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佛山一中 2020 届高三年级十月考试题
数学（理科）
2019.10.3
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知角θ的顶点与原点 O 重合，始边与푥轴的正半轴重合，若它的终边经过点 ，则
=
A. - 7B． C． D．7
2.已知命题 p： ，命题 q： ，则命题 p 是命题 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3 已知 ，角 的对边分别为 ，且满足 ,则角 等
于（ ）
A. B. C. D.
4. 若 为锐角，且 ，则
A． B． C． D．
5.已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 l1，l2，经过右焦点 F 且垂直于 l1 的直
线 l 分别交 l1，l2 于 A，B 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6.函数 的值域为
A.(0, + ∞) B. C. D.
7.将 的图像向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数y = g(푥)
的 图像，则下列关于函数y = g(푥)的说法错误的是
( )( )P 2 0a a a ≠，
tan 2θ 4
π +
1
7
− 1
7
2 2x y< 2 2log logx y<
ABC∆ A B C、 、 , ,a b c ( )sin ( )(sin sin )b a A b c B C− = − + C
3
π
6
π
4
π 2
3
π
α β, 2cos 6 3sin
π πα β − = +
α β 3
π+ = α β 6
π+ = α β 3
π− = α β 6
π− =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2FB AF=
2 3
3
3 4
3
4 3
3
( ) 2 1f x x lnx= + −
3 ,2
+∞
3 1 22 2 ln ∞ + + ， 3 1 22 2 ln∞ − + ，
( ) 2 2 2 2 1f x sin x cos x= − +
4
π佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 2 页，共 4 页
A．函数y = g(푥)的最小正周期是π B．函数y = g(푥)的一条对称轴是
C.函数y = g(푥)的一个零点是 D．函数y = g(푥)在区间 上单调递减
8.函数 的图象可能是
A． B． C. D．
9.已知对任意푥 ∈ [1
푒，푒2]不等式 恒成立(其中 是自然对数的底数），则实数푎的取值
范围是
A． B． C． D．
10.已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时， ，若在区间
内，函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是
A．(1，5) B．(1，,5] C.(5， +∞) D．[5， +∞)
11.已知 ，若 ，且 ，则푥1 + 푥2与 2 的关系为
A. 푥1 + 푥2 > 2 B. 푥1 + 푥2 ≥ 2 C.푥1 + 푥2 < 2 D.大小不确定
12.已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则 的
最小值是
A． B． C. D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知曲线푦2 = 푥与y = 푥 ―2的图象所围成的阴影部分面积为_________.
8x
π=
3
8
π 5,12 8
π π
( ) ( )
( )
2
3
ln 4 4
2
x x
f x
x
− +
=
−
2axe x>
2
e
∞ + ， 1
e
∞ + ， 1, 2e
∞ − −
2
4
e∞ −
，
( )f x ( 1) ( 1)f x f x+ = − ( )f x [ ]1,0x∈ − 2( )f x x=
[ ]1,3− ( ) ( ) log ( 2)ag x f x x= − + a
f ( ) ( )xx xe x R−= ∈ 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x=
( ) ln , ( ) (a ) 2f x x g x e x b= = − + ( ) ( )f x g x≤ (0, )x∈ +∞ 2b
a
1
2e
− 1
e
− e− e第 3 页，共 4 页
14.已知定义在 R 上的函数푓(푥)满足푓(푥 + 2) = 1
푓(푥)，当푥 ∈ [0,2)时，푓(푥) = 푥 + 푒푥，则푓(2019) =
____________.
15.在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c，且a,b,c成等差数列，则角 B 的取值范围是___________.
16.关于 有以下命题：
①若 ，则 。② 的图像与 图像相同。
③ 在区间 上是减函数。 ④ 图像关于 对称。
其中正确的选项是____________________________________________
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 10 分）
如图,在 △ 퐴퐵퐶中, , ,点 D 在边 BC 上，且 , ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 BD, AC 的长．
18.（本小题满分 12 分）
已知函数푓(푥) = ― 푥3 +푎푥2 +4푥的图象在푥 = 1处的切线方程为푦 = ―3푥 + 4．
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）若方程푓(푥) ―b = 0有三个实数解，求实数 b 的取值范围．
( ) 3sin(2 )4f x x
π= +
1 2( ) ( )f x f x= 1 2 ( )x x k k Zπ− = ∈ ( )f x ( ) 3cos(2 )4g x x
π= −
( )f x 7 3,8 8
π π − − ( )f x ,08
π −
3B
π∠ = 8AB = 2CD = 1cos 7ADC∠ =
sin BAD∠佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 4 页，共 4 页
19.(本题满分 12 分)
在直角坐标系푥oy中，已知曲线퐶1的参数方程为{푥 = 4 + 3푡
푦 = ―푡 (푡为参数)，曲线 的参数方程为
{푥 = 7푐표푠휃
푦 = 7
2 푠푖푛휃 (휃为参数)，在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 ， 的极坐标方程；
(Ⅱ)在极坐标系中，射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交于点 ，求 的
面积（其中 为坐标原点）.
20. （本小题满分 12 分）
已知函数푓(푥) = |푥 ― 3| + |2푥 ― 4|，g(푥) = |푥 ― 푎| +|푥 +1|，.
（Ⅰ）解不等式푓(푥) ≤ 10；
(Ⅱ) 若对于任意的푥1 ∈ 푅都有푥2 ∈ 푅,使得푓(푥1) = g(푥2),试求푎的取值范围.
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 在[t,t + 1](t > 0)的最小值;
（Ⅱ）若b > 푎 > 0，总有 成立，求实数m的值.
22. （本小题满分 12 分）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅱ）设 a∈Z，若对任意的 x＞0，f（x）≤0 恒成立，求整数 a 的最大值；
（Ⅲ）求证：当 x＞0 时， ．
1C 2C
θ 3
π= 1C θ 6
π= 2C MON∆
( ) ( )2
3 21 g 2 32 2
xf x lnx x x x = − = − ，
( ) ( )2h 2
xx f xx
= +
( ) ( ) ( ) ( )m g b g ba f f a− > −
2( ) ( 2) 1f x lnx ax a x a= + + + + ∈R（ ）．
3 22 1 0xe xlnx x x x+ + −− − ＞第 5 页，共 4 页
佛山一中 2019 届高三年级十月考试题数学（理科）答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A C A C D A A D A B
二、填空题: （每小题 5 分，共 20 分） 13.9
2； 14. 1
1 + 푒；15. (0，휋
3 ]； 16.(2)(3)(4)；
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. （满分 10 分）解：(1)在 △ 퐴퐵퐶中, ∵ cos∠퐴퐷퐶 = 1
7, …………1 分
∴ sin∠퐴퐷퐶 = 1 ― 푐표푠2∠퐴퐷퐶 = 1 ― (1
7)2 = 48
49 = 4 3
7 , …………3 分
则sin∠퐵퐴퐷 = sin(∠퐴퐷퐶 ― ∠퐵) = sin∠퐴퐷퐶 ⋅ 푐표푠퐵 ― cos∠퐴퐷퐶 ⋅ 푠푖푛퐵 = 4 3
7 × 1
2 ― 1
7 × 3
2 = 3 3
14 ．………5 分
(2)在 △ 퐴퐵퐷中,由正弦定理得 ,…………7 分
在 △ 퐴퐵퐶中,由余弦定理得퐴퐶2 = 퐴퐵2 +퐶퐵2 ―2퐴퐵 ⋅ 퐵퐶푐표푠퐵 = 82 + 52 ―2 × 8 × 5 × 1
2 = 49,
即퐴퐶 = 7．………………10 分
18.（满分 12 分）解：（Ⅰ）푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，……………………2 分
푓′(1) = ―3 +2푎 + 4 = ―3，解得푎 = ―2; ……………………5 分
（Ⅱ）∵푓(푥) ―b = 0 ∴푓(푥) = b
由(1)得푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，令푓′(푥) = 0，解得푥 = 2
3或푥 = ―2，……………………7 分
当 ―2 < 푥 < 2
3 时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―2，2
3)上单调递增，……………………8 分
当x < ―2或푥 > 2
3时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―∞， ― 2)和(2
3, + ∞)上单调递减，………………9 分
所以푓(푥)在푥 = ―2处取得极小值푓( ―2) = ―8，在푥 = 2
3处取得极大值푓(2
3) = 40
27…………………10 分
所以当 ―8 < 푏 < 40
27时，y=f(x)的图象与直线 y=b 有三个交点，那么方程푓(푥) ―b = 0有三个实数解
故实数 b 的取值范围为( ―8，40
27)……………………12 分佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 6 页，共 4 页
19. （12 分）解：（Ⅰ）由曲线 ： （ 为参数），消去参数 得：
化简极坐标方程为： …………………3 分
曲线퐶2： （ 为参数）消去参数 得： ……………………5 分
化简极坐标方程为： ……………………………6 分
（Ⅱ）联立 即 ………………………8 分
联立 即 ……………………………10 分
故 ……………………………12 分
20. （12 分）解：（Ⅰ）当푥 ≤ 2时，푓(푥) = 3 ― 푥 +4 ― 2푥 = 7 ― 3푥 ≤ 10
解得푥 ≥ ―1即有{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 2}……………………………2 分
当2 < 푥 < 3时，푓(푥) = 3 ― 푥 +2푥 ―4 = 푥 ― 1 ≤ 10
解得푥 ≤ 11即有{푥|2 < 푥 < 3}……………………………3 分
当푥 ≥ 3时，푓(푥) = 푥 ―3 +2푥 ―4 = 3푥 ― 7 ≤ 10……………………………4 分
解得푥 ≤ 17
3 即有{푥|3 ≤ 푥 ≤ 17
3 }
故原不等式解集为{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 17
3 }……………………………5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知푓(푥) = { ―3푥 + 7，푥 ≤ 2
푥 ― 1，2 < 푥 < 3
3푥 ― 7，푥 ≥ 3 , ……………………………7 分
由此可得，当푥 = 2时，푓(푥)取最小值푓(2) = 1 ……………………………8 分
而g(푥) = |푥 ― 푎| + |푥 + 1| ≥ |푥 ― 푎 ― (푥 + 1)| = |푎 +1| …………………9 分
对任意푥1 ∈ 푅都有푥2 ∈ 푅使得푓(푥1) = g(푥2) 即 f(x)的值域是 g(x)值域的子集.
|푎 +1| ≤ 1即 ―1 ≤ 푎 +1 ≤ 1 解得 ―2 ≤ a ≤ 0…………………11 分
可得 a 取值范围为[-2,0] ……………………………12 分
21. （12 分）解：（Ⅰ）∵h(푥) = 2
푥 ∙ 푥2
2 (푙푛푥 ― 1
2) + 푥
2 = 푥푙푛푥 定义域为（0， +∞）第 7 页，共 4 页
h′(푥) = ln푥 +1 且h′(푥)为单调递增函数，令h′(푥) = 0 得푥 = 1
푒………………3 分
所以当푥 ∈ (0,1
푒)时，h′(푥) < 0，h(푥)单调递减，
当푥 ∈ (1
푒， +∞)时，h′(푥) > 0，h(푥)单调递增. ………………3 分
①当0 < 푡 < 푡 + 1 < 1
푒时，满足条件的 t 不存在，………………4 分
②当0 < 푡 < 1
푒 < 푡 + 1，即0 < 푡 < 1
푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(1
푒) = ― 1
푒……………5 分
③当1
푒 ≤ 푡 < 푡 + 1，即t ≥ 1
푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(푡) = 푡푙푛푡 ……………………6 分
（Ⅱ）因为m[g(b) ― g(a)] > 푓(b) ― 푓(a)等价于mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a)
构造函数φ(푥) = mg(푥) ― 푓(푥)=2m푥3 ―3푚푥2 ― 푥2
2 푙푛푥 + 푥2
4 ………………7 分
因为b > 푎 > 0总有mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a)成立
所以φ(푥)在(0， +∞)上单调递增
原问题转化为φ′(푥) = 6m푥2 ―6푚푥 ― 푥푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立
因为φ′(푥) = 푥(6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥)
原问题转化为r(푥) = 6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立………………8 分
若m ≤ 0，因为r(푒) = 6m(e ― 1) ―1 < 0，所以不满足题意;
若m > 0由r‘(푥) = 6m ― 1
푥 = 6푚푥 ― 1
푥 知
当푥 ∈ (0， 1
6푚)时，r‘(푥) < 0， r(푥)在(0， 1
6푚)上单调递减………………8 分
当푥 ∈ ( 1
6푚, + ∞)时，r‘(푥) > 0， r(푥)在( 1
6푚, + ∞)上单调递增………………9 分
故r(푥)在当푥 = 1
6푚处取得极小值也是最小值，………………………………10 分
即푥 = 1
6푚是r(푥)在(0， +∞)上的最小值点………………………………11 分
由于r(1) = 0，所以当且仅当 1
6푚 = 1时，r(푥) ≥ 0，故m = 1
6 ………………………………12 分
22.（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1，
f′（x）＝ 2ax+a+2＝ （x＞0），………………1 分
①若 a≥0，则 f′（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②若 a＜0，由 f′（x）＞0，得 0＜x＜﹣ ；由 f′（x）＜0，得 x＞﹣ ．
∴函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减；………………3 分
（Ⅱ）解：若 a≥0，则 f（1）＝2a+3＞0，∴不满足 f（x）≤0 恒成立．佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 8 页，共 4 页
若 a＜0，由（Ⅰ）可知，函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减．
∴ ，又 f（x）≤0 恒成立，
∴ ≤0，…………5 分
设 g（x）＝lnx+x，则 g（﹣ ）≤0．
∵函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，且 g（1）＝1＞0，g（ ） ＜0，
∴存在唯一的 x0∈（ ），使得 g（x0）＝0．……………………6 分
当 x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．……………7 分
∴0＜﹣ ≤x0，解得 a ∈（﹣2，﹣1），
又 a∈Z，∴a≤﹣2．
则综上 a 的最大值为﹣2；………………………8 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2 时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，
∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．
记 u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则 u′（x）＝ex﹣2x+2．…………………9 分
记 h（x）＝ex﹣2x+2，则 h′（x）＝ex﹣2，…………………10 分
由 h′（x）＝0，得 x＝ln2．
当 x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当 x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴函数 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴ ＝4﹣2ln2＞0．…………………11 分
∴h（x）＞0，即 u′（x）＞0，故函数 u（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即 ex﹣x2+2x﹣1＞0．
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．…………………12 分
佛山一中 2019 届高三年级十月考试题数学（理科）答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A C A C D A A D A B第 9 页，共 4 页
二、填空题: （每小题 5 分，共 20 分）13.9
2；14. 1
1 + 푒；15. (0，휋
3 ]；16.(2)(3)(4)；
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.（满分 10 分）解：(1)在 △ 퐴퐵퐶中, ∵ cos∠퐴퐷퐶 = 1
7,…………1 分
∴ sin∠퐴퐷퐶 = 1 ― 푐표푠2∠퐴퐷퐶 = 1 ― (1
7)2 = 48
49 = 4 3
7 ,…………3 分
则sin∠퐵퐴퐷 = sin(∠퐴퐷퐶 ― ∠퐵) = sin∠퐴퐷퐶 ⋅ 푐표푠퐵 ― cos∠퐴퐷퐶 ⋅ 푠푖푛퐵 = 4 3
7 × 1
2 ― 1
7 × 3
2 = 3 3
14 ．………5 分
(2)在 △ 퐴퐵퐷中,由正弦定理得 ,…………7 分
在 △ 퐴퐵퐶中,由余弦定理得퐴퐶2 = 퐴퐵2 +퐶퐵2 ―2퐴퐵 ⋅ 퐵퐶푐표푠퐵 = 82 + 52 ―2 × 8 × 5 × 1
2 = 49,
即퐴퐶 = 7．………………10 分
18.（满分 12 分）解：（Ⅰ）푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，……………………2 分
푓′(1) = ―3 +2푎 + 4 = ―3，解得푎 = ―2;……………………5 分
（Ⅱ）∵푓(푥) ―b = 0 ∴푓(푥) = b
由(1)得푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，令푓′(푥) = 0，解得푥 = 2
3或푥 = ―2，……………………7 分
当 ―2 < 푥 < 2
3时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―2，2
3)上单调递增，……………………8 分
当x < ―2或푥 > 2
3时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―∞， ― 2)和(2
3, + ∞)上单调递减，………………9 分
所以푓(푥)在푥 = ―2处取得极小值푓( ―2) = ―8，在푥 = 2
3处取得极大值푓(2
3) = 40
27…………………10 分
所以当 ―8 < 푏 < 40
27时，y=f(x)的图象与直线 y=b 有三个交点，那么方程푓(푥) ―b = 0有三个实数解
故实数 b 的取值范围为( ―8，40
27)……………………12 分
19.（12 分）解：（Ⅰ）由曲线 ： （ 为参数），消去参数 得：
化简极坐标方程为： …………………3 分佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 10 页，共 4 页
曲线퐶2： （ 为参数）消去参数 得： ……………………5 分
化简极坐标方程为： ……………………………6 分
（Ⅱ）联立 即 ………………………8 分
联立 即 ……………………………10 分
故 ……………………………12 分
20. （12 分）解：（Ⅰ）当푥 ≤ 2时，푓(푥) = 3 ― 푥 +4 ― 2푥 = 7 ― 3푥 ≤ 10
解得푥 ≥ ―1即有{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 2}……………………………2 分
当2 < 푥 < 3时，푓(푥) = 3 ― 푥 +2푥 ―4 = 푥 ― 1 ≤ 10
解得푥 ≤ 11即有{푥|2 < 푥 < 3}……………………………3 分
当푥 ≥ 3时，푓(푥) = 푥 ―3 +2푥 ―4 = 3푥 ― 7 ≤ 10……………………………4 分
解得푥 ≤ 17
3 即有{푥|3 ≤ 푥 ≤ 17
3 }
故原不等式解集为{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 17
3 }……………………………5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知푓(푥) = { ―3푥 + 7，푥 ≤ 2
푥 ― 1，2 < 푥 < 3
3푥 ― 7，푥 ≥ 3 ,……………………………7 分
由此可得，当푥 = 2时，푓(푥)取最小值푓(2) = 1……………………………8 分
而g(푥) = |푥 ― 푎| + |푥 + 1| ≥ |푥 ― 푎 ― (푥 + 1)| = |푎 +1|…………………9 分
对任意푥1 ∈ 푅都有푥2 ∈ 푅使得푓(푥1) = g(푥2)即 f(x)的值域是 g(x)值域的子集.
|푎 +1| ≤ 1即 ―1 ≤ 푎 +1 ≤ 1解得 ―2 ≤ a ≤ 0…………………11 分
可得 a 取值范围为[-2,0]……………………………12 分
21. （12 分）解：（Ⅰ）∵h(푥) = 2
푥 ∙ 푥2
2 (푙푛푥 ― 1
2) + 푥
2 = 푥푙푛푥 定义域为（0， +∞）
h′(푥) = ln푥 +1 且h′(푥)为单调递增函数，令h′(푥) = 0 得푥 = 1
푒………………3 分
所以当푥 ∈ (0,1
푒)时，h′(푥) < 0，h(푥)单调递减，
当푥 ∈ (1
푒， +∞)时，h′(푥) > 0，h(푥)单调递增.………………3 分第 11 页，共 4 页
①当0 < 푡 < 푡 + 1 < 1
푒时，满足条件的 t 不存在，………………4 分
②当0 < 푡 < 1
푒 < 푡 + 1，即0 < 푡 < 1
푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(1
푒) = ― 1
푒……………5 分
③当1
푒 ≤ 푡 < 푡 + 1，即t ≥ 1
푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(푡) = 푡푙푛푡 ……………………6 分
（Ⅱ）因为m[g(b) ― g(a)] > 푓(b) ― 푓(a)等价于mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a)
构造函数φ(푥) = mg(푥) ― 푓(푥)=2m푥3 ―3푚푥2 ― 푥2
2 푙푛푥 + 푥2
4 ………………7 分
因为b > 푎 > 0总有mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a)成立
所以φ(푥)在(0， +∞)上单调递增
原问题转化为φ′(푥) = 6m푥2 ―6푚푥 ― 푥푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立
因为φ′(푥) = 푥(6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥)
原问题转化为r(푥) = 6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立………………8 分
若m ≤ 0，因为r(푒) = 6m(e ― 1) ―1 < 0，所以不满足题意;
若m > 0由r‘(푥) = 6m ― 1
푥 = 6푚푥 ― 1
푥 知
当푥 ∈ (0， 1
6푚)时，r‘(푥) < 0， r(푥)在(0， 1
6푚)上单调递减………………8 分
当푥 ∈ ( 1
6푚, + ∞)时，r‘(푥) > 0，r(푥)在( 1
6푚, + ∞)上单调递增………………9 分
故r(푥)在当푥 = 1
6푚处取得极小值也是最小值，………………………………10 分
即푥 = 1
6푚是r(푥)在(0， +∞)上的最小值点………………………………11 分
由于r(1) = 0，所以当且仅当 1
6푚 = 1时，r(푥) ≥ 0，故m = 1
6………………………………12 分
22.（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1，
f′（x）＝ 2ax+a+2＝ （x＞0），………………1 分
①若 a≥0，则 f′（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②若 a＜0，由 f′（x）＞0，得 0＜x＜﹣ ；由 f′（x）＜0，得 x＞﹣ ．
∴函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减；………………3 分
（Ⅱ）解：若 a≥0，则 f（1）＝2a+3＞0，∴不满足 f（x）≤0 恒成立．
若 a＜0，由（Ⅰ）可知，函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减．
∴ ，又 f（x）≤0 恒成立，
∴ ≤0，…………5 分佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 12 页，共 4 页
设 g（x）＝lnx+x，则 g（﹣ ）≤0．
∵函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，且 g（1）＝1＞0，g（ ） ＜0，
∴存在唯一的 x0∈（ ），使得 g（x0）＝0．……………………6 分
当 x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．……………7 分
∴0＜﹣ ≤x0，解得 a ∈（﹣2，﹣1），
又 a∈Z，∴a≤﹣2．
则综上 a 的最大值为﹣2；………………………8 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2 时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，
∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．
记 u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则 u′（x）＝ex﹣2x+2．…………………9 分
记 h（x）＝ex﹣2x+2，则 h′（x）＝ex﹣2，…………………10 分
由 h′（x）＝0，得 x＝ln2．
当 x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当 x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴函数 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴ ＝4﹣2ln2＞0．…………………11 分
∴h（x）＞0，即 u′（x）＞0，故函数 u（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即 ex﹣x2+2x﹣1＞0．
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．…………………12 分
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