江苏省扬州中学2020届高三上学期11月考试数学（带答案）.doc

1 扬州中学高三数学 11 月考 2019.11.1 数学Ⅰ试题 一、填空题（每小题 5 分，计 70 分） 1．已知集合 则 ． 2.设幂函数 的图像经过点 ，则 ． 3.已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数为 . 4. 若双曲线 的虚轴长为 2，则实数 的值为________． 5. 已知 ,则“ ”是直线 与直线 平行的 条件 （从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填 空）. 6. 已知实数 满足条件 ，则 的取值范围是__________． 7..若 ，则 ． 8.设函数 ，则不等式 的解集为 . 9. 已 知 直 线 与 曲 线 切 于 点 , 且 直 线 与 函 数 的图象交于点 .若 ，则 的值为 . 10. 如图，在圆 ： 上取一点 ， 为 轴上的两点，且 ，延长 ， 分别与圆 交于点 ，则直线 的斜率为 ． 11. 若直线 上存在相距为 的两个动点 2{ 1,1,2,3}, { | , 3},A B x x R x= − = ∈ < A B = αkxxf =)( ），（ 24 =+αk 2i1 2 ++= iz i z 14 22 =+− m y m x m ,x y R∈ 1a = 1 0ax y+ − = 1 0x ay+ + = yx,    ≤+ ≥ ≥ 1 0 0 yx y x 2 5 + ++ x yx 5cos2 6sin 0, ,4 2 π πα α α π   + + = ∈       sin 2α = ( ) 2x xf x e e x−= − − 0)3()12( 2 ≤++ xfxf l ( ) sinf x x= ( ,sin )(0 )2A πα α α< < l ( )y f x= ( ,sin )B β β α β π− = tanα O 2 2 4x y+ = ( 3 1)A − ， E F， y AE AF= AE AF M N， MN 04: =−+ ayaxl 2 x y O M N A F E （第 10 题）2 ，圆 上存在点 ，使得 为等腰直角三角形（ 为直角顶点）， 则实数 的取值范围为 . 12.在四边形 中，AB＝6，AD＝2，DC→ ＝1 3AB→ ，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 BD 的 中点，AO→ ·AE→ ＝8，则AC→ ·BD→ ＝________． 13.若 ， 均为正实数，则 的最小值为_______. 14. 给 出 函 数 ， 这 里 ， 若 不 等 式 恒成立， 为奇函数，且函数 恰有两 个零点，则实数 的取值范围为________________． 二、解答题（共 6 道题，计 90 分） 15、（本小题满分 14 分） 如图，已知 A 、B 、C 、D 四点共面，且 CD=1 ，BC=2 ，AB=4 ， ， . （1）求 ;（2）求 AD. 16.（本小题满分 14 分） 已知圆 的圆心为 ，直线 . （1）若 ，求直线 被圆 所截得弦长的最大值； （2）若直线 是圆心下方的切线，当 在 的变化时，求 的取值范围． BA, 1: 22 =+ yxO C ABC∆ C a ABCD x y 2 2 1 ( 2) x y x y + + + 4)(,)( 22 −+−=+−= xmxxhbxxxg Rxmb ∈,, )(01)( Rxbxg ∈≤++ 4)( +xh    > ≤= txxh txxgxf ),( ),()( t °=∠ 120ABC 7 72cos =∠BDC DBC∠sin )40(04222 222 ≤ > A F l l x T F AT T ,M N ,M N x M ,N T 2NF MF= ,NFM NFA∆ ∆ 1 2,S S 1 2 S S O TMN 20 41 41 ABC∆ CDAB, AB t2    ∈ 2 3,1t BCAC, AOB 1C xy cos1−= O C )(1 th 2C O C )(2 th )(1 th )(2 th O C4 19. (本小题满分 16 分） 若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使 成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数 是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求 的取值范围： （3 ）己知函数 在定义域 上为“ 依赖函数” ，若存在实数 ，使得对任意的 ,不等式 都成立，求实数 的最大 值. 20．（本小题满分 16 分） 已知函数 ． （1）当 时，求函数 的极值； （2）设函数 在 处的切线方程为 ，若函数 是 上 的单调增函数，求 的值； （3）是否存在一条直线与函数 的图象相切于两个不同的点？并说明理由． )(xfy = 1x 2x 1)()( 21 =xfxf xxg sin)( = 12)( −= xxf mn )3 4()()( 2 ≥−= aaxxh ]4,3 4[ ]4,3 4[∈x Rt ∈ 4)()( 2 +−+−≥ xtstxh s 21( ) 2ln 2f x x x ax a= + − ∈， R 3a = ( )f x ( )f x 0x x= ( )y g x= ( ) ( )y f x g x= − ( )0 + ∞， 0x ( )y f x=5 数学Ⅱ(附加题) 1、已知二阶矩阵 有特征值 ，其对应的一个特征向量为 ，并且矩阵 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵 ． 2、在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ，设点 P 是曲线 上 的动点，求 P 到直线 l 距离的最大值. A 4= −λ 1 4 − =   e A A (sin 3 cos ) 4 3ρ θ θ+ = 2 2: 19 yC x + =6 3、现有一款智能学习 APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不 影响．已知该 APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积 1 分，每日上限积 5 分；观看视频 累计 3 分钟积 2 分，每日上限积 6 分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如 表 1 所示，视频学习积分的概率分布表如表 2 所示． （1）现随机抽取 1 人了解学习情况，求其每日学习积分不低于 9 分的概率； （2）现随机抽取 3 人了解学习情况，设积分不低于 9 分的人数为 ，求 的概率分布 及数学期望． 4、数列 满足 且 . （1）用数学归纳法证明： ； （2）已知不等式 对 成立，证明： （其中无理数 ）. ξ ξ7 附加题 1、已知二阶矩阵 有特征值 ，其对应的一个特征向量为 ，并且矩阵 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵 ． 2、在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ，设点 P 是曲线 上的 动点，求 P 到直线 l 距离的最大值. 3、现有一款智能学习 APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不 影响．已知该 APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积 1 分，每日上限积 5 分；观看视 频累计 3 分钟积 2 分，每日上限积 6 分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分 布表如表 1 所示，视频学习积分的概率分布表如表 2 所示． （1）现随机抽取 1 人了解学习情况，求其每日学习积分不低于 9 分的概率； （2）现随机抽取 3 人了解学习情况，设积分不低于 9 分的人数为 ，求 的概率分布 及数学期望． A 4= −λ 1 4 − =   e A A (sin 3 cos ) 4 3ρ θ θ+ = 2 2: 19 yC x + = ξ ξ8 4、数列 满足 且 . （1）用数学归纳法证明： ； （2）已知不等式 对 成立，证明： （其中无理数 ）. 扬州中学高三数学月考 2019.11.1 试题Ⅰ 一、填空题（每小题 5 分，计 70 分） 1. 2. 3. 4. 5.充分必耍6.[2，3]7. 8. 9. 10.解析：.由题意，取 , ,因为 ，所以 ，过原点 所以 ，所以 11. 12. －32 3 　解析：由DC→ ＝1 3AB→ 得 DC∥AB，且 DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→ ＝3 4AC→ ＝3 4(AD→ ＋1 3AB→ )＝3 4AD→ ＋1 4AB→ .因为 E 是 BD 的中点，所以AE→ ＝1 2AD→ ＋1 2AB→ ，所以AO→ ·AE→ ＝ (3 4AD→ ＋1 4AB→ )·(1 2AD→ ＋1 2AB→ )＝3 8|AD→ |2＋1 8|AB→ |2＋1 2AD→ ·AB→ ＝3 2 ＋9 2 ＋1 2AD→ ·AB→ ＝8，所以AD→ ·AB→ ＝4，所以AC→ ·BD→ ＝(AD→ ＋1 3AB→ )·(AD→ －AB→ )＝|AD→ |2－1 3|AB→ |2－2 3AD→ ·AB→ ＝4－1 3 ×36－2 3 ×4＝ { 1,1}− 2 3 i−1 3=m 1-     2 1-1- ， 2 π (0,2)M 3 3kAM = AE AF= 3 3kAN = − ( 3, 1)N − 3kMN = −       3 3 3 3- ，9 －32 3 . 13.解析： 当 ，即 时 取得最小值为： 14.[－2，0)∪[4，＋∞) 二、解答题（共 6 道题，计 90 分） 15、 ( ) ( )2 2 22 2 1 11 2 2 1 2 2 2 x ty t yx y txy t y x y xy y xy y + + − ++ + + −= ≥+ + + ( )0 1t< < 2 1 22 1 t t = − 1 5t = ( ) 2 2 1 2 x y x y + + + 4212 5 2 55 2 5 xy y xy y + =+10 16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x＋a）2＋（y－a）2＝4a（0＜a≤4）， 则圆心 C 的坐标是（－a，a），半径为 2 . 直线 l 的方程化为：x－y＋4＝0. 则圆心 C 到直线 l 的距离是 ＝ |2－a|. 设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是： L＝2 ＝2 ＝2 . ∵0＜a≤4，∴当 a＝3 时，L 的最大值为 （2）因为直线 l 与圆 C 相切，则有 ＝2 ， 即|m－2a|＝2 . 又点 C 在直线 l 的上方，∴a＞－a＋m，即 2a＞m. ∴2a－m＝2 ，∴m＝ －1. ∵0＜a≤4，∴0＜ ≤2 . ∴m∈ 17. 解析： (1)对于曲线 C1，因为曲线 AOB 的表达式为 y＝1－cos x， 所以点 B 的坐标为(t，1－cos t)， 22 12 8a a− + − ( )22 3 10a− − + a 2 4 2 a− + 2 ( ) ( )2 2 2 2 2a a− − 2 10 2 2 m a− a 2a 2a ( )2 2 1a − 2a 2 1,8 4 2 − − 11 所以点 O 到 AB 的距离为 1－cos t. 因为 DC＝3－2t， 所以 h1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t－cos t＋4(1 ≤ t ≤ 3 2)； 对于曲线 C2，设 C2：x2＝2py，由题意得 p＝9 8， 故抛物线的方程为 x2＝9 4y，即 y＝4 9x2， 所以点 B 的坐标为(t，4 9t2)， 所以点 O 到 AB 的距离为 4 9t2. 因为 DC＝3－2t， 所以 h2(t)＝4 9t2－2t＋3(1 ≤ t ≤ 3 2). (2)因为 h′1(t)＝－2＋sin t 2a c= 1 2 ce a = =12 （2）①过 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则 ，又 ，故 ，故 是 的中点，∴ ， 又 是 中点，∴ ，∴ ； ②解法一：设 ，则椭圆方程为 ， 由①知 是 的中点，不妨设 ，则 ， 又 都在椭圆上，即有 即 ， 两式相 减得 ，解得 ，可得 ， 故直线 的斜率为 ， 直线 的方程为 ，即 原点 到直线 的距离为 ， 依题意 ，解得 ，故椭圆方程为 ． 解法二：设 ，则椭圆方程为 ， ,M N l 1 1,M N 1 1 NF MF eNN MM = = 2NF MF= 1 12NN MM= M NT 1 2 MNF TNF S S ∆ ∆ = F AT ANF TNFS S∆ ∆= 1 2 1 2 S S = ( ,0)F c 2 2 2 2 14 3 x y c c + = M ,N T 0 0( , )M x y 0 0(2 4 ,2 )N x c y− ,M N    2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 14 3 (2 4 ) 4 14 3 x y c c x c y c c + = − + =    2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 14 3 ( 2 ) 1 4 3 4 x y c c x c y c c + = − + = 2 2 0 0 2 2 ( 2 ) 3 4 4 4 x x c c c −− = 0 7 4x c= 0 3 5 8y c= MN 3 5 58 7 644 c k c c = = − − MN 5 ( 4 )6y x c= − − 5 6 4 5 0x y c+ − = O TMN 4 5 4 5 5 36 41 cd c= = + 4 5 20 41 4141 c = 5c = 2 2 120 15 x y+ = ( ,0)F c 2 2 2 2 14 3 x y c c + =13 由①知 是 的中点，故 ， 直线 的斜率显然存在，不妨设为 ，故其方程为 ，与椭圆联立，并消 去 得： ，整理得 ，（*） 设 ， ，依题意 由 解得 所以 ，解之得 ，即 ． 直线 的方程为 ，即 原点 到直线 的距离为 ， 依题意 ，解得 ，故椭圆方程为 ． 19．解：(1) 对于函数 的定义域 R 内存在 ，则 无解 故 不是“依赖函数”； …3 分 (2) 因为 在[m，n]递增，故 f(m)f(n)=1，即 ……5 分 由 n>m>0，故 ，得 0 (2 )mn m m= − ( )0,1m∈ ( )0,1mn∈14 (3)①若 ，故 在 上最小值 0，此时不存在 ，舍去；9 分 ②若 故 在 上单调递减，从而 ，解得 (舍)或 ……11 分 从而，存在 ，使得对任意的 t∈R，有不等式 都 成 立 ， 即 恒 成 立 ， 由 ， ……13 分 得 ，由 ，可得 ， 又 在 单 调 递 减 ， 故 当 时 ， ，……15 分 从而 ，解得 ， 综上，故实数 的最大值为 ．……16 分 20.（1）当 时，函数 的定义域为 ． 则 ， 令 得， 或 ． ………………………………………………………2 分 4 43 a≤ < ( ) ( )2f x x a= − 4 ,43      2x 4a ≥ ( ) ( )2f x x a= − 4 ,43      ( )4 4 13f f ⋅ =   1a = 13 3a = 4 ,43x  ∈   ( )2 213 43x t s t x − ≥ − + − +   2 2 26 133 03 9t xt x s x + + − + + ≥   2 2 26 1334 03 9x x s x   ∆ = − − + + ≤     2 532 9 264 33s x x + ≤  +   4 ,43x  ∈   26 5324 33 9s x x  + ≤ +   5323 9y x x = + 4 ,43x  ∈   4 3x = max 532 1453 9 3x x  + =   s 41 12 3a = 21( ) 2ln 32f x x x x= + − ( )0 + ∞， 22 3 2( ) 3 x xf x xx x − +′ = + − = ( )f x′ 0= 1x = 2x =15 列 表： 所以函数 的极大值为 ；极小值为 ． ………………4 分 （2）依题意，切线方程为 ， 从而 ， 记 ， 则 在 上为单调增函数， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立． …………………………………8 分 法一：变形得 在 上恒成立 ， 所以 ，又 ，所以 ． ………………………………………………10 分 法二：变形得 在 上恒成立 ， 因为 （当且仅当 时，等号成立）， 所 以 ， 从 而 ， 所 以 ．……………………………10 分 （3）假设存在一条直线与函数 的图象有两个不同的切点 ， ， 不妨 ，则 处切线 的方程为： ， 1 2 + 0  0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ( )f x 5(1) 2f = − ( 2 ) 2ln 2 4f = − 0 0 0 0( )( ) ( ) ( 0)y f x x x f x x′= − + > 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( 0)g x f x x x f x x′= − + > ( ) ( ) ( )p x f x g x= − 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )( )p x f x f x f x x x′= − − − ( )0 + ∞， 0( ) ( ) ( ) 0p x f x f x′ ′ ′= − ≥ ( )0 + ∞， 0 0 2 2( ) 0p x x xx x ′ = − + − ≥ ( )0 + ∞， ( ) 0 0 2 ( ) 0x x xx − − ≥ ( )0 + ∞， 0 0 2 xx = 0 0x > 0 2x = 0 0 2 2x xx x + +≥ ( )0 + ∞， 2 22 2 2x xx x + ⋅ =≥ 2x = 0 0 22 2 x x +≥ ( )2 0 2 0x − ≤ 0 2x = ( )f x 1 1 1( )T x y， 2 2 2( )T x y， 1 20 x x< < 1T 1l 1 1 1( ) ( )( )y f x f x x x′− = − x ( )0 1， ( )1 2， ( )2 + ∞， ( )f x′ ( )f x16 处切线 的方程为： ． 因为 ， 为同一直线，所以 ……………………12 分 即 整理得， ………………………………………………14 分 消去 得， ． 令 ，由 与 ，得 ， 记 ，则 ， 所以 为 上的单调减函数，所以 ． 从而 式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数 的图象有 两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16 分 附加题 1、【解析】设所求二阶矩阵 . 因为 有特征值 ，其对应的一个特征向量为 ， 2T 2l 2 2 2( ) ( )( )y f x f x x x′− = − 1l 2l 1 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . f x f x f x x f x f x x f x ′ ′=  ′ ′− = − ， ( ) ( )1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 22ln 2ln .2 2 x a x ax x x x ax x x a x x ax x x ax x  + − = + −  + − − + − = + − − + − ， 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 12ln 2ln .2 2 x x x x x x = − = − ， 2x 2 2 1 1 2 1 22ln 02 2 x x x + − = ① 2 1 2 xt = 1 20 x x< < 1 2 2x x = (0 1)t ∈ ， 1( ) 2lnp t t tt = + − 2 2 2 ( 1)2 1( ) 1 0tp t t t t −′ = − − = − < ( )p t (0 1)， ( ) (1) 0p t p> = ① ( )f x a b c d  =   A A 4λ = − 1 4 − =   e17 所以 ，且 ， 所以 ，解得 . 所以 . 2、【解析】易得直线 ， 设点 ， ∴P 到直线 l 的距离 ， 当且仅当 ，即 时取“ ”， 所以 到直线 距离的最大值为 . 3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于 9 分的情形有： 因为两类学习互不影响， 所以概率 ， 所以每日学习积分不低于 9 分的概率为 ． （2）由题意可知，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3． 由（1）知每个人积分不低于 9 分的概率为 ． 4= −Ae e 1 8 2 4    =      A 4 4 4 16 2 8 2 4 a b c d a b c d − + = − + = − + =  + = 4 2 8 2 a b c d =  = =  = − 4 2 8 2  =  − A : 3 4 3 0l x y+ − = (cos ,3sin )P α α π2 3sin 4 36| 3sin 3 cos 4 3 | | 2 3 4 3 | 3 32 2 2d αα α  + − + − − − = = ≤ = π π2 π6 2kα + = − 22 π π( )3k kα = − ∈Z = P l 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 9 2 6 2 2 3 2 2 9P = × + × + × + × = 5 9 ξ 5 918 则 ； ； ； ． 所以，随机变量 的概率分布列为 0 1 2 3 P 所以 ． 所以，随机变量 的数学期望为 ． 4、【解析】 （1）①当 时， ，不等式成立. ②假设当 时不等式成立，即 ，那么 .这就是说，当 时不等式成立.根据①，②可知： 对所有 成立. （2）当 时，由递推公式及（1）的结论有 ，两边取对数并利用已知不等式 ( ) 34 64=0 = 9 729P   =   ξ ( ) 2 1 3 5 4 240 80=1 =C =9 9 729 243P    =     ξ ( ) 2 2 3 5 4 300 100=2 =C =9 9 729 243P     =       ξ ( ) 35 125=3 = 9 729P   =   ξ ξ ξ 64 729 80 243 100 243 125 729 64 240 300 125 50 1 2 3729 729 729 729 3E = × + × + × + × =ξ ξ 5 319 得 ，故 ，求和可得 .由（1）知， ， 故有 ，而 均小于 ，故对任意正整数 ，有 .