资阳市高中 2017 级第一次诊断性考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】据题意得： ， ， .
【点睛】先解不等式，化简集合 M，N，从而可判定集合的包含关系．
本题以集合为载体，考查集合之间的关系，解题的关键是解不等式化简集合．
2． 复数
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据已知得：
【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3． 已知向量 ， ，若 （ ），则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据已知得： ， ， ，所以有，2m=1,m= .
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题
4． 已知等差数列 的前 n 项和为 ．若 ，则
A．7 B．14
C．21 D．42
【答案】B
【解析】据已知得： ，所以 ，
【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和和等差中项，是基础的计算
题．
5． 已知 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件
{ 1 0 1 2 3}M = − ，，，， { | 0 2}N x x= ≤ ≤ M N =
{ 1 0 1 2}− ，，， { 1 0 1}− ，，
{0 1 2}，， {0 1}，
{ 1 0 1 2 3}M = − ，，，， { | 0 2}N x x= ≤ ≤ M N = {0 1 2}，，
2 i
1 2i
+ =−
i i− 4 i5
+ 4 i5
−
2 i
1 2i
+ =−
( )( )
( )( ) iii
ii
ii =++=+−
++
5
252
2121
212 2
( 1,2)= −a ( 1)m= −，b λ=a b λ ∈R m =
2− 1
2
− 1
2 2
( 1,2)= −a ( 1)m= −，b λ=a b 1
2
{ }na nS 2 4 6 6a a a+ + = 7S =
2 4 6 6a a a+ + = 24 =a 7S =
( )
1472
7
4
71 ==+
aaa
a b∈R， 0a b< < 1 1
a b
>B．必要比充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可得：后面化简： 三种情况，相对于前面
来说，是大范围。所以选 A
【高考考点】考查充分必要条件，小技巧，小 大，小是大的充分不必要条件.
6． 执行右图所示的程序框图，则输出的
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【高考考点】考查程序框图的逻辑推理能力
7． 已知 ， ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】从题意得： ， ， 。所以 B 为正确答案.
【点睛】指数或者对数比较大小，考查学生对指数与对数的图像与性质的灵活处理能力，需
要学生抓住定点。算出所在区间在去比较大小。
8． 函数 的图象大致是
【答案】 D
9． 已知角 α 的顶点在坐标原点 O，始边与 x 轴的非负半轴重合，将 α 的终边按顺时针方向旋
转 后经过点 ，则
A． B．
C． D．
【答案】
10．若函数 （ ）的图象关于点 对称，则 的最小值为
1 1
a b
> ⇒ 0>−
ab
ab
>
b c a> > a c b> >
1.22a = ( )4,2∈ 0.43b = ( )3,1∈ 8ln 3c = 1<
3
( ) e 1x
xf x = +
4
π
(3 4)， sin 2α =
12
25
− 7
25
−
7
25
24
25
( ) sin(2 )f x x ϕ= + 0ϕ > ( ,0)3
π ϕA． B． C． D．
【答案】C
【解析】 最后算出。C 为正确答案
【点睛】考查三角函数的图像与性质，是比较中等题目。
11．已知 ， ．若 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【点睛】考查平面向量的概念，平面向量的线性运算，平面向量的的数量积以及最大值 最小
值的讨论。解决此类问题，要多注意平面向量的性质，做题一定要数行结合@
12. 定义在R上的可导函数 满足 ，记 的导函数为 ，当
时恒有 ．若 ，则m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，所以构造
函 数 ， ，
所 以 的 对 称 轴 为 ， 所 以 ，
是 增 函 数 ； 是 减 函 数 。
，解得：
【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．求值： _________．
【答案】1
【解析】 =1
【点睛】考查对数的运算性质，比较简单。
14．已知 x，y 满足 若 的最小值为_________．
【答案】5
15．等比数列 的前 n 项和为 ．已知 ， ，则 _________．
【答案】511
【解析】等比数列 的前 n 项和为 ．所以 还是等比数列。
所以 ,解得：511
12
π
6
π
3
π
12
5π
.,2 Zkkx ∈=+ πϕ ,32 πϕπ
k=+×
| | | | 2= =a b 2⋅ = −a b | | 1− − =c a b | |c
1 3[ ]2 2
， 1 5[ ]2 2
，
[2 3]， [1 3]，
( )f x (2 ) ( ) 2 2f x f x x− = − + ( )f x ( )f x′
1x ≤ ( ) 1f x′ < ( ) (1 2 ) 3 1f m f m m− − −≥
( , 1]−∞ − 1( ,1]3
− [ 1, )− +∞ 1[ 1, ]3
−
( ) (1 2 ) 3 1f m f m m− − −≥ )21()21()( mmfmmf −−−>−⇒
xxfxF −= )()( (2 ) ( ) 2 2f x f x x− = − + ⇒ xxfxxf −=−−− )()2()2(
)()2( xFxF =− )(xF 1=x 1)(')(' −= xfxF
[ ) ( ) )(,',,1 xFxFx >+∞∈ ( ] ( ) )(,0',1- xFxFx
∈
3
1,1-m
3 3
1log 15 log 252
− =
3 3
1log 15 log 252
− = 3log3
0
4
2 1.
x
x y
x y
+
−
，
，
≥
≥
≤
2x y+
{ }na nS 3 7S = 6 63S = 9S =
{ }na nS ........,, 69363 SSSSS −−
( ) ( )693
2
36 SSSSS −•=−【点睛】考查等比数列，等比数列的前 n 项和 。
16．已知当 且 时，函数 取得最大值，则 的值为
__________．
【答案】
【解析】由题意可得： 其中 ，
， .因为
要取得最大值， ，
带入以上所求，化简： ，解：
nS
x θ= tan 2θ = ( ) sin ( cos sin )f x x a x x= + a
3
4
( ),2sin4
1
4)sincos(sin)(
2
ϕθ −+=+= axxaxxf a
1tan =ϕ
∴
21
1sin
a+
=ϕ
21
cos
a
a
+
=ϕ tan 2θ = ( ) ( ) .5
32cos,5
42sin −==⇒ θθ
( ),2sin4
1
4)sincos(sin)(
2
ϕθ −+=+= axxaxxf 1)2sin( =−ϕθ
( ) ,1sin2coscos)2sin( =− ϕθϕθ 016249 2 =+− aa .3
4=a三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
已知函数 ．
（1）求 在 上的零点；
（2）求 在 上的取值范围．
【答案】（1） ， ．（2）
【解析】
（1） ， ．
令 ，即 ，则 ， ，得 ， ，
由于 ，令 ，得 ；令 ，得 ．
所以， 在 上的零点为 ， ．
（2）由 ，则 ．所以， ，
故 在 上的取值范围是 ．
18.（12 分）
已知等差数列 的前 n 项和为 ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1） ，（2）
【解析】（1）（1）由 ，得 ，
两式相减，得 ，所以， ．
（2）由题 ，两边同乘以 ，有 ，
两式相减，得
．所以， ．
19．（12 分）
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 ．
（1）求角 B 的大小；
（2）求 的取值范围．
( ) sin(2 ) cos(2 )6 3f x x x
π π= + + −
( )f x [0 ]π，
( )f x [ ]4 4
π π− ，
5π
12
11π
12 [ 3 2]− ，
3 1 1 3( ) sin 2 cos2 cos2 sin 22 2 2 2f x x x x x= + + + π3sin 2 cos2 2sin(2 )6x x x= + = +
( ) 0f x = πsin(2 ) 06x + = π2 6x + πk= k ∈Z 1 ππ2 12x k= − k ∈Z
[0 ]x∈ π， 1k = 5π
12x = 2k = 11π
12x =
( )f x [0 ]π， 5π
12
11π
12
[ ]4 4x
π π∈ − ， π π 2π2 [ , ]6 3 3x + ∈ − 3 πsin(2 ) 12 6x− +≤ ≤
( )f x [ ]4 4
π π− ， [ 3 2]− ，
{ }na nS 1 1a = 2( 1)n nS a n= + −
na
{ }2
n
n
a
nT
2 1na n= − 2 33 2n n
nT
+= −
2( 1)n nS a n= + − 2
1 1n nS a n+ += +
1 1 2 1n n na a a n+ += − + − 2 1na n= −
2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2n n
nT
−= + + + +
1
2 2 3 4 +1
1 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2n n
nT
−= + + + +
2 3 4 +1
1 1 2 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2n n n n
nT T
−− = + + + + + −
1
+1
1 1(1 )1 2 14 22 12 21 2
n
n
n−− −= + × −
− +1
3 2 3
2 2n
n += − 2 33 2n n
nT
+= −
πsin sin( )3b A a B= +
c
a【答案】（1） （2） 的最大值为 8
【解析】（1）由 ，根据正弦定理，有 ，
即有 ，则有 ，又 ，
所以， ．
（2）（2）由（1）， ，则 ，又△ABC 为锐角三角形，
所以， 且 ，所以 ，于是 ．
则 ．
又 ，所以， 的取值范围是 ．
20．（12 分）
已知函数 ，且函数 为偶函数．
（1）求 的解析式；
（2）若方程 有三个不同的实数根，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
（1）由题可知 a≠0，所以函数 的对称轴为 ，
由于 是偶函数，所以 ，即 关于 x＝1 对称，
所以 ，即 ．所以 ．
（2）方程 有三个不同的实数根，即方程 有三个不同实数根．
令 ，由（1）有 ，所以 ，令 ，则
或 ．当 时， ；当 时， ；当 时， ．
故当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递
增．
所以，当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值 ．
又由于 ，且当 时， ；当 时， ．
所以，方程 有三个不同实数根时，m 的范围是 ．
21．（12 分）
已知函数 在点 处的切线与 轴垂直．
（1）若 a＝1，求 的单调区间；
（2）若 ， 成立，求 的取值范围．
【答案】
π
3B = a c+
πsin sin( )3b A a B= + πsin sin sin sin( )3B A A B= +
π 1 3sin sin( ) sin cos3 2 2B B B B= + = + tan 3B = 0 πB< <
π
3B =
π
3B = 2π
3A C+ =
π0 2A< < 2π π0 3 2A< − < π π
6 2A< < 3tan 3A >
2π 3 1sin( ) cos sinsin 3 2 2
sin sin sin
A A Ac C
a A A A
− +
= = = 3 1 22tan 2A
= + <
3 1 1
2tan 2 2A
+ > c
a
1( ,2)2
2( ) 2 2 1f x ax x= − + ( 1)f x +
( )f x
( ) ex
mf x =
2( ) 2 1f x x x= − +
4(0, )e
2( ) 2 2 1f x ax x= − + 1
2x a
=
( 1)y f x= + ( 1) ( 1)f x f x− + = + 2( ) 2 2 1f x ax x= − +
1 12a
= 1
2a = 2( ) 2 1f x x x= − +
( ) ex
mf x = e ( )xm f x= ⋅
( ) e ( )xg x f x= ⋅ 2( ) ( 2 1)exg x x x= − + 2( ) ( 1)exg x x′ = − ( ) 0g x′ = 1x = −
1x = 1x < − ( ) 0g x′ > 1 1x− < < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ >
1x < − ( )g x 1 1x− < < ( )g x 1x > ( )g x
1x = − ( )g x 4( 1) eg − = 1x = ( )g x (1) 0g =
( ) 0g x ≥ x → −∞ ( ) 0g x → x → +∞ ( )g x → +∞
e ( )xm f x= ⋅
4(0, )e
2( ) ln (1 ) 1f x a x a x bx= + − − + (1 (1))f， y
( )f x
0 ex< < ( ) 0f x ≤ a（1）当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数.
（2）
【解析】
（1） ，由题 ，解得 ，由 a＝1，得
b=1.
因为 的定义域为 ，所以 ，
故当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数，
（2）由（1）知 b＝2－a，
所以 .
（i）若 ，则由（1）知 ，即 恒成立．
（ii）若 ，则 且 ，
当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数，
，即 恒成立．
（iii）若 ，则 且 ，
故当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
由题只需 即可，即 ，解得 ，
而由 ，且 ，得 ．
（iv）若 ，则 ， 为增函数，且 ，
所以 ， ，不合题意，舍去；
（v）若 ，则 ， 在 上都为增函数，且 ，
所以 ， ，不合题意，舍去；
综上所述，a 的取值范围是 ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做
的第一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
2
2
e 2e 1[ , )e e 1
− + +∞− −
( ) 2(1 )af x a x bx
′ = + − − (1) 2(1 ) 0f a a b′ = + − − = 2a b+ =
( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)( ) 1 xf x x x
− −′ = − =
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )2 2(1 ) ( 1)2(1 ) ( 2)( ) 2(1 ) (2 ) a x a xa a x a x af x a x ax x x
− − −− + − +′ = + − − − = =
1a = ( )max (1) 0f x f= = ( ) 0f x ≤
1a > ( ) 2(1 ) ( 1)2(1 ) ( 1) 2(1 )( )
aa x xa x a x af x x x
− − − − − − − ′ = = 02(1 )
a
a
( )f x (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )max (1) 0f x f= = ( ) 0f x ≤
2 13 a< < ( ) 2(1 ) ( 1)2(1 ) ( 1) 2(1 )( )
aa x xa x a x af x x x
− − − − − − − ′ = = 12(1 )
a
a
>−
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
(1, )2(1 )
ax a
∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x
( , )2(1 )
ax a
∈ +∞− ( ) 0f x′ > ( )f x
( )e 0f ≤ 2(1 )e (2 )e +1 0a a a+ − − − ≤
2
2
e 2e 1
e e 1a
− +
− −≥
2 2
2 2
e 2e 1 2 (e 2) 1 0e e 1 3 3e 3e 3
− + − +− = >− − − −
2
2 2
e 2e 1 2 e1 0e e 1 e e 1
− + −− =
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