铁岭市六校协作体 2019—2020 学年高三二联考试
数学试卷（理科）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
2.设复数 z 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项为和为 15，且 a 5 =3a 3+4a 1，则 a 3=
( )
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
5.设 是非零向量，已知命题 P：若 ， ，则 ；命题 q：若
， 则 ， 则 下 列 命 题 中 真 命 题 是
（ ）
A． B． C． D．
6、若 , , , ,则 （ ）
A . B. C. D .
7.已知 是边长为 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值
是（ ）
A. B. C. D.
8．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，
E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF =90°，则球 O 的体积为 （ ）
A． B． C． D．
ABC∆ 2 P ABC ( )PA PB PC⋅ +
2
3− 2−
3
4− 1−9、已知点 ，O 为坐标原点，P，Q 分别在线段 AB,BO 上运动，则△MPQ 的
周 长 的 最 小 值 为
( )
A．4 B．5 C． D．
10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（ ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是
( )
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
11 、 若 是 方 程 的 解 ， 是 方 程 的 解 ， 则 等 于
（ ）
A．1 B．-1 C． D．
12.已知定义在 上的函数 满足：
① ；②对所有 ，且 ，有 .
若对所有 ， ，则 k 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.函数 的最大值是______________.
14．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， ，则 ___________．
15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________________。
1x 1xxe = 2x ln 1x x = 1 2x x
1
e e16、已知函数 若方程 恰有两个不同的实数根 ，则
的最大值是______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.(12 分)已知 定义域为 ，对任意 都有 ，当
时， ， .
（1）求 和 的值；
（2）试判断 在 上的单调性，并证明；
（3）解不等式： .
18. （12 分）设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1＝
a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 当 d>1 时，记 cn＝
an
bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
19．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 ．
（1）求 B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围．
20、（12 分）如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， ∥
， ，且 ， ， 是棱 的中点.
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点 是线段 上的动点， 与平面 所成的角为
，求 的最大值．
21.（12 分）(I)讨论函数 的单调性，并证明当 时，
(II)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，求函
数 的值域.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ，M 为不等式 的解集.
（I）求 M；
（II）证明：当 a， 时， ．
铁岭市六校协作体 2019—2020 学年高三二联考试
数学试卷答案（理科）
命题学校：开原高中 命题人：杨玉东 审校人：开原高中高三数学组
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
一. 选择题： 1-5 C A B C D; 6-10 B A D C B; 11-12 A B
二． 填空题： 13. _ 1 __ ; 14．____4___ ; 15 .__38___ ; 16. __ ___
三、解答题：（一）必考题：共 60 分。
17.(12 分)已知 定义域为 ，对任意 都有 ，当
时， ， .（1）求 和 的值； （2）试判断 在 上的单调
性，并证明；（3）解不等式： .
【 解 】（ 1 ）（ 2 分 ） 因 为 对 任 意 都 有 ， 所 以 ， 令
， 则 ， 所 以 ； 令 ， 则
，因为 ，所以 ；
（2）（5 分）任取 ，则
， ，当 时， ， ，
在 上单调递减；
（3）（5 分）因为 ，
所以原不等式可化为 ；即 ，
由 （ 2 ） 可 得 ， 解 得 或 ； 即 原 不 等 式 的 解 集 为
.
18.（12 分）设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1＝
a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) (6 分) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)（6 分）当 d>1 时，记 cn＝
an
bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意有，{10a1＋45d＝100，
a1d＝2， 即{2a1＋9d＝20，
a1d＝2，
解得{a1＝1，
d＝2， 或{a1＝9，
d＝2
9. 故{an＝2n－1，
bn＝2n－1 或{an＝1
9（2n＋79），
bn＝9·(2
9 )n－1
.
(2)由 d>1，知 an＝2n－1，bn＝2n－1，故 cn＝
2n－1
2n－1 ，于是Tn＝1＋
3
2＋
5
22＋
7
23＋
9
24＋…＋
2n－1
2n－1 ，①
1
2Tn＝
1
2＋
3
22＋ 5
23＋
7
24＋
9
25＋…＋
2n－1
2n .②
①－②可得
1
2Tn＝2＋
1
2＋
1
22＋…＋
1
2n－2－
2n－1
2n ＝3－
2n＋3
2n ，故 Tn＝6－
2n＋3
2n－1 .
19．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 ．
（1）（5 分）求 B；
（2）（7 分）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围．
解：（1）由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．由 ，可得 ，
故 ．因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°
微信/支付宝扫码支付