5 2 m mm m + −= − ≤ ⋅ = 2 210m m= − 5= ±m OMN∆ 2 2( ) ( ) 1 ln , '( ) 2 1 x ag x e f x x x a x x x g x xx −= + − = + + − ∴ = + − ( )g x [ ]1,2 '( ) 0g x∴ ≥ [ ]1,2 2 1 0a xx + − ≥ (1 2 )a x x≥ − [ ]1,2 1a ≥ − ( ) '( ) (1 ln )x ah x f x e a x x = = + + 2 2'( ) (1 ln )x a ah x e a x x x = + + − 2 2( ) 1 ln a aH x a x x x = + + − 2 2 3 3 2 2 ( 2 2)'( ) 0a a a a x xH x x x x x − += − + = > ( )H x (0, )+∞ 2a > 1(1) 1 0, ( ) 1 ln 2 02H a H a= + > = − < 2 1( ,1)2x ∈ 2( ) 0H x = ( )h x 2(0, )x 2( , )x +∞ 2x ( )h x 2 1x x= 1 1( ,1)2x ∈ 1( ) 0H x = 1 2 1 1 21 ln 0a aa x x x + + − = 1 2 1 1 2 1(ln ) 1a x x x + − = −又 的零点为 ，故 ，即 ，即 ② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 由①②得 ，则 ，又 ，故 ， 即 ，因此 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 22. （ 1 ） 由 曲 线 的 参 数 方 程 ( 为 参 数 ) 得 ： ，即曲线 的普通方程为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 又 将 代 入 曲 线 的 普 通 方 程 ， 得 到 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ： ， 即为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 曲 线 的 极 坐 标 方 程 可 化 为 ， 可 得 的 直 角 坐 标 方 程 为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）由已知，设点 的极坐标为 ，其中 . 则 ，则 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由 ，得 ，故 的取值范围是 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 23. （1） ，当且仅当 时取“=”∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 ，又 ，故 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2） ，又由（1）知 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 故 ， 当 且 仅 当 时 取 得 等 号 ， 故 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ( )f x 0x 0( ) 0f x = 0 0(1 ln )=0xe a x+ 0ln 1a x = − 0 1 2 1 1 2 1ln lnx x x x = + − 0 1 2 1 1 2 1ln lnx x x x − = − 1 1( ,1)2x ∈ 2 1 1 2 1 0x x − > 0 1ln ln 0x x− > 0 1x x> 1C 2 cos 3sin x y ϕ ϕ  = = ϕ 2 2 2 2cos sin ( ) ( ) 1 2 3 x yϕ ϕ+ = + = 1C 2 2 12 3 x y+ = cos , sinx ρ θ ρ θ= 1C 1C 2 2 2 23 cos 2 sin 6ρ θ ρ θ+ = 2 2 2cos 2 6ρ θ ρ+ = 2C sin cos 2ρ θ ρ θ− = 2C 2 0x y− + = M 1( , )ρ α 2 π α π< < 2 2 1 2 6| | cos 2OM ρ α= = + 2 2 1 cos 2 | | 6OM α += 2 π α π< < 1 cos 0α− < < 2 1 | |OM 11,( )23 ( ) |( ) ( ) |f x x b x a a b≥ + − − = + b x a− ≤ ≤ 1a b∴ + = a b= 1 2a = 2 2 2( ) 3a b ab a b ab+ − = + − 1a b+ = 2 2 2 11 3 1 3( )2 4 a ba b ab ab ++ − = − ≥ − = a b= 2 2 1 4a b ab+ − ≥