天水一中 2020 届 2019—2020 学年度第一学期第二次考试
数学理科试题
（满分：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x|x2-2x-3＜0}，集合 B={x|2x+1＞1}，则 CBA=（）
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是（）
A. 命题“若 ,则 ”的逆否命题是“若 ,则
”
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 若 为假命题,则 p、q 均为假命题
D. 命题 p：“ ,使得 ”,则非 p：“ ,
”
3. 已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，对于下列四个命题：
① ， ， ， ② ，
③ ， ， ④ ，
其中正确命题的个数有（ ）A. 3 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 0 个
4. 若 cos（ -α）= ，则 cos（ +2α）的值为（）
A. B. C. D. 5. 已知等差数列 的前 n 项为 ，且 ， ，则使得 取最小值时的 n
为( )A. 1 B. 6 C. 7 D. 6 或 7
6. 若直线 被圆 截得弦长为 4，则 的最小值是
A. B. 4C. 9 D.
7. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面 ABC 是等边三角形，AA1⊥底面 ABC，且 AB=2，
AA1=1，则直线 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值
为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为
A. B.
C. D. 12
9. 满足约束条件 ，若 取得最
大值的最优解不唯一，则实数 的值为（ ）
A. 或 B. 1 或 C. 2 或 1 D. 2 或10. 已知函数 ， ，若对任意
，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
11. 是平面上一定点 是平面上不共线的三个点,动点 满足
,则 点的轨迹一定通过 ( )
A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心
12. 已知函数 g(x)＝kx－1，f(x)的图像上有且仅有四个不同的点关
于直线 y＝－1 的对称点在 g(x)的图像上，则 k 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 等差数列 ， 的前 n 项和分别为 ， ，且 ，则 ______ ．
14. 已知 ， 为单位向量且夹角为 ，设 = + ， = ， 在
方向上的投影为______ ．
15. 如图，A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角，若
A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形 ABCD 面积是______．
16. 如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6 cm，该纸片上的正方形
ABCD 的中心为 O．E，F，G，H 为圆 O 上的点，△ABE，△BCF，
△CDG，△ADH 分别是以 AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角
形，沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起
△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得 E，F，G，H 重合，得到一
个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10 分）等比数列 的各项均为正数， ， ， 成等差数列，且满足 ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 ， ，求数列 的前 n 项和 ．
18. （12 分）△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）
sinB=2csinC．
（Ⅰ）求 C 的大小；
（Ⅱ）若 ，求△ABC 周长的最大值．
19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值．
20. （12 分）（12 分）已知点 A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数 f（x）=2sin
（ωx+φ）（ω＞0，- ＜φ＜0）图象上的任意两点，且角 φ 的终边经过点 P（1，- ），
若|f（x1）-f（x2）|=4 时，|x1-x2|的最小值为
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）若方程 3[f（x）]2-f（x）+m=0 在 x∈（ ， ）内有两个不同的解，求实数 m 的取值
范围．
21. （12 分）已知函数 f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数，且 f（x）+g（x）=log4
（4x+1）．
（1）求 f（x），g（x）的解析式；（2）若函数 h（x）=f（x）- 在 R 上只有一个零点，求实数 a
的取值范围．
22. （12 分）已知函数 , , ．
当 时,求函数 的单调区间,并求出其极值；
若函数 存在两个零点,求 k 的取值范围．
答案和解析
1.A 2.C3.D4.A5.B6.C7.C8.A9.B10.B11.A
解：由正弦定理得 ,
所以 ,而 ，所以 表示与 共线的向量 ，
而点 D 是 BC 的中点，即 P 的轨迹一定是通过三角形的重心.
12. D 解：y＝kx－1 关于直线 y＝－1 的对称直线为 y＝mx－1，(m＝－k)，先考虑特殊位置：
y＝mx－1 与 (x≤0)相切，得 (舍去正数)，y＝mx－1 与 y＝xlnx－2x，
x＞0 相切，由导数几何意义得
，结合图像可知
，
故选 D．
13. 14. 15.10 16.
解：连接 OE 交 AB 与 I，E，F，G，H 重合为 P，得到一个正四棱锥，设正方形 ABCD 的边
长为 x．
则 OI= ，IE=6- ．
由四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，
可得 ，
解得：x=4．
设
外接球的球心为 Q，半径为 R，可得 OC= ，OP=
， ．
∴ ．该四棱锥的外接球的体积 V= ．
故答案为： ．17.解：（Ⅰ）an= （n∈N*）；
（Ⅱ）bn=
=
= - ，n∈N*，
∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= + +…+
=1- ，n∈N*．
18.解：（Ⅰ） ．（Ⅱ）
19.解：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且 PA⊂平面 PAD，PD⊂平面 PAD，
∴AB⊥平面 PAD，又 AB⊂平面 PAB，
∴平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形 ABCD 为平行四边形，
由（1）知 AB⊥平面 PAD，∴AB⊥AD，则四边形 ABCD 为矩形，
在△APD 中，由 PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD 为等腰直角三角形，
设 PA=AB=2a，则 AD= ．
取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO、OE，
AB⊥平面 PAD，AD⊥AB，AB OE，∴OE⊥平面 PAD，OE⊥AD
以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
则：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）．
， ， ．
设平面 PBC 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取 y=1，得 ．∵AB⊥平面 PAD，AD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD，
又 PD⊥PA，PA∩AB=A，PA⊂平面 PAB，AB⊂平面 PAB，
∴PD⊥平面 PAB，则 为平面 PAB 的一个法向量， ．
∴cos＜ ＞= = ．
由图可知，二面角 A-PB-C 为钝角，
∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 ．
20.解：（1）角 φ 的终边经过点 P（1，- ），tanφ=- ，
∵- ＜φ＜0，∴φ=- ．由|f（x1）-f（x2）|=4 时，|x1-x2|的最小值为 ，
得 T= ，即 = ，∴ω=3．∴f（x）=2sin（3x- ）
（2）∵x∈（ ， ），∴3x- ∈（0，π），∴0＜sin（3x- ）≤1．
设 f（x）=t，问题等价于方程 3t2-t+m=0 在（0，2）仅有一根或有两个相等的根，
∵-m=3t2-t，t∈（0，2），
作出曲线 C：y=3t2-t，t∈（0，2）与直线 l：y=-m 的图象，
∵t= 时，y=- ；t=0 时，y=0；t=2 时，y=10，
∴当-m=- 或 0≤-m＜10 时，直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，
∴m 的取值范围是：m= 或-10＜m≤0．
21 解：（1）因为， …①，
∴ ，∴ …②
由①②得， ．
（2）由= ．
得： ，
令 t=2x，则 t＞0，即方程 …（*）只有一个大于 0 的根，
①当 a=1 时， ，满足条件；
②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则 ，∴a＞1，
③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，
则△=8a2+4（a-1）=0，∴ ，a=-1（舍） 时， ，
综上： 或 a≥1．
22 解：（1）当 k=1 时， ，
∴f'（x）=（x+1）ex-（x+1）=（x+1）（ex-1），
故 x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数.
故函数 f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（0，+∞）；单调减区间为（-1，0）．
所以函数的极大值为 ；极小值为 f（0）=0．
（2）由已知， ，g（x）=kex-x，
∴ ，
∴F'（x）=kxex-x=x（kex-1）.
①当 k＜0 时，F（x）在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，
且注意到 F（0）=-k＞0，函数 F（x）的图象两边向下无限伸展，
故此时 F（x）存在两个零点，适合题意．
②当 k=0 时， 在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，且 F（0）=0，故此时 F（x）只有一个零点．
③当 k=1 时， ,故函数（-∞，+∞）为增，易知函数 F（x）只有一
个零点．
④当 k∈（0，1）时， ，F（x）在（-∞，0）为增， 为减， 为增，
且 F（0）=-k＜0 易知 F（x）只有一个零点．
⑤当 k∈（1，+∞）时， ，F（x）在 为增， 为减，（0，+∞）为增，
且 ，F（0）=-k＜0 易知 F（x）只有一个零点．
综上，k 的取值范围是（-∞，0）.
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