铁岭市六校协作体 2019—2020 学年高三二联考试
数学试卷（文科）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
2.设复数 z 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.已知直线 l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是 （ ）
A．m＝2 或 m＝1 B．m＝1 C .m＝﹣2． D． m＝﹣2 或 m＝
1
4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项为和为 15，且 a 5 =3a 3+4a 1，则 a 3= ( )
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
5. 如图，在空间四边形 ABCD 中，点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、
CD 上 的 点 ， 且 ＝ ＝ ， 则
（ ）
A．EF 与 GH 互相平行
B．EF 与 GH 异面
C．EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC
上
D．EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上
6. 在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC， ， ，则三棱锥 P
﹣ ABC 的 外 接 球 的 表 面 积 为
（ ）
A．64π B．32π C． 48π D．72π7.若 , , , ,则 （ ）
A . B. C. D .
8. 德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一
个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金
三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为
是最美的三角形，它是一个顶角为 36°的等腰三角形（另一种是顶
角为 108°的等腰三角形）．例如，我国国旗上的五角星由五个黄金三
角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，
．根据这些信息，可得 sin234°＝（ ）
A． B． C． D．
9.已知 是边长为 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
（ ）
A. B. C. D.
10.已知点 ，O 为坐标原点，P，Q 分别在线段 AB,BO 上运动，则△MPQ 的
周 长 的 最 小 值 为
( )
A．4 B．5 C． D．
11. 若 圆 始 终 平 分 圆
的 周 长 ， 则 直 线 3x+4y+3 ＝ 0 被 圆 C1 所 截 得 的 弦 长 为
（ ）
A． B． C． D．
12. 已 知 函 数 f （ x ） ＝ aex ﹣ 3x2+3x ﹣ 3 （ a∈Z ） 在 区 间 （ 0 ， 2] 上 有 零 点 ， 则 a ＝
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二． 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
ABC∆ 2 P ABC ( )PCPBPA +⋅
2
3− 2−
3
4− 1−13.函数 的最大值是______________.
14.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， ，则 ___________．
15.若圆 C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0 关于直线 2ax+by+6＝0 对称，则由点（a，b）向圆 C 所作切
线长的最小值是________________。
16、已知函数 若方程 恰有两个不同的实数根 ，则
的最大值是____________________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. （12 分）设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1＝
a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 当 d>1 时，记 cn＝
an
bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
18. (12 分)在三棱锥 V﹣ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等
边三角形，AC⊥BC 且 AC＝BC＝ ，
O，M 分别为 AB，VA 的中点．
（1）求证：VB∥平面 MOC；
（2）求证：平面 MOC⊥平面 VAB
（3）求三棱锥 V﹣ABC 的体积．
19．如图，在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，AD＝2DC＝4，sin∠B＝
．
（1）求 AC 的长；
（2）若△ABC 的面积为 6，求 sin∠CAB•sin∠ACB 的值．20. （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 A（3，4），AB 边上中线 CD 所
在直线方程为 2x+3y﹣11＝0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣3y+7＝0，求：
（1）顶点 C 的坐标：
（2）求△ABC 外接圆的方程．
21.（12 分）已知函数 f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
（1）设 x＝2 是 f（x）的极值点，求 a，并求 f（x）的单调区间；
（2）证明：当 a≥ 时，f（x）≥0．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ，M 为不等式 的解集.
（I）求 M（II）证明：当 a， 时， ．铁岭市六校协作体 2019—2020 学年高三二联考试
数学试卷答案（文科）
一.选择题： 1-5 C A D C D; 6-10 A B C A C; 11-12 B B
二． 填空题： 13. _ 1 ___ ; 14． ____4______ ; 15 ._____4____ ; 16. __
___
三、解答题：共 70 分。（一）必考题：共 60 分。
17.【解】 (1)(6 分)由题意有，{10a1＋45d＝100，
a1d＝2， 即{2a1＋9d＝20，
a1d＝2，
解得{a1＝1，
d＝2， 或{a1＝9，
d＝2
9. 故{an＝2n－1，
bn＝2n－1 或{an＝1
9（2n＋79），
bn＝9·(2
9 )n－1
.
(2) (6 分)由 d>1，知 an＝2n－1，bn＝2n－1，故 cn＝
2n－1
2n－1 ，于是
Tn＝1＋
3
2＋
5
22＋
7
23＋
9
24＋…＋
2n－1
2n－1 ，①
1
2Tn＝
1
2＋
3
22＋ 5
23＋
7
24＋
9
25＋…＋
2n－1
2n .②
①－②可得
1
2Tn＝2＋
1
2＋
1
22＋…＋
1
2n－2－
2n－1
2n ＝3－
2n＋3
2n ，故 Tn＝6－
2n＋3
2n－1 .
18．在三棱锥 V﹣ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且 AC＝
BC＝ ，O，M 分别为 AB，VA 的中点．
（1）求证：VB∥平面 MOC；
（2）求证：平面 MOC⊥平面 VAB
（3）求三棱锥 V﹣ABC 的体积．
（1）（4 分）证明：∵O，M 分别为 AB，VA 的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面 MOC，OM⊂平面 MOC，
∴VB∥平面 MOC；
（2）（4 分）∵AC＝BC，O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面 VAB⊥平面 ABC，OC⊂平面 ABC，
∴OC⊥平面 VAB，∵OC⊂平面 MOC，
∴平面 MOC⊥平面 VAB
（3）（4 分）在等腰直角三角形 ACB 中，AC＝BC＝ ，∴AB＝2，OC＝1，
∴S△VAB＝ ，
∵OC⊥平面 VAB，
∴VC﹣VAB＝ •S△VAB＝ ，
∴VV﹣ABC＝VC﹣VAB＝ ．
19.解：（1）(6 分)∠D＝2∠B，AD＝2DC＝4，sin∠B＝ ．
cos∠D＝cos2∠B＝1﹣2sin2∠B＝1﹣2× ＝﹣ ，在△ACD 中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD
•CDcos∠D
＝16+4﹣2•4•2•（﹣ ）＝22，即有 AC＝ ；
（2）(6 分)△ABC 的面积为 6，即为 AB•BC•sin∠B＝6，
可得 AB•BC＝ ＝16，在△ABC 中， ＝ ＝ ＝ ＝
，
则 sin∠CAB•sin∠ACB＝ • •CB•AB＝ •16＝ ．
20. 解：（1）（5 分）∵AC⊥BH，BH 的方程为 x﹣3y+7＝0，不妨设直线 AC 的方程为
3x+y+m＝0，
将 A（3，4）代入得 9+4+m＝0，解得 m＝﹣13，
∴直线 AC 的方程为 3x+y﹣13＝0，
联立直线 AC，CD 的方程，即 ，
解得点 C 的坐标为（4，1）；
（2）（7 分）设 B（x0，y0），则 D（ ， ），
∵点 B 在 BH 上，点 D 在 CD 上，∴ ，解得 B（﹣1，2），
设△ABC 外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
∴ ，解得 ，E＝ ，F＝﹣ ．
∴△ABC 外接圆的方程为 7x2+7y2﹣22x﹣26y﹣5＝0．
21. 解：（1）（6 分）∵函数 f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
∴x＞0，f′（x）＝aex﹣ ，
∵x＝2 是 f（x）的极值点，
∴f′（2）＝ae2﹣ ＝0，解得 a＝ ，
∴f（x）＝ ex﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝ ，
当 0＜x＜2 时，f′（x）＜0，当 x＞2 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）（6 分）证明：当 a≥ 时，f（x）≥ ﹣lnx﹣1，
设 g（x）＝ ﹣lnx﹣1，则 ﹣ ，
由 ﹣ ＝0，得 x＝1，
当 0＜x＜1 时，g′（x）＜0，
当 x＞1 时，g′（x）＞0，
∴x＝1 是 g（x）的最小值点，
故当 x＞0 时，g（x）≥g（1）＝0，
∴当 a≥ 时，f（x）≥0．
（二）选考题：共 10 分 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
解：（1）（5分）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为 .
的直角坐标方程为 .
（2）（5分）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）.
C上的点到 的距离为 .
当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 .
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
解：⑴（5 分）当 时， ，若 ；
当 时， 恒成立；
当 时， ，若 ， ．综上可得， ．
⑵（5 分）当 时，有 ，即 ，
则 ，则 ，即
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