2019 届高三（高 2016 级）第二次教学质量诊断性考试
数学（文科）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4
页，共 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1.已知集合 A={-3,1}，B= { },则
A.{1} B.(-3,1) C.{-3,1} D. （-3,3）
2.
A. B. C. D.
3.已知 ，则
A. B. C. D.
4. 是 成立的
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.若某几何体的二视图如图所示，则该几何体的直观图可以是
0＜| 2xx =BA
=−i
i
1
2
i−1 i+1 i+−1 i−−1
2tan =α =α2tan
3
4
3
4−
4
3
4
3−
3>x 3>ln x6.在△ABC 中， ，若 ,则
A.2 B.6 C.20 D.
7.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全
等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方
形，设直角三角形中一个锐角的正切值为 3.若在大正方形内随机取一点，则此
点取自小正方形内的概率是
A. B. C. D.
8.设 ,则 a，b，c 的大小关系是
A. a> b> c B. a > c > b C. c> a>b D. c>b>a
9. 若函数 (a 为常数， )的图像关于直线 对称，则函数
的最大值为
A. B. C. D.
10. 双 曲 线 C:
(a>b>0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2 , 过 F1 的 直 线 与 圆
相切于点 A，与 C 的右支交于点 B，若 ，则 C 的离心率为
|||| ACABACAB −=+ 2,4|| == ACAB =|| BC
52
10
1
5
2
10
3
5
1
2018
1
20192018 2019,2018log,2019log === cba
xxaxf cossin)( += Rx∈
6
π=x
)(xf
32 2
3 3 3
32
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
222 ayx =+ |||| 2BFAB =A.3 B.5 C. D.
11.三棱锥 S-ABC 中，SA⊥底面 ABC，若 SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
12.函数 ，若方程 有且只有三个不同的实数解，则实数 a 的取值
范围是
A. B.
C. D.
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.抛物线 C: 上一点 P 到 轴的距离为 3，则点 P 到 C 的焦点的距离为 .
14.某商场新购进某品牌电视机 30 台，为检测这批品牌电视机的安全系数，现采用系统抽样
的方法从中抽取 5 台进行检测，若第一组抽出的号码是 2，则第 4 组抽出的号码是 .
15.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为 .
16.已知锐角△ABC 的外接圆的半径为 1， ，则△ABC 面积的取值范围是 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17〜21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(―)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分）
设各项均为正数的等比数列{ }的前 项和为 ，己知 .
(I)求数列{ }的通项公式；
(II)设 ，求数列{ }的前 项和 .
18.(本小题满分 12 分）
为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进
行了相应的抽样调査，得到数据的统计图表如下：
5 3
π21 π18 2
21π π42
xaxxf 3||)( −−= 2)( =xf
)3,31( + ),322()322,( +∞+−−∞
)31,( −−∞ ),31()31,1( +∞+−−
xy 42 = y
yx,
≤
≥+
≤
2
2
0
x
yx
y
yxz −= 2
4
π=A
na n nS 22,2 33213 −=+= aSaaa
na
122log −= nn ab na n nT(I)根据图中数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；
(II)完善表中数据，并据此判断是否有 99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱”与“市民年
龄”有关；
(Ⅲ)用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取 3 台，记其中使用时间不低于 4 年
的电冰箱的台数为 ，求 的期望。
附：
19.(本小题满分 12 分）
如图，三棱锥 D-ABC 中，AB = BC=CD=DA.
(I)证明：BD 丄 AC；
x x (II)若 AC = BD = 2，且三棱锥 D - ABC 的体积为 ，求点 C 到平面的距离。
20.(本小题满分 12 分）
已知椭圆 C:
(a>b>0)四点 P1(1,1),P2(0, ),P3(1, ),P4(1,- )中恰有
三点在椭圆 C 上。
（I）求椭圆 C 的方程；
(II)若斜率不为 0 的直线 过 C 的右焦点 F2，交 C 于 M,N 两点，过点 F2 且与 垂直的直线与圆
C1: 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围。
21.(本小题满分 12 分）
已知函数 .
(I)若曲线 在点(1， )处的切线与 轴交于点(2,0)，求 的值；
(II)求证：a> 时， 存在唯一极值点 ,且 .
(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.(本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，点 P(0,-1)，直线 的参数方程为 为参数），
以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
.
(I)求曲线 C 的直角坐标方程；
(II)若直线 与曲线 C 相交于不同的两点 A,B，M 是线段 AB 的中点，当 时，求
的值.
23.(本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
己知函数 .
(I)若 a = 1，解不等式 ;
3
22
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
2
3
2
3−
2
3
l l
015222 =−++ xyx
)(ln)( axexxf +−=
)(xf )1(f x a
e
11− )(xf 0x e
1
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