湖北省黄冈市2020届高三10月联考数学（文）试卷（带答案）.doc

高三 10 月联考 文科数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点 是角 终边上的一点，若 ，则 A. B. C. D. 3. 函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 设 ，则 的大小关系为 A. B. C. D. 5. 已知函数 满足 ，则 在点 处的切线方程是 A. B. C. D. 6. 函数 的图象大致为 7.给出下列三个命题 ①命题 ，都有 ，则非 ，使得 ②在 中，若 ，则角 与角 相等 ③命题：“若 ，则 ”的逆否命题是假命题 以上正确的命题序号是 A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 8. 若奇函数 满足当 时， ，则不等式 成立 的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公 式为：弧田面积 （弦×矢+矢 ），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公 式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 { } { }| 1 , | 2 0A y y x B x x= = + = − ≤ A B = [ ]1,2 [ ]0,2 ( ],1−∞ [ )2,+∞ 2 2(cos ,sin )5 5P π π α [0, )α π∈ α = 5 π 2 5 π 3 5 π 3 10 π | 2 |y x a= − [ 1, )− +∞ a ( , 1]−∞ − ( , 2]−∞ − ( ,1]−∞ ( ,2]−∞ 0.1 3 23 , log 2, log 3a b c= = = , ,a b c a b c< < a c b< < b c a< < c b a< < ( )f x 2( 1)f x x x− = − ( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ − = 3 0x y− = 3 1 0x y− − = 2 0x y− = ( ) ( )lnx xf x e e x−= + :P x R∀ ∈ sin 1x ≤ 0:P x R∃ ∈ 0sin 1x > ABC∆ sin 2 sin 2A B= A B tan 3x = 3x π= ( )f x [0, )x∈ +∞ 2( ) log ( 2)f x x x b= + + + ( ) 3f x ≥ 2x ≥ 3x ≥ 1x ≥ 3x < 1 2 = × 2，矢为 的弧田，按照上述方法计算出其面积是 A. B. C. D. 10. 在 中， 是 的中点，则 A. B. C. D. 11. 已知函数 ，若 的零点都在 内，其中 均为整数，当 取最小值时，则 的值为 A. B. C. D. 12. 已知函数 的最小正周期为 ，若 在 时所求函 数值中没有最小值，则实数 的范围是 A． B． C． D． 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知向量 ，若 ，则实数 ． 14．已知函数 则 ． 15. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄 金分割值约为 ，这一数值也可以表示为 .若 ，则 ＝ ．（用数字作答） 16．定义 ，若 ，则使不等式 成立的 的取值范围是 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 2 3 π 2 2+4 3 13+ 2 2+8 3 4+8 3 ABC∆ ,BD DC E=  AD EB = 2 1 3 3AB AC−  2 1 3 3AB AC− +  3 1 4 4AB AC− +  3 1 4 4AB AC−  2 3 ( ) 1 2 3 x xf x x= + − + ( ) ( 2020)h x f x= − ( , )a b ,a b b a− b a+ 4039 4037 1 1− ( ) sin( )6f x x πω= + ( 0)ω > π ( )f x [0, )x t∈ t 0, 6 π     20, 3 π    5,3 6 π π     2,3 3 π π     (1,1), (2, )a b y= =  ( )a a b⊥ −   y = 2 , (0,2] ( ) 1 ( 1), (2 )2 2 xxf x xf x  ∈=   − ∈ + ∞ (8)f = 0.618 2sin18m = ° 2 4m n+ = 21 2cos 27 m n − ° min{ , }a b = , , a a b b a b ≤  > { }( ) min 1,3f x x x= + − (2 ) (2 )f x f x≤ − x17.（12 分）已知 的内角 的对边分别为 满足 . （1）求 . （2）若 的面积 ，求 的周长. 18.（12 分）如右图，已知菱形 和矩形 ， 点 是 的中点. （1）求证： ∥平面 ； （2）平面 平面 ，求三棱锥 的体积. 19.（12 分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于 2019 年 9 月 28 日至 11 月 28 日在荆州园博 园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵， 吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经 济快速发展.在此博览会期间，某公司带来了一 种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量 投放荆州市场. 已知该种设备年固定研发成本为 50 万元，每 生产一台需另投入 80 元，设该公司一年内生 产该设备 万台，且全部售完，且每万台的 销售收入 （万元）与年产量 （万台） 的函数关系式近似满足 （1）写出年利润 (万元)关于年产量 （万台）的函数解析式.（年利润 年销售收入 总 成本）. （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润. 20.（12 分）已知函数 （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，当 时，证明： . 21.（12 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 是椭圆短轴的 ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos 2 cos C c b A a a + = A ABC∆ 3 3, 3ABCS a∆ = = ABC∆ ABCD ACEF 060 ,ABC∠ = 2,AB AF= = M EF AM BDE ABCD ⊥ ACEF D EFB− x ( )G x x 2 180 2 ,0 20 ( ) 2000 900070 , 20. x x G x xx x − < ≤=  + − > ( )W x x = − 2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a = + + ≠ ∈ ( )f x 1( ) 2a xg x x a a = + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥ 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1 2,F F P一个顶点，并且 是面积为 的等腰直角三角形. （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与椭圆 相交于 两点，过 作与 轴垂直的直线 ， 已知点 ,问直线 与 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定 值；若不是，请说明理由. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 . （1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）直线 与曲线 交于 两点，点 ，求 的值. 23. [选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 （1）解不等式 ； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 1 2PFF∆ 1 E 1 : 1l x my= + E ,M N M y 2l 3( ,0)2H NH 2l l 1 2 32 2 tx y t  = +  = − t x C 4cosρ θ= l C l C A B、 (1 2)P ， PA PB+ ( ) 2 1 4f x x x= + + − ( ) 6f x ≤ 2( ) 4 8f x x a a+ − < − a高三 10 月联考 文科数学试题参考答案 一、选择题 1-5 ABBCC 6-10 DCBAD 11-12 AD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 解答题： 17.解：（1） 由正弦定理可得： ，且 ， ………………6 分 （2） ………………8 分 又 ………………11 分 即 的周长为 ………………12 分 18.(1) 为矩形， 是 中点 设 和 的交点为 ,连 为菱形， 为 的中点 又 平面 平面 平面 ………………6 分 (2) 为菱形， 又 平面 平面 平面 ………………11 分 ………………12 分 19.（1） ………………2 分 0 1 1 2 − ( ] 2,0 ,3  −∞ +∞  cos 2 cos C c b A a a + = cos sin 2sin cos sin sin C C B A A A + = sin 2sin cos sin sin B B A A A ∴ = 1cos 2A∴ = (0, )A π∈ 3A π∴ = 13 3 sin , 122ABCS bc A bc∆ = = ∴ = 2 2 2 2 cosa b c b A= + − 29 ( ) 3b c bc∴ = + − 3 5b c∴ + = ABC∆ 3 3 5+ ACEF M EF AC BD O EO ABCD O∴ AC //EO AM∴ EO ⊂ ,BDE AE ⊄ BDE //AM∴ BDE ABCD BD AC∴ ⊥  ABCD ⊥ ACEF BD∴ ⊥ ACEF 1 3D EFB EFOV S BD− ∆∴ = ⋅ 60 , 2ABC AB AF∠ = = = 1 2 2 2 2 32EFOS BD∆∴ = × × = =， 1 42 2 3 33 3D EFBV −∴ = × × = ( ) ( ) 80 50W x x G x x= ⋅ − −………………6 分 （2）当 时, ,在 上单调递 增 时 取最大值 ………………8 分 当 时 , 取“＝”）………………10 分 综上所述 当年产量为 万台时，该公司获得最大利润 1350 万元………………12 分 20.解：（1） ………………2 分 当 时， ， 当 时， ， ∴ 时， 在 上递减，在 递增 时， 在 上递增，在 递减………………6 分 （2）设 则 时， ， 递减 ， 递增 ……………8 分 设 ， ,则 时 时， 递增， ， 递减 ，即 ………………12 分 21.解：由已知得 ，设 是面积为 1 的等腰直角三角形 椭圆 的方程为 ………………4 分 22 100 50,0 20 ( ) 900010 1950, 20 x x x W x x xx − + − < ≤∴ =  − − + > 0 20x< ≤ 2 2( ) 2 100 50 2( 25) 1200W x x x x= − + − = − − + ( ]0,20 20x∴ = ( )W x max( )W x = 2 25 1200 1150− × + = 20x > 9000( ) 1950 10W x x x = − − 9001950 10( )x x = − + 9001950 10 2 x x ≤ − ⋅ ⋅ 1350= max( ) 1350( 30W x x∴ = = 30 2 2 1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax + −′ = − + = 0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < < 0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > − 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − 2 2 1( ) ( 0)a x aF x xx x x −′ = − = >  0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x ( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a ∴ ≥ = + − 1( ) ln 1h x x x = + − ( 0)x > 2 2 1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x −′ = − = > 1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x 0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x ( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥ ( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥ 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− (0, )P b 1 2PF F∆ 1, 2b c a∴ = = = E 2 2 12 x y+ =（2）设 得 ………………6 分 直线 的方程： ………………7 分 令 ………………11 分 与 交点的横坐标为定值 2. ………………12 分 22.解：由 得 的普通方程为： ………………2 分 的极坐标方程是 的直角坐标方程为： ………………5 分 ②将 的参数方程代入 的直角坐标方程 ………………7 分 同号 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 2 2 1 12 x my x y = + + = 2 2( 2) 2 1 0m y my+ + − = 1 2 1 22 2 2 1,2 2 my y y ym m − −∴ + = =+ + HN 2 2 3( )3 2 2 yy x x = − − 1y y= 1 2 21 2 1 2 2 2 2 2 2 13 1 3 ( ) 2( ) ( )3 2 22 2 2 2 m y y yy x y my y mx y y y − − + +− − + += + = = 22 2 2 22 2 2 m m ym m y − + ++ += = ∴ NH 2l 1 2 32 2 tx y t  = +  = − 2 3( 1)y x− = − − ∴ l 3 2 3y x= − + + C 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ∴ = 2 2 4x y x∴ + = ∴ C 2 2 4 0x y x+ − = l C 2 23(1 ) (2 ) 4(1 ) 02 2 2 t tt+ + − − + = 2 (2 3 1) 1 0t t∴ − + + = 1 2 1 21, 2 3 1t t t t∴ = + = + 1 2,t t∴ ………………10 分 23.（1）由已知得 当 时， 当 时， 当 时， 舍 综上得 的解集为 ………………5 分 （2） 有解 ………………7 分 或 的取值范围是 .………………10 分 如另有解法，请酌情给分！ 1 2 1 2| | | | | | | | | | 2 3 1PA PB t t t t∴ + = + = + = + 13 3 2 1( ) 5 42 3 3 4 x x f x x x x x − + < − = + − ≤ ≤  − >  1 2x < − 3 3 6 1x x− + ≤ ⇒ ≥ − 11 2x∴− ≤ < − 1 42 x− ≤ ≤ 5 6 1x x+ ≤ ⇒ ≤ 1 12 x∴− ≤ ≤ 4x > 3 3 6 3x x− ≤ ⇒ ≤ ( ) 6f x ≤ [ ]1,1− ( ) 4 2 1 2 8 9f x x x x+ − = + + − ≥ 2( ) 4 8f x x a a+ − < − 2 8 9a a∴ − > ( 9)( 1) 0a a− + > 1a∴ < − 9a > a∴ ( ), 1 (9, )−∞ − +∞