海口四中 2020 届高三第一学期数学月考（2）
（满分：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）
1. 已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2，4}，
则（∁UP）∪Q=（ ）
A. B. C. 2,4, D. 2,3,4,
2. 已知 p：（x-1）（x-2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列命题中的假命题是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
4. 以下四个命题中是真命题的是（ ）
A. 对分类变量 x 与 y 的随机变量 的观测值 k 来说,k 越小,判断“x 与 y 有关系”的把握
程度越大
B. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 0
C. 若数据 , , , , 的方差为 1,则 , , , , 的方差为 2
D. 在回归分析中,可用相关指数 的值判断模型的拟合效果, 越大,模型的拟合效果越好．
5. 若 b＜a＜0，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
6. 某地市高三理科学生有 30000 名，在一次调研测试中，数学成绩 ξ～N(100，σ2)，已知 P(80
＜ξ≤100)＝0.45，若按分层抽样的方式取 200 份试卷进行成绩分析，则应从 120 分以上的
试卷中抽取（ ）
A. 5 份 B. 10 份 C. 15 份 D. 20 份
7. 已知 x＞0，y＞0，2x+y=2，则 xy 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 随机变量 X 的分布列如表所示，若 E（X）= ，则 D（3X-2）=（ ）
X -1 0 1
P a b
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
9. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则下列关于函数
的说法正确的是
A. 奇函数 B. 周期是
C. 关于直线 对称 D. 关于点 对称
10. 当 x∈R 时，不等式 kx2-kx+1＞0 恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 11. 若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最小值为
A. B. C. D.
12. 已知定义域为{x|x≠0}的偶函数 f（x），其导函数为 f′（x），对任意正实数 x 满足 xf′
（x）＞-2f（x），若 g（x）=x2f（x），则不等式 g（x）＜g（1-x）的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）
13. 设函数 f（x）= ，则 f（ ）的值为_________
14. 设 x∈R，向量 ，且 ，则 =________
15. 一正三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为_____
16. 若函数 f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R 有零点，则实数 a 的取值范围是_______
三、解答题（共 70 分）
17. (本小题 12 分)已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求函数 f（x）的解析式
（2）求 f（x）的单调增区间；
（3）求 f（x）在区间 上的最大值和最小值．
18. (本小题 10 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 4an-3Sn=2，其中 n∈N*．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）设 bn= an-4n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
19. (本小题 12 分)某大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛．经初赛进入复赛的 40
名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训．下
)2,0,0)(sin()(
πϕωϕω >+= AxAxf图是根据这 40 名选手参加复赛时获得的 100 名大众评审的支持票数制成的茎叶图．赛制
规定：参加复赛的 40 名选手中，获得的支持票数不低于 85 票的可进入决赛，其中票数
不低于 95 票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．
(1)从进入决赛的选手中随机抽出 2 名，X 表示其中拥有“优先挑战权”的人数，求 X 的
分布列和数学期望；
(2)请填写下面的 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为进入
决赛与选择的导师有关？
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：K2＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d)
20. (本小题 12 分) 如图，在四棱锥 A-BCDE 中，平面 ABC⊥平面 BCDE，
∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面 ACD；
（Ⅱ）求二面角 B-AD-E 的大小．21. (本小题 12 分)设椭圆 C： =1（a＞b＞0），过点 Q（ ，1），右焦点 F（ ，0），
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 l：y=k（x-1）（k＞0）分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，且与椭圆 C 交于
M，N 两点，若 ，求 k 值，并求出弦长|MN|．
22. (本小题 12 分)已知函数 f（x）=ax2-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数 a，使函数 f（x）在区间（0，e]上的最小值为 ，若存在，求出 a 的
值，若不存在，请说明理由．海口四中 2020 届高三第一学期数学月考（2）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D C B A C D C B C
二、填空题
13. 14. 15. 16.
17.(本小题 12 分)解：（1）由图象知 A=1，
由图象得函数的最小正周期为 ，
则由 得 ω=2
又
又
（2）∵ ，
∴ ．
∴ ．
所以 f（x）的单调递增区间为 ．
（3）∵ ，∵ ，
∴ ．
∴ ．
当 ，即 时，f（x）取得最大值 1；
当 ，即 时，f（x）取得最小值 ．
π21 ]1,(−∞
)2sin()( ϕ+=∴ xxf 1)62sin()6( =+×= ϕππ
f
)(223 Zkk ∈+=+∴ ππϕπ
)(26 Zkk ∈+=∴ ππϕ
2
πϕ <
6
πϕ =∴
)62sin()(
π+=∴ xxf18.(本小题 10 分)（Ⅰ）证明：因为 4an-3Sn=2，①
所以当 n=1 时，4a1-3S1=2，解得 a1=2；
当 n≥2 时，4an-1-3Sn-1=2，②…3 分
由①-②，得 4an-4an-1-3（Sn-Sn-1）=0，
所以 an=4an-1，
由 a1=2，得 an≠0，
故{an}是首项为 2，公比为 4 的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得 an=2×4n-1．
所以 bn= an-4n=4n-1-4n，
则{bn}的前 n 项和 Tn=（40+41+…+4n-1）-4（1+2+3+…+n）= -4× =
-2n2-2n
19.(本小题 12 分)解：(1)由题中茎叶图可知，进入决赛的选手共 13 名，其中拥有“优先挑战
权”的选手共 3 名．
根据题意，X 的可能取值为 0,1,2.
P(X＝0)＝ ＝ ， P(X＝1)＝ ＝ ， P(X＝2)＝ ＝ .
X 的分布列如下：
X 0 1 2
P
E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
(2)由茎叶图可得 2×2 列联表如下：
甲班 乙班 合计
进入决赛 3 10 13
未进入决赛 17 10 27
合计 20 20 40
K2＝ ≈5.584>5.024，
因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为进入决赛与选择的导师有关．
20. (本小题 12 分)
证明：（Ⅰ）在直角梯形 BCDE 中，由 DE=BE=1，CD=2，得 BD=BC= ，
由 AC= ，AB=2 得 AB2=AC2+BC2，即 AC⊥BC，
又平面 ABC⊥平面 BCDE，平面 ABC 平面 BCDE=BC
从而 AC⊥平面 BCDE，
所以 AC⊥DE，又 DE⊥DC，从而 DE⊥平面 ACD；
（Ⅱ）
3
14 −n
∩21.(本小题 12 分)解：（Ⅰ）椭圆过点 Q（ ，1），
可得 + =1，由题意可得 c= ，即 a2-b2=2，
解得 a=2，b= ，
即有椭圆 C 的方程为 + =1；
（Ⅱ）直线 l：y=k（x-1）与 x 轴交点 C（1，0），y 轴交点 D（0，-k），
联立 ，消 y 得，（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，①
设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2= ，=（x2-1，y2）， =（-x1，-k-y1），
由 ，得：x1+x2= =1，
解得 k=± ．由 k＞0 得 k= 代入①
得 2x2-2x-3=0， x1+x2=1，x1x2=- ，
可得|MN|= • = • = ．
22.(本小题 12 分)解：（Ⅰ）当 a=1 时，f（x）=x2-lnx，f（1）=1，
，f′（1）=1，
∴函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 x-y=0．
（Ⅱ）∵f（x）=ax2-lnx，a∈R，∴此函数的定义域为（0，+∞），
= ，
当 a≤0 时，f′（x）＜0 恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，
∴当 x=e 时，f（x）取得最小值 f（e）=ae2-1= ，
解得 a= ＞0 与 a≤0 矛盾；
当 a＞0 时，令 f′（x）=0，得 (舍)， ，
在（0， ）上，f′（x）＜0，在（ ，+∞）上，f′（x）＞0，
∴当 ＜e，即 a＞ 时，函数 f（x）在（0， ）上是减函数，在（ ，e）上
是增函数，
∴当 x= 时，f（x）取得最小值 ，
令 = ，得 a= ，符合题意．
当 ≥e，即 0＜a≤ 时，函数 f（x）在（0，e]是减函数，
∴当 x=e 时，f（x）取得最小值，即 ae2-1= ，
解得 a= 与 0＜a≤ 矛盾．
综上，存在 a= ，使函数 f（x）在区间（0，e]上的最小值为 ．
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