四川省成都石室中学2020届高三10月月考数学（文）试题（带答案）.docx

文科数学第 1 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 成都石室中学 2019~2020 学年度上期高 2020 届 10 月月考 数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2.已知 为虚数单位，则 等于（ ） A. B. C. D. 3.已知命题 ： ，命题 ：若 ，则 ，则以下命题正确 的为（ ） A. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” B. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” C. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” D. 的否定为“ ”， 的否命题为“若 ，则 ” 4.已知 是公差为 的等差数列， 为 的前 项和.若 成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 5.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高 尺，竹子 高 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天 会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的 ， ，输出的 ，则程序框图中的 中应填（ ） A. B. C. D. 6.设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线 与曲线 有两个交点，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8.已知 ， ， ，其中 是自然对数的底数．则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. { | ( 1)( 2) 0}, { | 0}= − − ≤ = >M x x x N x x N M⊆ M N⊆ M N∩ = ∅ M N = R i 2 3 2019i i i i+ + + +i 1 i− 1− p 2( ,0),2 3 1 0x x x∀ ∈ −∞ − + > q 0x ≥ 22 3 1 0x x− + ≤ p 2[0, ),2 3 1 0x x x∃ ∈ +∞ − + ≤ q 0x < 22 3 1 0x x− + > p 2( ,0),2 3 1 0x x x∃ ∈ −∞ − + ≤ q 0x < 22 3 1 0x x− + > p 2[0, ),2 3 1 0x x x∃ ∈ +∞ − + ≤ q 0x ≥ 22 3 1 0x x− + > p 2( ,0),2 3 1 0x x x∃ ∈ −∞ − + ≤ q 0x ≥ 22 3 1 0x x− + > { }na 1 2 nS { }na n 2 6 14, ,a a a 5S = 35 2 35 25 2 25 5 2 5x = 2y = 4n = x y≤ y x≤ y x< x y= 2 , 1 ( ) , 12 x x f x x x − > b c a> > c a b> > c b a> >文科数学第 2 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 9.已知 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 10.函数 的零点的个数是（ ） A. B. C. D. 11.已知双曲线 （ ）的焦距为 ，其与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，若 为正三角形，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 12.已知函数 ，其中 ， ， 为 的零点：且 恒成立， 在区间 上有最小值无最大值，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知数列 满足 ， ，则 ______． 14. 已 知 ， 若 幂 函 数 为 奇 函 数 ， 且 在 上 递 减 ， 则 ______． 15.已知球 的内接圆锥体积为 ，其底面半径为 ，则球 的表面积为______． 16.已知抛物线 ： 的焦点为 ，且 到准线 的距离为 ，直线 与抛 物线 交于 两点（点 在 轴上方），与准线 交于点 ，若 ，则 ______． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 在 中， 是 上的点， 平分 ， . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 的长． (0, ),2sin 2 cos2 12 πα α α∈ = + sinα 5 5 1 5 3 3 2 5 5 xxxxxf sin)1()( 2 +−+= 1 2 3 4 2 2 2 2: 1x yC a b − = 0, 0a b> > 4 2 3: 3E y x= ,A B O OAB∆ C 3 2 2 2 3 2 ( ) sin( )f x xω ϕ= + 0ω > | | 2 πϕ  4 p- ( )f x ( ) 4f x f π     ( )f x ,12 24 π π     − ω 11 13 15 17 { }na 1 1a = 1 1lg lg 2n na a+ = + 5a = 1 12, 1, , ,1,2,32 2 α  ∈ − − −   ( )f x xα= ( )0,+∞ α = O 2 3 π 1 O C 2 0)2 (y px p= ＞ F F l 2 1 : 5 0l x my− − = C ,P Q P x l R 3QF = QRF PRF S S ∆ ∆ = ABC∆ D BC AD BAC∠ sin 2sinC B= BD CD 1AD AC= = BC文科数学第 3 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 18.（本小题满分 12 分） 随着经济的发展，个人收入的提高.自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳 税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表， 调整前后的计算方法如下表： 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 免征额 3500 元 免征额 5000 元 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过 1500 元的部分 3 1 不超过 3000 元的部分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 2 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 3 超过 12000 元至 25000 元的部分 10 … … … … … … （Ⅰ）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收入总和不高于 8000 元，记 表示总收入， 表示应纳的税， 试写出调整前后 关于 的函数表达式； （Ⅱ）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入，并制成下 面的频数分布表： 收入（元） 人数 30 40 10 8 7 5 先从收入在 及 的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 2 人作为新纳税法知识宣 讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率； （Ⅲ）小李该月的工资、薪金等税前收入为 7500 元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前 增加了多少？ 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中， ， ， 是 的中点， 是等边三角形， 平面 平面 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 与三棱锥 的体积之比. x y y x [ )3000,5000 [ )5000,7000 [ )7000,9000 [ )9000,11000 [ )11000,13000 [ ]13000,15000 [ )3000,5000 [ )5000,7000 P ABCD− AD BC∥ 1 2AB BC CD AD= = = G PB PAD△ PAD ⊥ ABCD CD ⊥ GAC D GAC− P ABC−文科数学第 4 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 （ 为自然对数的底数）. (Ⅰ)讨论函数 的单调性； (Ⅱ)求证：当 时，对 ， . 21.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 过点 ，且椭圆的离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； (Ⅱ)斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，且 ．若直线 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 的方程． 22.（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中,圆 ： .以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标 系. （Ⅰ）求圆心 的极坐标； （Ⅱ）从原点 作圆 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程. ( ) ( ) 21 1 ex a x xf x − − −= e ( )f x 3 ea ≥ − [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )0,1A 6 3 C 1 l C ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2x x> 3x = P PMN∆ M l xOy C ( )22 4 4x y+ − = O x C O C文科数学第 5 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 成都石室中学 2019~2020 学年度上期高 2020 届 10 月月考 数学试卷（文科）答案 一、选择题：BDBCAD CCABD C 二、填空题： 13. __ ____．14.___ ___．15.____ __．16. ___ ___． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由正弦定理可得在 中， ， 在 中， ，…………………………3 分 又因为 ， .…………………………6 分 （Ⅱ） ，由正弦定理得 ， 设 ，则 ，则 .…………………………9 分 因为 ， 所以 ，解得 . .…………………………12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）调整前 关于 的表达式为 ， 调整后 关于 的表达式为 .…………………4 分 （Ⅱ）由频数分布表可知从 及 的人群中按分层抽样抽取 7 人，其中 中占 3 人，分别记为 ， 中占 4 人，分别记为 1，2，3，4，再从这 7 人中选 2 人的所有组合有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，12，13，14，23，24，34，共 21 种情况，…………………7 分 其中不在同一收入人群的有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 12 种，所以所求概率为 .…………………10 分 100 1− 25 4 π 6 7 ABD∆ sin sin AD BD B BAD = ∠ ACD∆ sin sin AD CD C CAD = ∠ BAD CAD∠ = ∠ sin 2sin BD C CD B = = sin 2sinC B= 2 2AB AC= = DC x= 2BD x= 2 2 2 25 4cos cos2 4 AB AD BD xBAD CADAB AD + − −∠ = = ∠⋅ ， 2 2 2 22 2 2 AC AD CD x AC AD + − −= =⋅ BAD CAD∠ = ∠ 2 25 4 2 4 2 x x− −= 2 2x = 3 23 2BC x= = y x ( ) ( ) 0, 3500 3500 0.03,3500 5000 45 5000 0.1,5000 8000 x y x x x x  ≤ = − × < ≤  + − × < ≤ y x ( ) 0, 5000 5000 0.03,5000 8000 xy x x ≤=  − × < ≤ [ )3000,5000 [ )5000,7000 [ )3000,5000 , ,A B C [ )5000,7000 AB AC 1A 2A 3A 4A BC 1B 2B 3B 4B 1C 2C 3C 4C 1A 2A 3A 4A 1B 2B 3B 4B 1C 2C 3C 4C 12 4 21 7P = =文科数学第 6 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 （Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为 7500 元， 按调整起征点前应纳个税为 元； 按调整起征点后应纳个税为 元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交 220 元， 即个人的实际收入增加了 220 元， 所以小红的实际收入增加了 220 元.…………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）证明：取 的中点为 ，连接 ， ， ，设 交 于 ，连接 . ， ， 四边形 与四边形 均为菱形. ， . . 等边三角形， 为 中点， .…………………3 分 平面 平面 且平面 平面 ， 平面 且 ， 平面 . 平面 ， . ， 分别为 ， 中点， . .…………………7 分 又 ， 平面 .…………………8 分 （Ⅱ） .…………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） ，…………………2 分 由 得 或 . 当 时， ，函数 在 内单调递增.…………………3 分 为 的 1500 3% 2500 10% 295× + × = 2500 3% 75× = AD O OP OC OB OB AC H GH AD BC∵ ∥ 1 2AB BC CD AD= = = ∴ ABCO OBCD OB AC∴ ⊥ OB CD CD AC∴ ⊥ PAD O AD PO AD∴ ⊥  PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= PO ⊂ PAD PO AD⊥ PO∴ ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD PO CD∴ ⊥ H G OB PB GH PO∴ ∥ GH CD∴ ⊥ GH AC H ∩ = CD\ ^ GAC 2 D GAC G ADC G ADC P ABC P ABC G ABC V V V V V V − − − − − − = = 1:12 2 ADC ABC S AD S BC = = =△ △ ( ) ( )2 1 ex x a x af x − + +′ = ( )( )1 ex x x a− −= ( ) 0f x′ = 1x = x a= 1a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( ),−∞ +∞文科数学第 7 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 当 时，函数 在 ， 内单调递增，在 内单调递减.…………4 分 当 时，函数 在 ， 内单调递增，在 内单调递减.…………5 分 （Ⅱ）证明：要证 ， ，即证 ， . ①由（Ⅰ）可知，当 ， 时， . ， . 设 ， ，则 ， 在 单调递增，故 ，即 . .…………………8 分 ②当 时，函数 在 单调递增， .…………………9 分 ③当 时，由（1）可知， 时， . 又 ， ， . 综上，当 时，对 ， .…………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意得 …………………………………………3 分 解得 ．　　　　　　 所以椭圆 的方程为 ． 　…………………………………………4 分 （Ⅱ）设直线 的方程为 ， , 　　　　 由 得 .　　　…………………………6分 令 ，得 ． ， ． ……………………………………7 分 2 2 13 x y+ = 1a < ( )f x ( ),a−∞ ( )1,+∞ ( ),1a 1a > ( )f x ( ),1−∞ ( ),a +∞ ( )1,a [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ − [ )0,x∈ +∞ ( )min 1f x ≥ − 1a > [ )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ( ){ }min min 0 ,f x f f a= (0) 1f = − ( ) 1 ea af a − −= ( ) 1 ea ag a − −= 1a > ( ) 0ea ag a′ = > ( )g a∴ ( )1,+∞ ( ) ( ) 21 1eg a g> = − > − ( ) 1f a > − ∴ ( )min = 1f x − 1a = ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )min 0 1f x f= = − 3 e 1a− ≤ < [ )0x∈ + ∞， ( ) ( ) ( ){ }min min 0 , 1f x f f= ( )0 1f = − ( ) ( )3 e 331 1e e af − −−= ≥ = − ( )min 1f x∴ = − 3 ea ≥ − [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ − 2 2 2 1, 6 ,3 . b c a a b c =  =  = + 2 3a = C l y x m= + (3, )PP y 2 2 13 x y y x m  + =  = + ， 2 24 6 3 3 0x mx m+ + − = 2 236 48 48 0m m∆ = − + > 2 2m− < < 1 2 3 2x x m+ = − 2 1 2 3 ( 1)4x x m= −文科数学第 8 页共 4 页命题/审题：石室文庙高 2020 届数学组 因为 是以 为顶角的等腰直角三角形， 所以 平行于 轴． ………………………………8分 过 做 的垂线，则垂足 为线段 的中点． 设点 的坐标为 ，则 ．　 由方程组 解得 ，即 ． 而 ， 所以直线 的方程为 ． …………………………………………12 分 22.（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ） …………………………3 分 （Ⅱ） ………………………7 分 ……………………10 分 PMN∆ PMN∠ l 1y x= − NP x M NP Q NP Q ( ),Q Qx y 2 1 3 2Q M xx x x += = = 1 2 2 1 2 2 1 3 2 3 ( 1)4 3 2 x x m x x m xx  + = −  = −  + = ， ， ， 2 2 1 0m m+ + = 1m = − ( )1 2 2m = − ∈ − ， 4, 2 π     4sinρ θ= 2 3 3 π πθ <