2020届高三年级阶段检测（二）
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1. 设集合，，则 ▲ ．
2. 已知（为虚数单位），则复数 ▲ ．
3. 命题“”的否定是 ▲ ．
4. 袋中有形状和大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．现从中一次随
机摸出两只球，则这两只球颜色不同的概率为 ▲ ．
5. “”是“”的 ▲ 条件．（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
6．设等比数列的前项和为．若，则的值为 ▲ ．
7. 若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为 ▲ ．
8. 若函数 (R，)满足，且|α－β|的最小
值等于，则ω的值为 ▲ ．
9. 已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为 ▲ ．
10. 设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为 ▲ ．
11. 已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，点A在点O，B之间，过A作平行于y轴的直线交函数的图象于C点，当BC∥x轴时，点A的横坐标
为 ▲ ．
12. 设点P在函数的图象上,点Q在函数的图象上,则线段PQ长度的最小值为 ▲ ．
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13.设为偶函数，且当时，；当时，．关于函数的零点，有下列三个命题：
①当时，存在实数m，使函数恰有5个不同的零点；
②若，函数的零点不超过4个，则；
③对，，函数恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．
其中，正确命题的序号是 ▲ ．
14. 已知函数，若对于任意正实数x1，x2，x3，均存在以f (x1)，f (x2)，f (x3)为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
已知集合，集合，R．
（1）求集合B；
（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（本小题满分14分）
设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有
，，，（e是自然对数的底数）．
（1）求数列，的通项公式；
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（2）求数列的前n项和．
18．（本小题满分16分）
A
M
B
N
C
D
E
已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边AD上，记该点为E，且折痕MN的两端点M，N分别在边AB，BC上．设∠MNB=θ，MN=l，△EMN的面积为S．
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l的最小值及此时sinθ的值；
（3）问当θ为何值时，△EMN的面积S取得最小值?并求出这个最
小值．
19．（本小题满分16分）
已知函数．若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若a，且a≠0，证明：函数有局部对称点；
（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围；
（3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．
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20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）设函数的图象与函数的图象交于，两
点，求证：；
（3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．
数学Ⅱ
21．本大题共两小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．
C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
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已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．
C
·
·
P
M
A
B
D
N
(第22题图)
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23．（本小题满分10分）
在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为”．
（1）当时，记，求的分布列及数学期望；
（2）当，时，求且的概率．
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