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2019-2020 学年高三阶段性检测
数 学 2019.10
本试卷共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟.
一、单项选择题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
2. 若实数 ，则
A． B． C． D．
3.设随机变量 ，若 ，则
A． B．
C． D．
4.设 ，则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 设 ，若 ， ， ，则实数 的大小
关系是
A. B. C. D.
6.设 、 为两个不同的平面，l、m 为两条不同的直线，且 l ，m ，则下列命题中
真命题是
A.若 l⊥ ，则 ⊥ B.若 l⊥m，则 ⊥
C.若 ，则 l m D.若 ∥ ，则 l∥m
7.函数 的图象大致为
8. 已知一组数据点 ， ， ， ，用最小二乘法得到其线性回
归方程为 ，若数据 的平均数为 1，则
A．2 B． 11 C.12 D．14
9.用平面 截一个球，所得的截面面积为 ，若 到该球球心的距离为 ，则球的体积为
{ }aA 3,1= { }baB ,=
=
3
1BA =BA
3
1,1
−
3
1,1
−
3
1,1,1
3
1,1,b
x y>
yx 5.05.0 loglog > yx > 2x xy> 2 2x y>
~ ( ,7)X N µ )4()2( >=< XPXP
3, 7DXµ = = 6, 7DXµ = =
3, 7DXµ = = 6, 7DXµ = =
x∈R 1 + = 1( )ya x= 1( )
log
xy
b xy= 1log
y
c x= , ,a b c
a b c< < b a c< < b c a< < c b a< <
α β ⊂ α ⊂ β
β α β α β
α β⊥ ⊥ α β
( ) (3 3 ) lg | |x xf x x−= + ⋅
1 1,x y（ ） 2 2,x y（ ） 3 3,x y（ ） 7 7,( , )x y
ˆ 2 4y x= − + 1 2 3 7, , ,x x x x
7
=1
=i
i
y∑
α π α 1A. B. C. D.
10. 在 ， ， ， 这 四 个 函 数 中 ， 当 时 ， 使
恒成立的函数的个数是
A． B． C． D．
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的.全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
11.某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比
该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况，得到如下柱图：
2016 年高考数据统计 2019 年高考数据统计
则下列结论正确的是
A. 与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加
B. 与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.5 倍
C. 与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同
D. 与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加
12.已知空间中两条直线 所成的角为 ， 为空间中给定的一个定点，直线 过点 且与
直线 所成的角都是 （ ),则下列选项正确的是
A.当 时，满足题意的直线 不存在
B.当 时，满足题意的直线 有且仅有 1 条
C.当 时，满足题意的直线 有且仅有 2 条
D.当 时，满足题意的直线 有且仅有 3 条
13.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的
函数 称为狄利克雷函数，则关于 ，下列说法正确的是
A.
B.函数 是偶函数
C.任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立
D.存在三个点 ，使得 为等边三角形
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在对应题号后的横线上）
14.命题 ：“ ”的否定 是 .
15.2019 年 9 月 17 日至 21 日期间，某市空气质量呈现重度及以上污染水平，经市政府批准，
9 月 16 日 20 时至 21 日 24 时，该市启动了空气重污染红色预警，期间实行了机动车“单双号”
3
8π
3
28 π π28 3
32π
xy 3= xy 3log= 2xy =
xy 1= 10 21 1)a ≠
k
(1) 0f < 2( ) (4 ) 0f x tx f x+ + − < t
2| 4 1{ 2 0}x xA x − ≤−= 2 2{ | 4 4 0}B x x x m .= − − + ≤
A B、
0m > x A∈ x B∈ m
ABCD 42 === CD,BCAB ,, DCAEDCBC ⊥⊥ NM ,
BEAD, ENDM = ADE AE D
1D ⊥AED1 ABCE
MN CED1
MN NM， 1AD BE
MN MND1 EMN场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为 S 平方米．
(1)分别用 x 表示 y 及 S 的函数关系式，并给出定义域；
(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地
面积 S 最大，并求出最大值．
22.（14 分）设函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数 有两个零点，求正整数 的最小值.
23.（14 分）某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统 有 3 个电子元件组成，
各个电子元件能否正常工作的概率均为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统
中有超过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的
费用为 500 元.
（1）求系统 不需要维修的概率；
（2）该电子产品共由 3 个完全相同的系统 组成，设 为电子产品需要维修的系统所需的费
用，求 的分布列与数学期望；
（3）为提高系统 正常工作概率，在系统 内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，
每个新元件正常工作的概率均为 ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 可
以正常工作，问： 满足什么条件时，可以提高整个系统 的正常工作概率？
数学参考答案
2019.10
一、单项选择题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1-5 CDABC 6-10 ADDBB
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的.全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
11.AD 12.ABC 13.ABCD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
2( ) ( 2) lnf x x a x a x= - - -
( )f x a
G
1
2 G
G
G
G Y
Y
G G
p G
p G14. 15. 16. 17. 2；
四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．解：(1)∵ 是定义域为 R 的奇函数，
∴ …… 2 分
∴ . …… 4 分
（2）
， ……6 分
而 在 R 上单调递减， 在 R 上单调递增，
故判断 在 R 上单调递减， ……8 分
不等式化为 ， ，
恒成立，
，解得 . ……12 分
19.解：（1）由 ，得 . 故集合 ……2 分
由 ，得 ， .
当 时， 由 得
故集合 ………4 分
当 时， 由 得：
故集合 ………6 分
当 时，由 得 故集合 ………8 分
(2) 是 成立的充分不必要条件，
是 的真子集， ………………………10 分
则有 ，解得 ， …………………………12 分
又当 时， ，不合题意，……………………13 分
实数 的取值范围为 . ………………………14 分
20. 解:（1） 与平面 平行. ………1 分
xy −= 1
3 12 3
( )f x
0 0(0) ( 1) 1 ( 1) 0f a k a k= − − = − − =
2k =
( ) ( >0 1)x xf x a a a a−= − ≠且
10,1,0,01,0)1(
2( 1) 16 0t∴∆ = − − < 3 5t− < <
2 4 12 0x x− − ≤ 2 6x− ≤ ≤ { | 2 6}A x x= − ≤ ≤
2 24 4=0x x m− − + 1=2+x m 2 =2x m−
0m > 2 2 ,m m− < + 2 24 4 0x x m− − + ≤ 2 2 ,m x m− ≤ ≤ +
{ | 2 2 }B x m x m .= − ≤ ≤ +
0m < 2 2 ,m m− > + 2 24 4 0x x m− − + ≤ 2 2 ,m x m+ ≤ ≤ −
{ | 2+ 2 }B x m x m .= ≤ ≤ −
=0m 2 4 4 0x x− + ≤ 2x = { }2B x x .= =
x A∈ x B∈
[ 2,6]∴ − [2 ,2 ]m m− +
2 2
2 2
2 6
m m
m
m
− < +
− ≤ −
+ ≥
4m ≥
4m = [2 ,2 ] [ 2,6]m m− + = −
∴ m (4, )+∞
MN 1D CE
2
0 0 0, 0x R x xπ∃ ∈ −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
( )f x (0, )+∞
0a > ( ) 0f x′ >
2
ax > ( ) 0f x′ < 0 2
ax< <
( )f x ( , )2
a +∞ (0 )2
a，
( )f x 0a > ( ) 02
af <
2 4 4 ln 02
aa a a- + - < 4ln 4 02
aa + − >
( ) 4ln 4,2
ah a a= + −
( )h a (0, )+∞ (2) 2 0,h = − <
3 81(3) 4ln 1 ln 1 0,2 16h = − = − >
0 0(2,3), ( ) 0,a h a∈ =当 时， ；当 时， .
所以，满足条件的最小正整数 .....................................................14 分
23.解：（1）系统 G 不需要维修的概率为 . …………2 分
（2）设 为维修的系统 G 的个数，则 ，且 ，
所以 .………………4 分
所以 的分布列为
0 500 1000 1500
所以 的期望为 元………………………………6 分
（3）当系统 有 5 个电子元件时，
若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，
则概率为 ； ………………………8 分
若前 3 个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有 1 个正常工作，
则概率为 ；……10 分
若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，
系统 均能正常工作，则概率为 . ………………………12 分
所以新增两个元件后系统 能正常工作的概率为
，
于是由 知，当 时，即 时，
可以提高整个系统 的正常工作概率. ……………………………………14 分
0a a> ( ) 0h a > 00 a a< < ( ) 0h a <
3.a =
2 2 3 3
3 3
1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2C C⋅ ⋅ + ⋅ =
X 1(3, )2X B 500Y X=
3
3
1 1( 500 ) ( ) ( ) ( ) , 0,1,2,32 2
k k kP Y k P X k C k−= = = = ⋅ ⋅ =
Y
Y
P 1
8
3
8
3
8
1
8
Y 1( ) 500 3 7502E Y = × × =
G
1 2 2 2
3
1 1 3( )2 2 8C p p⋅ ⋅ ⋅ =
2 2 1 2 2 2 2
3 2 3
1 1 1 1 3( ) (1 ) ( ) (2 )2 2 2 2 8C C p p C p p p⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ = −
G 3 3
3
1 1( )2 8C ⋅ =
G
2 23 3 1 3 1(2 )8 8 8 4 8p p p p+ − + = +
3 1 1 3 (2 1)4 8 2 8p p+ − = − 2 1 0p − > 1 12 p< <
G
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