重庆市第一中学2020届高三上学期10月考试数学（理）（含答案）.doc

秘密★启用前 【考试时间：10 月 19 日 7:40 — 9:40】 2019 年重庆一中高 2020 级高三上期 10 月月考 数学（理科）试题卷 数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1. 设集合 ， ，若 ，则集合 （ ） A. B. C. D. 2. 函数 的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共 猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五 人，他们共猎获五只鹿，欲按以上顺序依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿 肉共 500 斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ） A. 200 B. 300 C. D. 400 5. 实数 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量 满足 ， 的夹角为 ，且 ，则向量 的数 量积为（ ） A. B. C. D. { }3,2,1=A { }034| 22 =+−= mmxxxB { }1=BA =B { }31，   33 1， { }31 −，   3 11， xxf x += 2)( )1,2( −− )0,1(− )1,0( )2,1( )1,3(=a )3,5(2 =+ ba =b 1 2 0 2 500 3 0.4 3 53 , log 18, log 50a b c= = = cba =+ bab y a xC 21, FF BA, 4 P BA, BA, 4 3− C 1F 1l C NM , 2F 2l C QP, 21 //ll MNPQ ( ) ( ) ( )2 1 2 lnf x ax a x x a R= + − − ∈ ( )f x 1=x a ),(),,(),,( 002211 yxCyxByxA ( )f x 1 2 0 2 x xx += ( )0f x′ 1 2 1 2 y y x x − − xOy C 2cos ( )2 2sin x y α αα =  = + 为参数 x C（2）设 为曲线 上不同两点（均不与 重合），且满足 ，求 的 最大面积. 23. 选修 4－5：不等式选讲 已知 为正实数. （1）求证： ； （2）求 的最小值. 2019 年重庆一中高 2020 级高三上期月考试题参考答案 数 学（理） 一、选择题.(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D B C A B A A C C B 二、填空题.(每题 5 分,共 20 分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题.(共 70 分) 17．解：（1）当 时， 当 时， ……① ……② ②—①得 ，因为 故从第二项起， 为等比， ，所以 （2）易知 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ，则 ，故 故 18. 解：(1)在 中，由余弦定理有 ，即 ，解得 BA, C O 4 π=∠AOB OAB∆ cba ,, abcaccbba 8))()(( ≥+++ cbaaccbbaz 222222 logloglog)(log)(log)(log −−−+++++= π12 8 315 + )3,2( 2 1 1=n 22 212 =⇒= aSS 2≥n 12 −= nn SS nn SS 21 =+ nn aa 21 =+ 12 2aa ≠ { }na 12 2 22 −− =×= nn n aa    ≥ == − 2,2 1,2 1 n na nn { }nS 2 2 n nS 2= nSb nn == 2log 1 11 )1( 11 1 +−=+= + nnnnbb nn 11 111 11 3 1 2 1 2 11)1( 1 32 1 21 1 +=+−=+−+…+−+−=++…+×+×= n n nnnnnTn ABC∆ BBCABBCABAC cos2222 ⋅−+= 0322 =−− ABAB 3=AB（2）如图，连接 CD，由题设，有∠BDC＝2A，在 中，由正弦定理有 CD sin 60°＝ BC sin 2A＝ 2 sin 2A，故 CD＝ 3 sin 2A.在直角 中，DE＝CDsin A＝ 3 2cos A＝ 6 2 ，所以 cos A＝ 2 2 ，而 A∈(0，π)，故 A＝π 4 19.解：(1)记“抽取的两天销售量都小于 30 件”为事件 A，则 . （2）①设乙商家的日销售量为 a 件，则当 a=28 时，X=28×5=140；当 a=29 时， X=29×5=145；当 a=30 时，X=30×5=150；当 a=31 时，X=30×5+1×10=160.所以 X 的所有可 能取值为：140，145，150，160. 所以 X 的分布列为 X 140 145 150 160 P 所以 E(X)=140× +145× +150× +160× =153 ②依题意，甲商家的日平均销售量为：28×0.2+29×0.4+30×0.2+31×0.2=29.4.所以甲商家的日 平均返利额为：60+29.4×3=148.2 元. 由①得乙商家的日平均返利额为 153 元>148.2 元，所以推荐该超市选择乙商家长期销售. 20.解：（1）由题意， ，则 ， 。设 ，则点 与点 连线的斜率为 ，点 与点 连线的斜率为 ，故 ，又 因 为 点 在 椭 圆 上 ， 故 有 ， 联 立 解 得 ， 则 椭 圆 的 方 程 为 . （2）由于点 关于原点对称且 ，故 关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所 以四边形 为平行四边形；由（1），知 ，易知直线 不能平行于 轴.所以 令直线 的方程为 ，设 ， .联立方程 ， 得 ，所以 ， .若 是菱形， 则 ，即 ，于是有 ，整 BCD∆ DEC∆ 3 1)( 2 10 2 6 == C CAP 10 1 5 1 5 1 2 1 10 1 5 1 5 1 2 1 2=a )0,2(−A )0,2(B )4)(,( 2 000 ≠xyxP P A 20 0 += x ykAP P B 20 0 −= x ykBP 4 3 42 0 2 0 −= −x y P C 14 2 2 0 2 0 =+ b yx 32 =b C 134 22 =+ yx 21, FF 21 //ll 21,ll MNPQ )0,1(1 −F MN x MN 1−= myx ),( 11 yxM ),( 22 yxN    −= =−+ 1 01243 22 myx yx 43 6 221 +=+ m myy 43 9 221 + −= myy MNPQ ONOM ⊥ 0=⋅ONOM ( ) 01)(1 2121 2 2121 =++−+=+ yymyymyyxx理得到 ，即 ，上述关于 的方程显然没有实数解，故四边形 不可能是菱形. 21.解：（1）定义域为 ， ， 当 时， 在 单调递减， 单调递增，则 在 处取极小值； 当 时，令 得 或 ，要使 在 处取极小值，则 解得 综上， （2） ， ，令 ， ， ，所以 在 上是增函数， 又 ，当 时， ， ， ，故 ， 当 时， ， ， ，故 .综上知， . 043 512 2 2 =+ −− m m ),0( +∞ x xax xaaxxf )1)(12(1)21(2)(' −+=−−+= 0≥a )(xf )1,0( ),1( +∞ ( )f x 1=x 0