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高三数学参考答案 第 1 页 共 4 页 2019 学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高三年级数学学科参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分,共 40 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A B B A B C D D 二、填空题（本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分） 11． 5 , 1 2 12． 3− , 3 4− 13． 1 3 , 9 14． 1 4 , 26 15． 1 ee 16． 3 2 17．7 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．解： （Ⅰ）当 0,x  不等式显然成立…………………………………………………………………… 1 分 21 2 0 1 2x x x x − −   −  当 时，不等式可化为 , 12x即 …………………………2 分 21 2 0x x x − + 当 时，不等式可化为 恒成立 ……………………………………………2 分  |2xx综上，不等式的解集为 …………………………………………………………2 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， pA令 的解集为 ，即  |2A x x=， qB的解集为 ,由题意知 BA ………2 分 2 (3 1) 3 0 -1 3x m x m m− − − =方程 的两根为 和 1-1 3 , ,3m m B B A= = − = 当 时，即 显然成立 ………………………………………1 分  1-1 3 , | 3 1 ,3m m B x m x B A  − =   − 当 时，即 显然成立 ………………………1 分  1-1 3 , | 1 3 ,3 123 2, 33 m m B x x m B A mm   − = −     −  当 时，即 要使 成立 则 即 ……………………………2 分 2 3m 综上 ……………………………………………………………………………1 分 19．解： （Ⅰ） cos 4 cos sin cos 4sin cosa B b A A B B A =   =， ……………………… 2 分 11tan tan , cos , tan 4 347B A A A= =  =即 又 ………………………………………2 分 tan 3B=…………………………………………………………………………………1 分 tan 0BB为锐角…………………………………………………………………1 分 高三数学参考答案 第 2 页 共 4 页 3B = …………………………………………………………………………………1 分 （Ⅱ） 1 4 3cos , sin ,77ABC A A = =中， 则 …………………………………………………………2 分 53sin sin( ) sin cos cos sin 14C A B A B A B= + = + = ………………………………………2 分 根据正弦定理 5sin sin cacCA=  = ………………………………………………………2 分 1 1 3sin 5 8 10 32 2 2ABCS ac B = =    = ……………………………………………………2 分 20．解： （Ⅰ） 2 1 1 22 2 2 0 12 (2 ) 2 xx x x xkk= + − −     − +原式 ……………………………………2 分 11[ ,2]22xt =令 ，则 2 21k t t − + ，…………………………………………………………2 分 令 2 max( ) 2 1, ( ) [0,1] ( ) ( )g t t t g t k g t k g t= − +    ， 有解， …………………………………2 分 1k……………………………………………………………………………………1 分 （Ⅱ） 12|2 1| 2 3 0| 2 1| | 2 1| x xx k k− + − + − =−− 原式可化为 …………………………………………2 分 令 | 2 1| ( 0)xtt= −  ， 122 3 0ktktt+ − + − =原式可化为 2 (3 2) 2 1 0t k t k − + + + = ……………………………3 分 若原方程有三个不同的实数解，等价于方程 2 (3 2) 2 1 0 0,1 1t k t k− + + + = + 的两根分别位于（ ）和（， ）之间 2( ) (3 2) 2 1g t t k t k= − + + +令 …………………………1 分 只需 1(0) 0 ,02(1) 0 0 g k kg k  −      ………………………………………………………2 分 21．解： （Ⅰ）法一（酌情给分），几何法 | ( ) | 1c a b− − − = 的几何意义如图 ||c 的最大值为| | 1 2 2 1OB + = + ………………7 分 法二，建系………………………………………………1 分 设 (2,0), (0,2), ( , )a OA b OB c OC x y= = = = = = , 22| | 1 ( 2) ( 2) 1c a b x y+ + =  + + + =则 ………………………………………………………3 分 22|c | (0,0) ( 2, 2)xy= + − −的最大值等价于 到 的距离加半径 max| | 2 2 1c =+所以 …………………………………………………………………………3 分 （Ⅱ）法一，坐标法： ,0), 0, ), ( , )a a b b c x y= = =设 （ （ ………………………………………1 分 高三数学参考答案 第 3 页 共 4 页 依题意得 22 22 22 ( ) 9 ( ) 1 15 x a y x y b xy − + =  + − =   +  ……………………………………………………………………3 分 221 1 ( ) 9 ( ) 5y b x a  − − + − −  ………………………………………… ………………2 分 225 ) ( ) 9x a y b  − + − （ 22| | ( ) ( ) [ 5,3]c a b x a y b− − = − + −  …………………2 分 法二，几何法（酌情给分） m c a b= − −设 如图 2 2 2221 3 , 1 5c m c+ = +  而 22 10 [5,9]mc= − 则 | | [ 5,3], | | [ 5,3]m c a b  − − 即 ………………………………8 分 22．解： （Ⅰ）解法一：由题知 0a ，且 1'( ) (1 ln )F x xa=+ ,……………………………………1 分 当 10 x e 时, '( ) 0Fx ；当 1x e 时, '( ) 0Fx , 从而 F(x) 的单调递增区间是 1( , )e + ,递减区间是 10( , )e .…………………………………1 分 （1）当 12 a e ,即 1 2a e , max( ) ( ) lnF x F a a==；…………………………………………………1 分 （2）当 1a e 时, max( ) (2 ) 2ln 2F x F a a==；…………………………………………………1 分 （3）当 11 2 aee时,  max( ) max (2 ), ( )F x F a F a= , (2 ) ( )F a F a−=又 2ln4 ln ln4a a a−= ； 若 11 4 a e时, (2 ) ( )F a F a , max()Fx = (2 ) 2ln 2F a a= ；………………………………2 分 若 11 24ae 时, (2 ) ( )F a F a , max( ) ( ) lnF x F a a==所以 ； 综 上 max 1ln 0 4() 12ln 2 4 aa Fx aa  =    . …………… ………………………………………1 分 解法二：由题知 0a ， 1'( ) (1 ln )F x xa=+ ,当 10 x e 时, '( ) 0Fx ； 当 1x e 时, '( ) 0Fx ,从而 ()Fx的单调递增区间是 1( , )e + ,递减区间是 10( , )e …2 分 从而，  max( ) max (2 ), ( )F x F a F a= ,……………………………………2 分 于是 2(2 ) ( ) ln 4 ln ln 4F a F a a a a− = − = ； 当 1 4a 时, (2 ) ( )F a F a ,所以 max( ) (2 ) 2ln 2F x F a a==；……………………………2 分 当 10 4a 时, (2 ) ( )F a F a ,所以 max( ) ( ) lnF x F a a==； 高三数学参考答案 第 4 页 共 4 页 综上所得 max 1ln 0 4() 12ln 2 4 aa Fx aa  =    ……………………………………………1 分 （Ⅱ）依题知 2G( ) ln ( 1)x a x x b x= + + + ，则 22G'( ) 2 ( 0)a x bx ax x b xxx ++= + + =  ， 因为 G( )x 存在极大值，则关于 x 的方程 220x bx a+ + = ，有两个不等的正根，不妨 12xx ， 则 12 2 axx = ，得 0a  ，且 10 2 ax ，……………………………………………………2 分 设 2( ) 2p x x bx a= + + 列设表如下: x 1(0, )x 1x 12( , )xx 2x 2( , )x + ()px + 0 — 0 + G'( )x + 0 — 0 + G( )x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 从而 2 1 1 1 1G( ) =G( ) ln ( 1)x x a x x b x= + + +极大 ，又 2 11(2 )bx x a= − + ， 从而 2 1 1 1G( ) =G( ) ln 0x x a x x a b= − − + 极大 ，对 10 2 ax 恒成立……………………2 分 设 2K( ) ln , (0, )2 ax a x x a b x= − − +  ，则 22K'( ) 0axx x −= 所以 K( )x 在 (0, )2 a 上递增，从而 3K( ) ( ) ln 02 2 2 a a ax K a b = − +  所以 3ln 22 aaba − + ， 55ln ln2 2 2 2 2 a a a a aa b a+  − + = − + …………………………2 分 设 ,( 0)2 att= 则 ( ) ln 5m t t t t= − + ，又 '( ) 4 lnm t t=− . 若 4(0, )te ， '( ) 0mt ；若 4( , )te + ， '( ) 0mt ； 从而 44( ) ( )m t m e e=，即 4a b e+ ………………………………………………2 分