高中 2019 届毕业班第一次诊断性考试
数学（文史类）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ，则集合 （ ）
A. B.
C. D.
2.若 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量 ， ，且 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.若双曲线 的一条渐近线为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
{1,2,3,4,5}A = {2,4,6,8}B = A B =
{1,2,3,4,5,6,8} {2,3,4,5,6}
{1,3,5,6,8} {2,4}
i 2
1
i
i
− =+
1 3
2 2 i− 3 1
2 2 i+ 3 3
2 2 i− 3 1
2 2 i−
(1,2)a = ( 2, )b m= − a b⊥ m
4− 1 2 4
3sin 5
α = cos( 2 )π α− =
4
5
7
25
7
25
− 4
5
−
2
2 1x ym
− = 2 0x y− = m =
2 4 6 86.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 分米，其内有一边长为 分米的正六边形
的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图
案的正六边形小孔内的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.下列命题错误的是（ ）
A.不在同一直线上的三点确定一个平面
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
8.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数 ， ，要得到函数 的图象，只需将函数
的图象上的所有点（ ）
A.横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位得到
B.横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位得到
C.横坐标伸长为原来的 倍，再向左平移 个单位得到
D.横坐标伸长为原来的 倍，再向左平移 个单位得到
10.《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现
6 1
3
24
3
24π
1
6
3
6π
0.40.5a = 0.4log 0.5b = 5log 0.4c = a b c
a b c< < c b a< < c a b< < b c a< <
( ) sin 2 3f x x
π = + ( ) sing x x= ( )y f x=
( )y g x=
1
2 3
π
1
2 6
π
2 3
π
2 6
π有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为 ，若该阳马
的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
正视图
侧视图
A. B. C. D.
11.我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首待：“我有一壶酒，携着游春走，遇
店添一倍，逢有饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框
图表达如图所示，即最终输出的 ，问一开始输入的 （ ）
A. B. C. D.
12.若对 ，有 ，函数 ， 的值
（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数 则 ________.
16
3
8π 8 6π 12π 24π
0x = x =
31
32
15
16
7
8
3
4
,x y R∀ ∈ ( ) ( ) ( ) 3f x f y f x y+ − + =
2
2( ) ( )1g x f xx
= ++ (2) ( 2)g g+ −
0 4 6 9
2
, 1,( )
1, 1,
x xf x
x x
>= + ≤
(2) (1)f f−14.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则
________.
15.已知直线 与抛物线 及其准线分别交于 ， 两点， 为抛物
线的焦点，若 ，则 等于________.
16.某车间租赁甲、乙两种设备生产 ， 两类产品，甲种设备每大能生产 类产品 件和
类产
品 件，乙种设备每天能生产 类产品 件和 类产品 件，已知设备甲每天的租赁费
元，设备乙每天的租赁费 元，现车间至少要生产 类产品 件， 类产品 件，所需
租赁费最少为________元.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.
17.已知等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若等比数列 满足 ， ，求 的前 项和 .
18.今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部
署开展扫黑除恶专项斗争.那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与 2000 年、2006 年两次在全国
范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学
后随机调查了 位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调
查，得到具体数据如表：
不相同 相同 合计
男
女
ABC∆ A B C a b c 7a = 2b =
3A
π= c =
( 0)y kx m k= + > 2: 4C y x= M N F
3FM MN= k
A B A 8 B
15 A 10 B 25 300
400 A 100 B 200
{ }na 1 1a = 3 5a =
{ }na
{ }nb 1 2b a= 2 1 2 3b a a a= + + { }nb n nS
80
30 10 40
35 5 40合计
（1）根据如上的 列联表，能否在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“扫黑除恶”
与“打黑除恶”是否相同与性别有关"？
（2）计算这 位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校
名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；
（3）为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组
织部选取 位男生和 位女生逐个进行采访，最后再随机选取 次采访记录放到该大学的官方
网站上，求最后被选取的 次采访对象中至少有一位男生的概率.
参考公式： .
附表：
19.如图，在棱长为 的正方体 中， 是线段 上的动点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 是 的中点，证明：平面 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
20.已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ，直线 与椭圆
交于 、 两点且 为直角， 为坐标原点.
65 15 80
2 2× 0.05
80 10000
2 3 3
3
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + ( )n a b c d= + + +
2
0( )P K k≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
2 1 1 1 1ACBD AC B D− M AB
/ /AB 1 1A B C
M AB 1MCC ⊥ 1 1ABB A
1 1M A B C−
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( 0)a b> > 3
2 4 2y kx= + C
A B AOB∠ O（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的最大值.
21.已知函数 （ 为自然对数的底数）
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 且 时， 在 上为减函数，求实数 的最小值.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，圆 的极坐标方程为
（ ），直线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）若 ，直线 与 轴的交点为 ， 是圆 上一动点，求 的最小值；
（2）若直线 被圆 截得的弦长等于圆 的半径，求 的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 （ ）的一个零点为
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ，求证： .
高中 2019 届毕业班第一次诊断性考试
数学（文史类）参考答案
一、选择题
1.解析：选择 A， .
试题立意：本小题考查集合的并集运算等基础知识；考查运算求解能力.
C
| |AB
2( ) xg x e ax−= − ( )a R∈ e
( )g x
0x > 1x ≠ 2( ) ( ) ln
x xf x g x e x
−= − + (1, )+∞ a
x C sinaρ θ=
0a > l
21 ,2
2 ,2
x t
y t
= − +
=
t
2a = l x M N C | |MN
l C C a
( ) | | | 2 1| 1f x x a x= − + − − a R∈ 1
( ) 1f x ≤
1 2
1 am n
+ =− ( 0, 1)m n> > 2 11m n+ ≥
{1,2,3,4,5,6,8}A B =2.解析：选择 A， .
试题立意：本小题考查复数的概念和乘除运算等基础知识；考查考生的运算求解能力.
3.解析：选择 B，因为 所以 ，解得 .
试题立意：本小题考查平面向量的坐标运算和数量积，向量的几何意义等基础知识；考查运
算求解能力.
4.解析：选择 C，由 .
试题立意：本小题考查同角三角函数关系，二倍角公式等基础知识；考查运算求解能力.
5.解析：选择 B，由题意知 ，即 ，故有 ，所以 .
试题立意：本小题主要考查双曲线的几何性质；意在考查运算求解能力.
6.解析：选择 B，因为圆形图案的面积为 ，正六边形的面积为 ，
所以该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为 .
试题立意：本小题考查几何概型等基础知识；考查数学文化，数据处理，数形结合.
7.解析：选择 C，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，
可能相交或平行于另一个平面，故命题错误.
试题立意：本小题考查空间直线和平面的位置关系，直线与平面垂直的判定与性质定理等基
础知识；意在考查学生空间想象能力.
8.解析：选择 B，由于 ， ， ，
所以三数 ， ， 的大小关系是 .
试题立意：本小题考查指数运算和对数运算，比较大小等基础知识；考查运算求解能力，推
理论证能力.
9.解析：选择 B，因为由 图象上所有点横坐标缩短为原来的 得到函数 的图
2 (2 )(1 ) 1 3 1 3
1 (1 )(1 ) 2 2 2
i i i i ii i i
− − − −= = = −+ + −
a b⊥ 2 2 0a b m= − + = 1m =
cos( 2 ) cos2π α α− = − 2 72sin 1 25
α= − = −
2 0x y− = 1
2y x= 1 1
2m
= 4m =
36π 16 1 12
× × × 3 3sin60 2
× ° =
3 3
32
36 24π π=
0.4 05 5 1a = > = 0.4 0.40 log 0.5 log 0.4 1b< = < = 5 5log 0.4 log 1 0c = < =
a b c a b c> >
siny x= 1
2 sin 2y x=象，所以再将函数 的图象向左平移 个单位后，就得到的图象 的图象.
试题立意：本小题考查三角函数图象及其性质，图象变换等基础知识；考查推理论证能力，
化归转化思想.
10.解析：选择 D，如图所示， ， ，由该“阳马”的体积 ，
，设该“阳马”的外接球的半径为 ，则该“阳马”的外接球直径为
，所以 ，该阳马的外接球的表面积为 .
试题立意：本小题主要考查空间几何体与球的组合体，球与三棱锥的切接问题，三棱锥的体
积公式；考查空间想象能力及分析问题解决问题的能力.
11.解析：选择 C，根据程序框图可得 ，解得 .
试题立意：本小题考查数学文化、算法的程序框图等基础知识；考查运算求解能力，阅读理
解能力.
12.解析：选择 C，在 中，令 得 ，再令 ，
有 ，所以 ，令 ，则 为奇函数，有
，所以 .
试题立意：本小题考查抽象函数、函数奇偶性等基础知识；意在考查运算求解能力和转化与
化归思想.
二、填空题
13.解析：填 ，因为 所以 .
试题立意：本小题主要考查分段函数；意在考查学生运算求解能力.
sin 2y x=
6
π
( )y f x=
4AD = 2AB = 1 164 23 3V PD= × × × =
2PD = R
2 2 2 2 6PB PD AD AB= + + = 6R = 24 ( 6) 24π π=
2[2(2 1) 1] 1 0x − − − = 7
8x =
( ) ( ) ( ) 3f x f y f x y+ − + = 0x y= = (0) 3f = 2x = 2y = −
(2) ( 2) (0) 3f f f+ − − = (2) ( 2) 6f f+ − =
2( ) 1
xh x x
= + ( )h x
(2) ( 2) 0h h+ − = (2) ( 2) (2) (2)g g h f+ − = + ( 2) ( 2) 6h f+ − + − =
0 2
, 1,( )
1, 1,
x xf x
x x
>= + ≤
(2) (1) 2 2 0f f− = − =14 解析：填 ，由余弦定理 ，因为 ， ， 有
，解得 .
试题立意：本小题考查正余弦定理，解三角形等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化
思想.
15.解析：填 ，因为 ，设直线 的倾斜角为 ，由拋物线的定义知：点 到准线的
距离为 ，则 ，故 ，所以 ，则
.
试题立意：本小题主要考查拋物线的定义、直线与拋物线的位置关系等基础知识；意在考查
逻辑思维与推证能力、运算求解能力.
16.解析：填 ，设甲种设备需要租赁生产 天，乙种设备需要租赁生产 天，该车间所需
租赁费为 元，则 ，且 ， 满足关系为 作出不等式表示的
平面区域，当 对应的直线过两直线 ，的交点 时，目标函数
取得最小值 元，即最少租赁费用为 元.
试题立意：本小题考查线性规划问题等基础知识；考查应用意识，化归转化思想，数形结合
思想.
三、解答题
17.解析：（1）设等差数列 的公差为 ，则
由 ， 可得 ，解得
从而 .
即数列 的通项公式
（2）设等比数列 的公比为 ，则
3 2 2 2 2 cosa b c bc A+ + − 7a = 2b =
3A
π=
2 2 3 0c c− − = 3c =
2 2 0k > l α M
MQ MQ MF= 1sin 2 3
MQ FM
MN MN
π α − = = =
1cos 3
α =
tan 2 2k α= =
3800 x y
z 300 400z x y= + x y
8 10 100,
15 25 200,
, ,
x y
x y
x N y N
+ ≥
+ ≥
∈ ∈
300 400z x y= + 4 5 50
3 5 40
x y
x y
+ =
+ = (10,2)
300 400z x y= + 3800 3800
{ }na d 1 ( 1)na a n d= + −
1 1a = 3 5a = 5 1 2d= + 2d =
1 ( 1) 2 2 1na n n= + − × = −
{ }na 2 1na n= −
{ }nb q 1
1
n
nb b q −=由 ， ，
解得 ，
所以 的前 项和公式
试题立意：本小题考查等差数列、等比数列的概念，通项公式和前 项和公式的应用等基础知
识；考查运算求解能力，化归与转化思想.
18.解析：（1）根据列联表中的数据，得到 的观测值为
故不能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为““扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同
与性别有关”
（2）这 位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率为
据此估算该校 名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数为
.
（3）设选取的 位男生和 位女生分别记为 ， ， ， ， ，随机选取 次采访的所有
结果为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， 共有 10 个基本事件，至少有一位男生的基
本事件有 个，故所求概率为
试题立意：本小题考查“ ”联表判断相关性，古典概率，统计应用等基础知识；考查数
据处理能力，运算求解能力，应用意识和创新意识.
19.解析：（1）证明：因为在正方体 中， ， 平面 ，
平面 ， 平面
（2）证明：在正方体 中， , 是 中点， .
平面 ， 平面 ，则 .
1 2 3b a= = 2 1 2 3b a a a= + + 11 3 5 9 b q= + + = =
3q =
{ }nb n
2 1
1(1 ) 3(1 3 ) 3 3
1 1 3 2
n n
n
b qS q
+− − −= = =− −
n
2K
280 (30 5 35 10) 80 3.84140 40 65 15 39k
× × − ×= = 2( ) 0xg x e a−′ = − = 2 lnx a= +
2 lnx a> + ( ) 0g x′ > ( )g x (2 ln , )a+ +∞
2 lnx a< + ( ) 0g x < ( )g x ( ,2 ln )a−∞ +
0x > 1x ≠ 2( ) ( ) xf x g x e −= − +
ln ln
x x axx x
= −
( )f x (1, )+∞ 2
ln 1( ) 0(ln )
xf x ax
−′ = − ≤ (1, )+∞
(1, )x∈ +∞ max( ) 0f x′ ≤
2
2
ln 1 1( ) (ln ) ln
xf x ax x
− ′ = − = −
21 1 1 1
ln ln 2 4a ax x
+ − = − − + −
1 1
ln 2x
= 2x e= max
1( ) 4f x a′ = −
1 04 a− ≤ 1
4a ≥ a 1
4
2a = C 2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ=
2 2 2 0x y y+ − = 2 2( 1) 1x y+ − =
l 1 0x y− + = x M ( 1,0)−
(0,1) ( 1,0)M − 2
MN 2 1−
sinaρ θ= 2 sinaρ ρ θ=所以圆 的普通方程为
因为直线 被圆 截得的弦长等于圆 的半径，
所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线 的距离为圆 半径的 倍，
所以 .
解得 ，又 ，所以
试题立意：本小题考查直线和圆的极坐标方程，参数方程以及直角坐标方程，圆中的垂径定
理和勾股定理.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运
算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
23.解析：因为函数 （ ）的一个零点为 ，
所以
又当 时， ， ，
上述不等式可化为 或 ，或
解得 或 或
所以 或 或 ，
所以原不等式的解集为
（2）由（1）知 ，因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，所以
试题立意：本小题考查绝对值不等式的解法，重要不等式在证明中的应用；考查运算求解能
C
2 2
2
2 4
a ax y + − =
l C C
l C 3
2
2 2
1 32
2 21 ( 1)
a
a
−
=
+ −
4 2 6a = − ± 0a > 4 2 6a = − +
( )f x x a= − + 2 1 1x − − a R∈ 1
1a =
1a = ( ) 1 2 1 1f x x x= − + − − ( ) 1 1 2 1 2f x x x≤ ⇒ − + − ≤
1 ,2
1 1 2 2
x
x x
≤
− + − ≤
1 1,2
1 2 1 2,
x
x x
<
2( 1) [ 2( 1)]m n m n+ − = + − 1 2 51m n
+ = + −
2 2( 1) 91
m n
n m
−+ ≥−
3m = 4n = 2 11m n+ ≥力，推理论证能力，化归与转化思想.
微信/支付宝扫码支付