四川省成都石室中学2020届高三10月月考数学（理）试题（带答案）.docx

理科数学第 1 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 成都石室中学 2019~2020 学年度上期高 2020 届 10 月月考 数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2.已知 为虚数单位，则 等于（ ） A. B. C. D. 3.已知命题 ： ，命题 ：若 ，则 ，则以下命题正确 的为（ ） A. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” B. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” C. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” D. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” 4.已知 是公差为 的等差数列， 为 的前 项和.若 成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 5.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高 尺，竹子 高 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天 会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的 ， ，输出的 ，则程序框图中的 中应填（ ） A. B. C. D. 6.设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线 与曲线 有两个交点，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8.已知 ， ， ，其中 是自然对数的底数．则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. { | ( 1)( 2) 0}, { | 0}= − − ≤ = >M x x x N x x N M⊆ M N⊆ M N∩ = ∅ M N = R i 2 3 2019i i i i+ + + +i 1 i− 1− p 2( ,0),2 3 1 0x x x∀ ∈ −∞ − + > q 0x ≥ 22 3 1 0x x− + ≤ p 2[0, ),2 3 1 0x x x∃ ∈ +∞ − + ≤ q 0x < 22 3 1 0x x− + > p 2( ,0),2 3 1 0x x x∃ ∈ −∞ − + ≤ q 0x < 22 3 1 0x x− + > p 2[0, ),2 3 1 0x x x∃ ∈ +∞ − + ≤ q 0x ≥ 22 3 1 0x x− + > p 2( ,0),2 3 1 0x x x∃ ∈ −∞ − + ≤ q 0x ≥ 22 3 1 0x x− + > { }na 1 2 nS { }na n 2 6 14, ,a a a 5S = 35 2 35 25 2 25 5 2 5x = 2y = 4n = x y≤ y x≤ y x< x y= 2 , 1 ( ) , 12 x x f x x x − > b c a> > c a b> > c b a> >理科数学第 2 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 9.2021 年广东新高考将实行 模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、 化学生物四选二，共有 12 种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有 偏好，则他们选课相同的概率（ ） A. B. C. D. 10.高斯函数 （ 表示不超过实数 的最大整数），若函数 的零点为 ，则 =（ ） A. B. C. D. 11.已知双曲线 （ ）的焦距为 ，其与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，若 为正三角形，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 12.已知函数 ，其中 是自然对数的底数．若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知数列 满足 ， ，则 ______． 14.现有 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有______种．（用数 字作答） 15.已知球 的内接圆锥体积为 ，其底面半径为 ，则球 的表面积为______． 16.已知抛物线 ： 的焦点为 ，且 到准线 的距离为 ，直线 与抛 物线 交于 两点（点 在 轴上方），与准线 交于点 ，若 ，则 ______． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 在 中， 是 上的点， 平分 ， . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 的长． 3 1 2+ + 1 36 1 16 1 8 1 6 [ ]( )f x x= [ ]x x ( ) 2x xg x e e−= − − 0x [ ]0( )g f x 1 2ee − − 2− 1 2e e − − 2 2 1 2e e − − 2 2 2 2: 1x yC a b − = 0, 0a b> > 4 2 3: 3E y x= ,A B O OAB∆ C 2 2 3 2 2 3 3 1( ) 2 1 x xf x x x e e = − + + − e ( )2( 1) 2 2f a f a− + ≤ a 11, 2  −   3 ,12  −      − 2 3,1 1 ,12  −   { }na 1 1a = 1 1lg lg 2n na a+ = + 5a = 5 O 2 3 π 1 O C 2 0)2 (y px p= ＞ F F l 2 1 : 5 0l x my− − = C ,P Q P x l R 3QF = QRF PRF S S ∆ ∆ = ABC∆ D BC AD BAC∠ sin 2sinC B= BD CD 1AD AC= = BC理科数学第 3 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 18.（本小题满分 12 分） 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健 康标准（2014 年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的 迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分 100 分），并从中随机抽取了 200 名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）估计这 200 名学生健康指数的平均数 和样本方差 （同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平 均数 ， 近似为样本方差 . ①求 ； ②已知该市高三学生约有 10000 名，记体质健康指数在区间 的人数为 ，试求 . 附：参考数据 ， 若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， . 19.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 中， ， ， 是 的中点， 是等边三角形，平面 平面 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 大小的正弦值. x 2s X ( )2,N µ σ µ x 2σ 2s (63.4 98.2)P X< < ( )63.4,98.2 ξ Eξ 1.35 1.16≈ X ( )2,N µ σ ( ) 0.683P Xµ σ µ σ− < < + ≈ ( 2 2 ) 0.955P Xµ σ µ σ− < < + ≈ ( 3 3 ) 0.997P Xµ σ µ σ− < < + ≈ P ABCD− / /AD BC 1 2AB BC CD AD= = = G PB PAD∆ PAD ⊥ ABCD CD ⊥ GAC P AG C− −理科数学第 4 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 过点 ，且椭圆的离心率为 ． (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，且 ．若直线 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 的方程． 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （Ⅰ）若直线 为 的切线，求 的值； （Ⅱ）若 ， 恒成立，求 的取值范围． 22.（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中,圆 ： .以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标 系. （Ⅰ）求圆心 的极坐标； （Ⅱ）从原点 作圆 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程. ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )0,1A 6 3 C 1 l C ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2x x> 3x = P PMN∆ M l 2 ( ) 12 x xf x e= − − y x a= + ( )f x a [ )0,x∀ ∈ +∞ ( )f x bx≥ b xOy C ( )22 4 4x y+ − = O x C O C理科数学第 5 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 成都石室中学 2019~2020 学年度上期高 2020 届 10 月月考 数学试卷（理科）答案 一、选择题：BDBCAD CCDBCA 二、填空题： 13.__ ____．14.___36___．15.____ __．16.___ ___． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由正弦定理可得在 中， ， 在 中， ，…………………………3 分 又因为 ， .…………………………6 分 （Ⅱ） ，由正弦定理得 ， 设 ，则 ，则 .…………………………9 分 因为 ， 所以 ，解得 . .…………………………12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下： 分值区间 频数 5 15 40 75 45 20 ∴ ，…………………3 分 .………………………6 分 （Ⅱ）①由（Ⅰ）知 服从正态分布 ，且 ， ∴ .………………9 分 ②依题意， 服从二项分布，即 ，则 .………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 100 25 4 π 6 7 ABD∆ sin sin AD BD B BAD = ∠ ACD∆ sin sin AD CD C CAD = ∠ BAD CAD∠ = ∠ sin 2sin BD C CD B = = sin 2sinC B= 2 2AB AC= = DC x= 2BD x= 2 2 2 25 4cos cos2 4 AB AD BD xBAD CADAB AD + − −∠ = = ∠⋅ ， 2 2 2 22 2 2 AC AD CD x AC AD + − −= =⋅ BAD CAD∠ = ∠ 2 25 4 2 4 2 x x− −= 2 2x = 3 23 2BC x= = [ )40,50 [ )50,60 [ )60,70 [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100 ( ) 145 5 55 15 65 40 75 75 85 45 95 20 75200x = × + × + × + × + × + × × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 5 15 40 4545 75 55 75 65 75 85 75200 200 200 200s = − × + − × + − × + − × ( )2 2095 75 135200 + − × = X ( )75,135N 11.6σ ≈ 1 1(63.4 98.2) ( - +2 )= 0.955 0.683 0.8192 2P X P Xµ σ µ σ< < = < < × + × = ξ ( )410 ,0.819Bξ  8190E npξ = =理科数学第 6 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 解：（Ⅰ）取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连结 . ， 四边形 与四边形 均为菱形 ， 为等边三角形， 为 中点 …………………………2 分 平面 平面 且平面 平面 . 平面 且 平面 平面 ， 分别为 ， 的中点 …………………………5 分 又 平面 平面 …………………………6 分 （Ⅱ）取 的中点为 ，以 为空间坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .…………………………7 分 设 ，则 ， ， ， ， , . 设平面 的一法向量 . 由 . 令 ，则 .…………………………10 分 由（Ⅰ）可知，平面 的一个法向量 . . AD O OP OC OB OB AC H GH / /AD BC 1 2AB BC CD AD= = =  ABCO OBCD OB AC∴ ⊥ / /OB CD CD AC⊥ PAD∆ O AD PO AD∴ ⊥  PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= PO ⊂ PAD PO AD⊥ PO∴ ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD PO CD∴ ⊥ H G OB PB / /GH PO∴ GH CD∴ ⊥ GH AC H ∩ = ,AC GH Ì GAC CD\ ^ GAC BC E O OE OD OP x y z O xyz− 4=AD ( )0,0,2 3P ( )0, 2,0A − ( )3,1,0C ( )0,2,0D 3 1, , 32 2G  −    ( )0,2,2 3AP = 3 3, , 32 2AG  =      PAG ( ), ,n x y z → = 0 0 n AP n AG    ⋅ =  ⋅ = 2 2 3 0 3 3 3 02 2 y z x y z  + =⇒  + + = 3y z x z  = −⇒  = 1z = ( )1, 3,1n = − AGC ( )3,1,0CD = −理科数学第 7 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 二面角 的平面角 的余弦值 . 二面角 大小的正弦值为 .…………………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意得 …………………………………………3 分 解得 ．　　　　　　 所以椭圆 的方程为 ． 　…………………………………………4 分 （Ⅱ）设直线 的方程为 ， , 　　　　 由 得 .　　　…………………………6分 令 ，得 ． ， ． ……………………………………7 分 因为 是以 为顶角的等腰直角三角形， 所以 平行于 轴． ………………………………8分 过 做 的垂线，则垂足 为线段 的中点． 设点 的坐标为 ，则 ．　 由方程组 解得 ，即 ． 而 ， 所以直线 的方程为 ． …………………………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设切点为 ， ， ∴ ，……………………2 分 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上为增函数； 当 时， ， 在 上为减函数； 所以 ，所以 ， 2 2 13 x y+ = PMN∆ PMN∠ l 1y x= − ∴ P AG C− − θ 2 3 15cos 52 5 n CD n CD θ ⋅ = − = − = −   P AG C− − 10 5 2 2 2 1, 6 ,3 . b c a a b c =  =  = + 2 3a = C l y x m= + (3, )PP y 2 2 13 x y y x m  + =  = + ， 2 24 6 3 3 0x mx m+ + − = 2 236 48 48 0m m∆ = − + > 2 2m− < < 1 2 3 2x x m+ = − 2 1 2 3 ( 1)4x x m= − NP x M NP Q NP Q ( ),Q Qx y 2 1 3 2Q M xx x x += = = 1 2 2 1 2 2 1 3 2 3 ( 1)4 3 2 x x m x x m xx  + = −  = −  + = ， ， ， 2 2 1 0m m+ + = 1m = − ( )1 2 2m = − ∈ − ， ( )0 0,P x y ( )' xf x e x= − ( ) 0 0 0' 1xf x e x= − = ( ) xh x e x= − ( )' 1xh x e= − 0x > ( )' 0h x > ( )h x ( )0, ∞+ 0x < ( )' 0h x < ( )h x ( ),0−∞ ( ) ( )min 0 1h x h= = 0 0x =理科数学第 8 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 又 ，所以 ．……………………4 分 （Ⅱ） ， 恒成立 ， ． 令 ， ． ， , 当 时， ，所以 在 上为增函数， ， ①若 ，则当 时 ，故 在 上为增函数， 故 时，有 即 恒成立，满足题意.…………8 分 ②若 ，因为 为 上的增函数且 ， ， 故存在 ，使得 . 当 时， ， 在 为减函数， ，矛盾，舍去. 综上 ．………………………12 分 22.（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ） …………………………3 分 （Ⅱ） ………………………7 分 ……………………10 分 0 2 0 0 1 12 xe x x a− − = + 0a = [ )0,x∀ ∈ +∞ ( )f x bx≥ 2 1 02 x xe bx⇔ − − − ≥ [ )0,x∈ +∞ 2 ( ) 12 x xg x e bx= − − − [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )' xg x e x b h x= − − = ( )' 1xh x e= − 0x > ( )' 1 0xh x e= − > ( )h x [ )0,+∞ ( )min 1h x b= − 1b ≤ 0x > '( ) 0g x > ( )g x [ )0,+∞ [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )0 0g x g≥ = 2 1 02 x xe bx− − − ≥ 1b > ( )'g x ( )0, ∞+ ( )' 0 1 0g b= − < ( ) ( )' ln 2 ln ln 2 1 ln 2 1 ln 2 0g b b b b b= − − > − − − = − >   ( )( )0 0,ln 2x b∈ ( )0' 0g x = ( )00,x x∈ ( )' 0g x < ( )g x ( )00, x ( ) ( )0 0g x g< = 1b ≤ 4, 2 π     4sinρ θ= 2 3 3 π πθ <