山东省师大附中2020届高三上学期10月阶段性检测数学试题（含答案）.doc

2019—2020 学年高三阶段性监测 数学试题 2019．10 本试卷共 5 页，共 150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. l．已知集合 ， ，若 ，则 A∪B= A． B． C． D． 2．若实数 x＞y，则 A．log0.5x＞log0.5y B． C．x2＞xy D．2x＞2y 3．设随机变量 X~N(μ，7)，若 P(X＜2)=P(X＞4)，则 A．μ=3，DX=7 B．μ=6，DX= C．μ=3，DX= D．μ=6，DX=7 4．设 x∈R，则“｜x+1｜＜2”是“lgx＜0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设 x＞y＞0，x+y=1，若， ， ， ，则实数 a，b，c 的大小 关系是 A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 6．设 α、β 为两个不同的平面，l、m 为两条不同的直线，且 ， ，则下列命题中 真命题是 A．若 l⊥β，则 α⊥β B．若 l⊥m，则 α⊥β C．若 α⊥β，则 l⊥m D．若 α∥β，l∥m 7．函数 的图象大致为 { }A= 1,3a { }B= ,a b 1A B= 3     11, 3     11, 3  −   11,1, 3  −   1,1, 3b    x y＞ 7 7 1( )ya x = 1( ) log xy b xy= 1log y c x= l α⊂ m β⊂ ( ) ( )3 3 lgx xf x x−= + ⋅8．已知一组数据点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x7，y7)，用最小二乘法得到其线性回归 方程为 ，若数据 x1，x2，x3，…x7 的平均数为 1，则 A．2 B．11 C．12 D．14 9．用平面 α 截一个球，所得的截面面积为 π，若 α 到该球球心的距离为 1，则球的体积为 A． B． C． D． 10．在 y=3x，y=log3x，y=x2， 四个函数中，当 0＜x1＜x2＜1 时，使 恒成立的函数个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的，全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 11．某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该 校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况，得到如下柱图： 则下列结论正确的是 A．与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加 B．与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C．与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同 D．与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加 12．已知空间中两条直线 a，b 所成的角为 50°，P 为空间中给定的一个定点，直线 l 过点 P 且与直线 a 和直线 b 所成的角都是 θ(0°＜θ≤90°)，则下列选项正确的是 A．当 θ=15°时，满足题意的直线 l 不存在 B．当 θ=25°时，满足题意的直线 l 有且仅有 l 条 C．当 θ=40°时，满足题意的直线 l 有且仅有 2 条  2 4y x= − + 7 1 i i y = =∑ 8 3 π 8 2 3 π 8 2π 32 3 π 1y x = 1 2 1 2( ) ( )( )2 2 x x f x f xf + +＞D．当 θ=60°时，满足题意的直线 l 有且仅有 3 条 13．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函 数 ，称为狄利克雷函数，则关于 f(x)，下列说法正确的是 A． ； B．函数 f(x)是偶函数： C．任意一个非零有理数 T，f(x+T) =f(x)对任意 x∈R 恒成立； D．存在三个点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x3，f(x3)，使得△ABC 为等边三角形． 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在对应题号的横线上 14．命题 p：“ ，x2－πx≥0”的否定 是___________________。 15．已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时， ，则曲线 y=f(x)在点（1,0）处的切线方程 是______________________. 16．甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“庆国庆 70 周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第 1 名到第 5 名的名次。甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是 你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率 是_________________________。 17．在棱长为 6 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是 BC 的中点，点 P 是面 DCC1D1 所在的 平面内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则 ______________，三棱锥 P－BCD 的体积最 大值是________________________________。 四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．(12 分)已知定义域为 R 的函数，f(x)=ax－(k－1)a-x(a＞0 且 a≠1)是奇函数． (1)求实数 k 的值： (2)若 f(1)＜0，判断函数单调性，并求不等式 f(x2+tx)+f(4－x)＜0 恒成立时 t 的取值范围； 19．(14 分)己知集合 ， (1)求集合 A、B； (2)当 m＞0 时，若 x∈A 是 x∈B 成立的充分不必要条作，求实数 m 的取值范围． 20．(14 分)在直角梯形 ABCD 中，AB=BC=2，CD=4，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N 两点分别 在线段 AD，BE 上运动，且 DM=EN(如图 1)．将三角形 ADE 沿 AE 折起，使点 D 到达 D1 的 位置(如图 2)，且平面 D1AE⊥平面 ABCE (1)判断直线 MN 与平面 D1CE 的位置关系并证明； 1( ) 0 xf x x =   ， 为有理数 ， 为无理数 , ( ( )) 1x R f f x∀ ∈ = x R∀ ∈ p¬ ln( )( ) xf x x −= PD PC = { }2 4 12 0A x x x= − − ≤ { }2 24 0B x x x m= − − +4≤(2)证明：MN 的长度最短时，M，N 分别为 AD1 和 BE 的中点； (3)当 MN 的长度最短时，求平面 D1MN 与平面 EMN 所成角(锐角)的余弦值 2l．(14 分)某市城郊有一块大约 500m×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个 综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为 运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为 S 平方米． (1)分别用 x 表示 y 及 S 的函数关系式，并给出定义域； (2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积 S 最大，并求出最大值 22．(14 分)设函数 f(x)=x2－(a－2)x－alnx (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)有两个零点，求正整数 a 的最小值 23．(14 分)某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统 G 有 3 个电子元件组成， 各个电子元件能否正常工作的概率均为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立， 若系统 G 中有超过一半的电子元件正常工作，则 G 可以正常工作，否则就需要维修，且 维修所需要的费用为 500 元 (1)求系统 G 不需要维修的概率； (2)该电子产品共由 3 个完全相同的系统 G 组成，设 Y 为电子产品需要维修的系统所需的费用， 求 Y 的分布列与数学期望； (3)为提高系统 G 正常工作概率，在系统 G 内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件， 每个新元件正常工作的概率均为 p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 G 可以 正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个系统 G 的正常工作概率? 1 22019-2020 学年高三阶段性监测 数学参考答案 2019.10 一、单项选择题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 　1-5 CDABC 6-10 ADDBB 二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的.全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 11.AD 12.ABC 13.ABCD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 14. 15. 16. 17. 2； 四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．解：(1)∵ 是定义域为 R 的奇函数， ∴ …… 2 分 ∴ . …… 4 分 （2） ， ……6 分 而 在 R 上单调递减， 在 R 上单调递增， 故判断 在 R 上单调递减， ……8 分 不等式化为 ， ， 恒成立， ，解得 . ……12 分 19.解：（1）由 ，得 . 故集合 ……2 分 由 ，得 ， . 当 时， 由 得 故集合 ………4 分 10,1,0,01,0)1( − 2 ( 1) 4 0x t x∴ + − + > 2( 1) 16 0t∴∆ = − − < 3 5t− < < 2 4 12 0x x− − ≤ 2 6x− ≤ ≤ { | 2 6}A x x= − ≤ ≤ 2 24 4=0x x m− − + 1=2+x m 2 =2x m− 0m > 2 2 ,m m− < + 2 24 4 0x x m− − + ≤ 2 2 ,m x m− ≤ ≤ + { | 2 2 }B x m x m .= − ≤ ≤ +当 时， 由 得： 故集合 ………6 分 当 时，由 得 故集合 ………8 分 (2) 是 成立的充分不必要条件， 是 的真子集， ………………………10 分 则有 ，解得 ， …………………………12 分 又当 时， ，不合题意，……………………13 分 实数 的取值范围为 . ………………………14 分 20. 解:（1） 与平面 平行. ………1 分 证明如下：分别在平面 和平面 内作 交 于点 ， 交 于点 ， 连接 . .设 在 中， , 则 ， 同理可求 ， ， 即四边形 是平行四边形. ..............3 分 . ........4 分 （2）证明： 平面 平面 ， ， .................5 分 在 中， ..........................7 分 当 时， .此时 分别是 和 的中点...................8 分 （3）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示的空 0m < 2 2 ,m m− > + 2 24 4 0x x m− − + ≤ 2 2 ,m x m+ ≤ ≤ − { | 2+ 2 }B x m x m .= ≤ ≤ − =0m 2 4 4 0x x− + ≤ 2x = { }2B x x .= =  x A∈ x B∈ [ 2,6]∴ − [2 ,2 ]m m− + 2 2 2 2 2 6 m m m m − < +  − ≤ −  + ≥ 4m ≥ 4m = [2 ,2 ] [ 2,6]m m− + = − ∴ m (4, )+∞ MN 1D CE AED1 BCE AEMG // ED1 G / /NH BC CE H GH NHMGBCAE //,// ∴ = (0 2 2)DM EN x x= < < 1MGDRt∆ 1 45D MG °∠ = xGExMG 2 22,2 2 −=∴= xNH 2 2= NHMG =∴ MNHG GHMN //∴ ECDGHECDMN 11 , ⊂⊄ ECDMN 1//∴  ⊥AED1 ABCE AEED ⊥1 ∴ CEED ⊥1 ECDRt 1∆ xEHxGE 2 2 2 22 =−= ， 2)2(2 1)2 22( 222 +−=+−=∴ xxxGH ）（ 220 = = ⋅      MND1 EMN 3 1 30003000, ,xy y x = ∴ = ( 4) ( 6) (2 10) ,S x a x a x a= − + − = − 1500 15000(2 10)( 3) 3030 6S x xx x ∴ = − − = − − 15000 150003030 ( 6 ) 3030 2 6 3030 2 300 2430,S x xx x = − + ≤ − = − × = 15000 =6xx 50 (6,500)x = ∈ max50 60, 2430.x y S= = =， 50m 60mx y，= = 22 ( 2) (2 )( 1)( ) 2 ( 2) = = ( 0)a x a x a x a xf x x a xx x x − − − − +′ = − − − > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞当 时，由 ，得 ；由 ，得 . 所以，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 . ..............6 分 （2）由（1）知：如果函数 有两个零点，则 ，且 ， 即 ，即： ，...........................................8 分 令 可知 在区间 内为增函数，且 .....................................................12 分 所以存在 当 时， ；当 时， . 所以，满足条件的最小正整数 .....................................................14 分 23.解：（1）系统 G 不需要维修的概率为 . …………2 分 （2）设 为维修的系统 G 的个数，则 ，且 ， 所以 .………………4 分 所以 的分布列为 0 500 1000 1500 所以 的期望为 元………………………………6 分 （3）当系统 有 5 个电子元件时， 若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为 ； ………………………8 分 若前 3 个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有 1 个正常工作， 则概率为 ；……10 分 若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统 均能正常工作，则概率为 . ………………………12 分 所以新增两个元件后系统 能正常工作的概率为 0a > ( ) 0f x′ > 2 ax > ( ) 0f x′ < 0 2 ax< < ( )f x ( , )2 a +∞ (0 )2 a， ( )f x 0a > ( ) 02 af < 2 4 4 ln 02 aa a a- + - < 4ln 4 02 aa + − > ( ) 4ln 4,2 ah a a= + − ( )h a (0, )+∞ (2) 2 0,h = − < 3 81(3) 4ln 1 ln 1 0,2 16h = − = − > 0 0(2,3), ( ) 0,a h a∈ = 0a a> ( ) 0h a > 00 a a< < ( ) 0h a < 3.a = 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2C C⋅ ⋅ + ⋅ = X 1(3, )2X B 500Y X= 3 3 1 1( 500 ) ( ) ( ) ( ) , 0,1,2,32 2 k k kP Y k P X k C k−= = = = ⋅ ⋅ = Y Y P 1 8 3 8 3 8 1 8 Y 1( ) 500 3 7502E Y = × × = G 1 2 2 2 3 1 1 3( )2 2 8C p p⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 1 2 2 2 2 3 2 3 1 1 1 1 3( ) (1 ) ( ) (2 )2 2 2 2 8C C p p C p p p⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ = − G 3 3 3 1 1( )2 8C ⋅ = G， 于是由 知，当 时，即 时， 可以提高整个系统 的正常工作概率. ……………………………………14 分 2 23 3 1 3 1(2 )8 8 8 4 8p p p p+ − + = + 3 1 1 3 (2 1)4 8 2 8p p+ − = − 2 1 0p − > 1 12 p< < G