江苏省扬州中学2020届高三上学期10月阶段检测数学（含答案）.doc

1 扬州中学高三数学月考 2019.10 试题Ⅰ 一、填空题（每小题 5 分，计 70 分） 1．已知命题 ，则 为 ▲ ． 2、函数 的定义域为 ▲ ． 3、已知复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限. 4、实数 x，y 满足 ，则使得 取得最大值是 ▲ ． 5、已知 ，则 ＝ ▲ ． 6、已知直线 被双曲线 的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到 渐近线的距离,则此双曲线的离心率为 ▲ . 7、已知 则“ ”是“ ”的 ▲ 条件. (填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”) 8、将函数 的图像向右平移 个单位（ ），可得函数 的图像，则 的最小值为 ▲ ． 9. 在平面直角坐标系 中，已知 ， ，若 为直角，则 实数 的值为 ▲ ． 10、已知函数 是定义域为 的偶函数，且 ，若 在 上是减函数，记三 个数 ， ， ，则这三个数大小关系为 ▲ .(按从大到小顺 序填写) 11. 设当 时,函数 取得最大值,则 ▲ . 12．在锐角三角形 ABC 中，已知 则 的取值范围是 ▲ .[ 13. 已知函数 若函数 存在 5 个零点，则整数 的值为 ▲ .[ 2: (1, ), log 0p x x∀ ∈ +∞ > p¬ 2 2 2 ax a b= + 2 2 2 2 1x y a b − = ,a∈R 2a > 2 2a a> xy 24 −= i iz 21 5 +−= i z 3 9 0 3 0 3 x y x y y − − ≥  − − ≤  ≤ 2z y x= − 3sin( )4 5x π+ = sin 2x xxxf 2cos2sin)( += ϕ 0>ϕ xxxg 2cos2sin)( −= ϕ xoy ( )1,OA t= − ( )2,2OB = OBA∠ t ( )f x R ( ) ( ) 11f x f x + = ( )f x [ ]1,0− ( )0.5log 2a f= ( )2log 4b f= ( )0.52c f= , 4,3B AB AC π= − =  ACAB⋅    ≤ > = .0,2 .0,lg )( x xx xf x 1)(2 −−= axfy a2 14. 已知正数 x，y，z 满足 ，且 z≤3x，则 P＝ 的取值范围是 ▲ .[ 二、解答题（共 6 道题，计 90 分） 15、（本小题满分14分） 已知集合 ， . （1）若 ，求集合 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 16. （本小题满分 14 分） 函数 的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出 及图中 的值； （Ⅱ）设 ，求函数 在区间 上 的最大值和最小值. ( 2 )( ) 4x y y z yz+ + = 2 23 2 3 x y xy + 4| 1+1A x x  = >   ( )( ){ }| 4 1 0B x x m x m= − − − + > 2m = A B A B = ∅ m π( ) cos(π )(0 )2f x x ϕ ϕ= + < < ϕ 0x 1( ) ( ) ( )3g x f x f x= + + ( )g x 1 1[ , ]2 3 − x0 y xO 3 23 17、（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边长，且 c=－3bcosA，tanC= ． （1）求 tanB 的值； （2）若 ，求△ABC 的面积． 18、（本小题满分 16 分） 某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中 AC=180 米，BC=90 米，∠C= ，开发商计划在这片 空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC 内的 P 点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在 AC 边上选一点 D，然后过点 P 和点 D 画一分界线与边 AB 相交于点 E，在△ADE 区域内绿化，在四边形 BCDE 区域内修建运动场所．现已知点 P 处的服务站与 AC 距离为 10 米，与 BC 距离为 100 米．设 DC= 米， 试问 取何值时，运动场所面积最大？ E D C B A P 3 4 2c = 90° d d4 19．（本小题满分 16 分） 已知圆 与椭圆 相交于点 , ， 且椭圆的离心率为 . （1）求 值和椭圆 的方程； （2）过点 的直线 另交圆 和椭圆 分别于 两点． ① 若 ，求直线 的方程； ② 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 问: 是否为定值,如果是,求出定值; 如果不是，请说明理由． 20．（本小题满分 16 分） 已知函数 ，函数 的图象在 处的切线与直线 平行. （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围； （Ⅲ）设 ( )是函数 的两个极值点，若 ，试求 的最小值. 2 2 2: ( 0)O x y r r+ = > :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )0,1M ( )0 1N −， 2 2 r C M l O C A B， 2 3MB MA=  l NA 1k NB 2k 2 1 k k A N B O x y M 第 19 题5 附加题 21. 设点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ． （1）求矩阵 的逆矩阵 ； （2）若曲线 C 在矩阵 对应变换作用下得到曲线 ，求曲线 C 的 方程． 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数），且 曲线 上的点 对应的参数 ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 的普通方程； （2）若 是曲线 上的两点，求 的值． 23.如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ， . 是线段 的中点. （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求二面角 的大小的余弦值. 24. 设 a＞b＞0，n 是正整数，An＝ 1 n＋1(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2b n－2 ＋ab n－1＋bn) ，Bn＝( a＋b 2 )n． （1）证明：A2＞B2； （2）比较 An 与 Bn（n∈N*）的大小，并给出证明． 2019.10 参考答案 ( )x y， M (2 3 )x y， M 1−M 1−M 2 2 1C x y′ + =： xOy C cos ( 0,sin x a a by b ϕ ϕϕ = > > = C (2, 3)M π 3 ϕ = C 1 2 π( , ) ( , )2A Bρ θ ρ θ +， C 2 2 1 2 1 1 ρ ρ+ 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 2AB = 4AC = 1 3AA = D BC 1DB 1 1AC D 1 1 1B A D C− − A B C D A1 B1 C1 第 23 题 图6 一、填空题（每小题 5 分，计 70 分） 1、 2、 3、四 4、 5、 6、 2 7、充分不必要 8、 9、5 10、 11. 12、 (0,48) 13、 14、 二、解答题（共 6 道题，计 90 分） 15、（本题满分 14 分） （1）由 得 即 ， 当 时，由 得 或 所以 （2）由 得 或 即 因为 ，所以 ， 即 . 16、解：（Ⅰ） 的值是 . 的值是 . （Ⅱ）由题意可得： . 所以 . 因为 ，所以 . 2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤ ( ,2]−∞ 5− 7 25 4 π a c b> > 2 2 6 5,3 3       4 11x >+ 1 3x− < < { }| 1 3A x x= − < < 2m = ( )( )6 1 0x x− − > 6x > 1x < { }| 3 6A B x x x= < > 或 ( )( )4 1 0x m x m− − − + > 4x m> + 1x m< − { }| 4 1B x x m x m= > + < −或 A B = ∅    3 4 1 1 m m ≤ + − ≥ − 1 0m− ≤ ≤ ϕ π 6 0x 5 3 1 1 π π( ) cos(π( ) ) cos(π ) sin π3 3 6 2f x x x x+ = + + = + = − 1 π( ) ( ) cos(π ) sin π3 6f x f x x x+ + = + − π πcos π cos sin π sin sin π6 6x x x= − − 3 1cos π sin π sin π2 2x x x= − − 3 3 πcos π sin π 3 cos(π )2 2 3x x x= − = + 1 1[ , ]2 3x∈ − π π 2ππ6 3 3x− ≤ + ≤7 所以 当 ，即 时， 取得最大值 ； 当 ，即 时， 取得最小值 . 17、（1）解：由正弦定理，得 ， 即 ． 所以 ． 从而 ． 因为 ，所以 ． 又 ，由（1）知， ， 解得 ． （2）解：由（1），得 ， ， ． 由正弦定理，得 ． 所以△ABC 的面积为 ． 18、解法一：以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 轴，CA 所在直线为 轴建立直角坐标系， 则 ， ， ， ， ． DE 直线方程： ，① AB 所在直线方程为 ，② (O) y x E D C B A P ππ 03x + = 1 3x = − ( )g x 3 π 2ππ 3 3x + = 1 3x = ( )g x 3 2 − sin 3sin cosC B A= − sin( ) 3sin cosA B B A+ = − sin cos cos sin 3sin cosA B A B B A+ = − sin cos 4sin cosA B B A= − cos cos 0A B ≠ tan 4tan A B = − tan tantan tan( ) tan tan 1 A BC A B A B += − + = − 2 3tan 3 44tan 1 B B =+ 1tan 2B = 2sin 5 A = 1sin 5 B = 3sin 5C = 22 5 4 5sin sin 3 3 5 c Aa C × = = = 4 51 1 1 4sin 22 2 3 35 ac B = × × × = x y (0,0)C (0,180)A (90,0)B (10,100)P (0, )D d 100100 ( 10)10 dy x −− = −− 2 180x y+ =8 解①、②组成的方程组得， ， ∵直线 经过点 B 时 ，∴ ， = ，设 ， = ， （当且仅当 ，即 时取等号），此时 ， ∴当 =60 时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大． 解法二：如图，分别过点 作 的垂线，垂足为 ，设 ，则 若如图 1 所示，则 ， 由 得 ，即 ，从而 ， ， 由 得 ，解得 （ 若 如 图 2 所 示 ， 则 ， ， ， ，由 得 ，解得 ） 由 得 ， 由 （下同解法一） 10 1800 120E dx d −= − DE 225 2d = 2250 2d< < 1 1 10 1800| | (180 )2 2 120ADE E dS AD x d d −= ⋅ = ⋅ − ⋅ − 2(180 )5 120 d d −⋅ − 15120 ( ,120)2d t− = ∈ 2(60 )5ADE tS t += ⋅  36005 ( 120)t t ⋅ + + 3600 120t t + ≥ 60t = 4k = 120 60d t= − = d ,P E AC ,Q F EF h= 10, 100, 100PQ CQ DQ d= = = − AFE ACB∆ ∆ 180 90 AF h= 2AF h= 180 2CF h= − 180 2DF h d= − − DPQ DEF∆ ∆ 10 100 180 2 d h h d −= − − 1800 10 120 dh d −= − 10, 100, 100PQ CQ DQ d= = = − 2AF h= 180 2CF h= − 2 180DF h d= + − DPQ DEF∆ ∆ 10 100 180 2 d h h d −= − − 1800 10 120 dh d −= − 0 90h< < 2250 2d< < 1 1 10 1800(180 )2 2 120ADE dS AD h d d −= ⋅ = ⋅ − ⋅ −9 19、（1）因为圆 与椭圆 相交于点 所以 . 又离心率为 ,所以 . 所以椭圆 ． （2）因为过点 的直线 另交圆 和椭圆 分别于 两点，所以设直线 的方程 为 ， 由 得 ，所以 ， 同理 得到 ， 所以 ， 因为 ， 则 则 因为 ，所以 ，即直线 的方程为 . ②根据① ， ， ， ， 所以 为定值. 20、解：（Ⅰ）∵ ，∴ . ∵切线与直线 平行， ∴ ，∴ . （Ⅱ）易得 ( )， ∴ ( ). 由题意，知函数 存在单调递减区间,等价于 在 上有解， 2 2 2:O x y r+ = :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )0,1M 1b r= = 2 2 ce a = = 2a = 2 2: 12 xC y+ = M l O C ,A B l ( )1 0y kx k= + ≠ 2 2 1 12 y kx x y = + + = ( )2 22 1 4 0k x kx+ + = 2 2 2 4 2 1,2 1 2 1 k kB k k  − − +  + +  2 2 1 1 y kx x y = +  + = ( )2 21 2 0k x kx+ + = 2 2 2 2 1,1 1 k kA k k  − − +  + +  2 3MB MA=  2 2 4 22 32 1 1 k k k k − −=+ + 0k ≠ 2 2k = ± l 2 12y x= ± + 2 2 2 4 2 1,2 1 2 1 k kB k k  − − +  + +  2 2 2 2 1,1 1 k kA k k  − − +  + +  2 2 1 2 1 11 2 1 A N NA A N k y y kk k kx x k − + +− += = = −− + 1 k = − 2 2 2 2 2 1 12 1 4 2 1 B N NB B N k y y kk k kx x k − + +− += = = −− + 1 2k = − 2 1 1 2 k k =10 ∵ ，则故可设 . 而 ，所以，要使 在 上有解， 则只须 ， 即 ， 故所求实数 的取值范围是 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ， 令 ，得 . ∵ ( )是函数 的两个极值点， ∴ ( )是方程 的两个根， ∴ ， . ∴ 令 ，∵ ，∴ ， 且 . ∵ ，∴ ， ∴ 化简整理，得 ,解得 或 . 而 ，∴ . 又 ，∴函数 在 单调递减， ∴ . 11 故 的最小值为 . 21．（1） ， ，所以 ． （2）设曲线 上任意一点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ， 则 ，所以 ． 又点 在曲线 上，所以 ，即 ． 所以曲线 的方程为 ． 22．解：（1）将 及对应的参数 代入 为参数） ， 得 ，所以 ，所以曲线 的普通方程为 . （2）曲线 的极坐标方程为 ，将 代入 得 ， ，所以 . 23．解：因为在直三棱柱 中， ， 所以分别以 、 、 所在的直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则 , 因为 是 的中点，所以 ， （1）因为 ，设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ， 2 0 0 3  =   M det( ) 6=M 1 3 10 06 2 12 00 36 −        = =          M C ( )x y， 1−M ( )x y′ ′， 1 02 10 3 x x y y   ′     =     ′      1 2 1 3 x x y y  ′ =  ′ = ， ( )x y′ ′， C′ 2 2( ) ( ) 1x y′ ′+ = 22 14 9 yx + = C 22 14 9 yx + = (2, 3)M 3 πϕ = cos ,( 0,sin x a a by b ϕ ϕϕ = > > = 2 cos 3 3 sin 3 a b π π  =  = 4 2 a b =  = 1C 2 2 116 4 x y+ = 1C 2 2 2 2cos sin 116 4 ρ θ ρ θ+ = 1 2( , ), ( , )2A B πρ θ ρ θ + 2 2 2 2 1 1cos sin 116 4 ρ θ ρ θ+ = 2 2 2 2 2 2sin cos 116 4 ρ θ ρ θ+ = 2 2 1 2 1 1 5 16ρ ρ+ = 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ AB AC 1AA x y z 1 1 1(0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (0,0,3), (2,0,3), (0,4,3)A B C A B C D BC (1,2,0)D 1 1 1(0,4,0), (1,2, 3)AC A D= = −  1 1AC D 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 1 1 0 0 n AC n A D  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 4 0 2 3 0 y x y z =  + − = 1 1 1 3 0 1 x y z =  =  =12 所以平面 的法向量 ，而 ， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ； （2） ， ，设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ，平面 的法向量 ， 所以 ， 二面角 的大小的余弦值 ． 24．（1）证明： （2）证明： ； 令 且 ， 于是 因为 ， 所以 ． 1 1AC D 1 (3,0,1)n = 1 (1, 2,3)DB = − 1 1 1 1 1 1 3 35cos , 35 n DBn DB n DB ⋅< >= = ⋅      1DB 1 1AC D 3 35 35 1 1 (2,0,0)A B = 1 (1, 2,3)DB = − 1 1B A D 2 2 2 2( , , )n x y z= 2 1 1 2 1 0 0 n A B n DB  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 2 2 0 2 3 0 x x y z =  − + = 2 2 2 0 3 2 x y z =  =  = 1 1B A D 2 (0,3,2)n = 1 2 1 2 1 2 130cos , 65 n nn n n n ⋅< >= = ⋅      1 1 1B A D C− − 130 65 0)(12 1)2()(3 1 2222 22 >−=+−++=− babababaBA 11,1 BAn == ,)2(,1 1,3 11 n n nn n baBba ba nAn +=− − +=≥ ++ ,, ybaxba =−=+ 0, >yx ,)2(],)()[()1(2 1)2()2( 1 1 11 1 11 n n nn n nn n xByxyxyny yxyx nA =−−++= −−+ += ++ + ++ yxCyxCyxCyxyx n n n n n n nn 1 1 323 1 1 1 11 2)22(])()[( + − ++ ++ ≥++=−−+  n n n n n nnn BxxyxCynA ===⋅+≥ ++ )2(22)1(2 1 1 11