福建省长汀、连城一中等六校2020届高三上学期期中考联考试题数学（理）（附答案）.docx

“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市/区）一 中联考 2019-2020 学年第一学期半期考 高三理科数学试题 （考试时间：120 分钟总分：150 分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.） 1.已知集合 ，集合 ，则 （） A. B. C. D. 2.已知命题 ，命题 若△ABC 中， ,则 ， 则下列命题正确的是（） A. B. C. D. 3.已知 ，则 （） A. B. C. D. 4.已知函数 ，若 ，则 的值为（） A． B． C． D． 5.在 中， 为 边上一点，且满足 ， 为 边中点，则 （） A. B. C. D. 6.设 为实数，函数 的导函数为 ，且 是偶函数，则 曲线 在点 处的切线方程为（） A． B． C． D．   ≥= − 2 12| 4xxA 2={ | 3 10 0}B x x x− − ≤ A B = ∅ ]3,2[− ）（ 5,3 ]5,3[ xxRxp 23,: >∈∀ :q 7,8,5 === cba 20−=⋅CABC qp ∧ qp ∧¬ )（ )( qp ¬∨ )() qp ¬∧¬（ 0cos2sin =− θθ =− θθ 2sinsin3 2 5 8 5 16 2 5 14 2 3log ( ), 0( ) 2 ( 1) , 0x x t xf x t x  + += AxAxf 12 π ( )g x ( )g x xxg 2sin2)( −= )12 72cos(2)( π−= xxg xxg 2sin2)( = )6 52cos(2)( π−= xxg 0)2()22(:,023: 22 ≤+++−≤+− mmxmxqxxp p¬ q¬ m ]1,0[ ）（ 1,0 ),1[]0 +∞∞− ，（ ），（），（ ∞+∞− 10  2 sin(4 )2 4 1 x x x y π⋅ + = − ( ) ( )f x x R∈ (1 ) (1 )f x f x− = − + 1 1y x = − ( )y f x= 1 1 2 2( , ),( , ), ,( , )m mx y x y x y⋅⋅⋅ 1 2 mx x x+ + + = 0 m 2m 4m ( )f x R ( )f x′ 0x ≠ ( )( ) 0f xf x x ′ + < sin (sin )6 6a f π π= ⋅ 2 ( 2)b f= − ⋅ − ln 2 (ln 2)c f= ⋅ , ,a b c b c a> > a c b> > c b a> > c a b> > ( ) (2ln 1)f x x x ax a= − − + 0a > 0x二、填空题：（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量 ，若 ，则实数 . 14. 中， ,则角 . 15. 设 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 在 上 为 增 函 数 ， 则 不 等 式 的解集为 . 16.已知函数 的图象关于直线 对称，且 ， 在区间 上单调，则 的值为. 三、解答题：（本小题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题共 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）求函数 的单调递增区间； （Ⅱ）若 ，求 的值域. 18. （本小题共 12 分） 一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为 1 万元，每生产 1 万件需要再投入 2 万 元，假设该企业每个月可生产该小型产品 万件并全部销售完，每万件的销售收入为 万元，且每生产 1 万件政府给予补助 万元． （Ⅰ）求该企业的月利润 （万元）关于月产量 （万件）的函数解析式； （Ⅱ）若月产量 万件时，求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元） 及此时的月生产量值（万件）． （注：月利润＝月销售收入 月政府补助 月总成本） 19. （本小题共 12 分） ),1(),1,3( mba =−=  bba  ⊥+ )( ( )f x )0)(sin(2)( >+= ωϕωxxf 2 π=x 18 3 =     π f )(xf     −− 4,8 3 ππ ω ,6 3x π π ∈ −   x 6ln 1(6 )x x x − − ( )L x x [1,6]x∈ + − =m ABC∆ 3,260 ==°= ABACC ， =A [ 3 ,2 ]b b− − [ 3 ,0]b− − )3()1( fxf ≤− 2cossin32)2(sin2)( 2 −+−= xxxxf π )(xf )(xf )4( x−在 中，角 所对的边分别为 若 ， 且 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 面积的最大值． 20. （本小题共 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）若关于 的不等式 的解集为 ，求函数 的最小 值； （Ⅱ）是否存在实数 ，使得对任意 ，存在 ，不等式 成 立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由. 21. （本小题共 12 分） 已知函数 ， 为自然对数的底数． （Ⅰ）求证：当 时， ； （Ⅱ）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围． ABC∆ )35)((cos6 222 bcacbBabc −−+= Bb sin5= a ABC∆ x 0)( ( )1 2 ln 11 f x x xx − > − −− ( )21( ) ( ) 12g x f x a x= − + a CBA ,, ,,, cba 6)(),1(log)( 22 2 1 +−=+= axxxgxxf a ]4,2[1 −∈x ),1[2 +∞∈x )()( 21 xfxg ≤（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题共 10 分） 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ，过点 的直线 l 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 与曲线 C 分别交于 两点． （Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （Ⅱ）当 时，求 的值． 23.选修 4-5：不等式选讲（本小题共 10 分） 已知函数 ． （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）当不等式 的解集为 时，求实数 的取值范围． 2: sin 2 cos ( 0)C a aρ θ θ= > ( 2, 4)P − − 22 2 24 2 x t y t  = − +  = − + ( ) 1f x x x m= + + + 1m = − ( ) 2f x x> ( ) 1f x > R m t BA, 1=a || 1 || 1 PBPA +参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A C B C C A D B B D 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17. 解（1） …………………（3 分） 函数 的单调递增区间为 …………………（6 分） （2） …………………（9 分） 当 时， 当 时， …………………（11 分） 所以 的值域为 …………………（12 分） 18.解：（1）依题意得 （定义域未标注的扣一分）………………… （6 分） （2）当 时， ∵ …………………（9 分） ∴当 时， ，当 时， 12或− °75 ]7,4[]2,5[ ∪−− 62或 1)62sin(212sin32cos12sin3)1cos2()( 2 −+=−+=−+−= π xxxxxxf zkkxk zkkxk ∈+≤≤+−∴ ∈+≤+≤+− ,63 226222 ππππ πππππ ，令 ∴ )(xf )](6,3[ zkkk ∈++− ππππ    −∈+∴   −∈ 6 5,662,3,6 πππππ xx ]1,2 1[)62sin( −∈+∴ π x 1)62sin( =+ π x 1)( max =xf 2 1)62sin( −=+ π x 2)( min −=xf )(xf ]1,2[− 26ln 1( ) (4 ) (6 ) 2 1 8 6ln 2xL x x x x x x x xx x = − + − − − − = − + − − ( 0)x > 1 6x≤ ≤ 26 2 8 6 2( 1)( 3)( ) 2 8 x x x xL x x x x x − + − − −′ = − + − = = − 1 3x< < ( ) 0L x′ > 3 6x< < ( ) 0L x′ C ,5 3cos =∴ A 5 4sin =∴ A 4sin5,sinsin =∴== aBbB b A a 又 ,5 3cos,4 == Aa 5 4sin =A bc acbA 2cos 222 −+= bc cb 2 16 5 3 22 −+=∴ 165 622 +=+ bccb bccb 222 ≥+ bcbc 2165 6 ≥+∴ b c= 20≤∴bc b c= 85 4202 1sin2 1 =××≤=∴ ∆ AbcS ABC 8 062 =+− axx 2 3 5a = + =∴ …………………（3 分） 又∵ ，∴ 当且仅当 时等号成立，…………………（5 分） 所以 的最小值为 .…………………（6 分） （2）假设存在实数 ，使得对任意 ，存在 ，不等式 成 立 …………………（7 分） ∵ 时， …………………（8 分） ∴ 在 成立…………………（9 分） 记 ， ，其对称轴为 ， ①当 ，即 时， 由 ，∴ …………………（10 分） ②当 ，即 时， 由 ，∴ …………………（11 分） 综上所述，不存在实数 ，使得对任意 ，存在 ，不等式 成立. …………………（12 分） 21.（1）设 ………………（1 分） ∴ ， ( ) ( )2 5 6 21 31 1 1 g x x x xx x x − += = − + −− − − 1x > ( ) 21 3 2 2 31x x − + − ≥ −− 2 1x = + ( ) 1 g x x − 2 2 3− a ]4,2[1 −∈x ),1[2 +∞∈x )()( 21 xfxg ≤ maxmax )()( xfxg ≤∴ 1x ≥ ( ) ( )2 1 2 log 1 1f x x= + ≤ − 1)( max −=∴ xf 2 6 1x ax− + ≤ − [ ]2,4x∈ − ( ) 2 7F x x ax= − + ( 2 4)x− ≤ ≤ 2 ax = 2 4 12 2 a − +≤ = 2≤a ( ) ( )max 4 23 4F x F a= = − 2323 4 0 4a a− ≤ ⇒ ≥ ∅∈a 2 4 12 2 a − +> = 2>a ( ) ( )max 112 2F x F a−= = + 1111 2 0 2a a+ ≤ ⇒ ≤ − ∅∈a a ]4,2[1 −∈x ),1[2 +∞∈x )()( 21 xfxg ≤ 1( 1)( ) ln 2 1 ln 2 11 xf xh x x x e x xx −−= + − + = + − +− ( 1)x > 1 1( ) 2xh x e x −′ = + −∴ …………………（2 分） ∵ ∴ ， ∴ ∴ 在 上单调递增，…………………（3 分） 又 ∴ 时， ∴ 在 上单调递增，…………………（4 分） 又 ∴ 时， 故当 时， ；…………………（5 分） （2）∵ ∴ ， ①当 时，易知函数 只有一个零点，不符合题意；…………………（6 分） ②当 时，在 上， ， 单调递减；在 上， ， 单调递增；又 ，且 ， 不妨取 且 时， 【或者考虑：当 → ， → 】…………………（8 分） 所以函数 有两个零点． ③当 时，由 得 或 （i）当 即 时，在 上， 成立，故 在 上单调 递增， 所以函数 至多有一 个零点，不符合题意．…………………（9 分） （ii）当 即 时，在 和 上， ， 单调递增； 在 上 ， 单调递减； 又 ，且 ， 所以函数 至多有一 个零点，不符合题意．…………………（10 分） （iii）当 即 时，在 和 上 ， 单调递增；在 上 ， 单调递减；又 ，所以函数 至多有一个零 1 2 1( ) xh x e x −′′ = − 1x > 1 1xe − > 2 10 1x < < 1 2 1( ) 0xh x e x −′′ = − > ( )h x′ (1, )+∞ (1) 0h′ = 1x > ( ) (1) 0h x h′ ′> = 1( ) ln 2 1xh x e x x−= + − + (1, )+∞ (1) 0h = 1x > ( ) (1) 0h x h> = 1x > ( )1 2 ln 11 f x x xx − > − −− ( )21( ) 12 xg x xe a x= − + ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1x xg x x e a x x e a′ = + − + = + − 0a = ( )g x 0a < ( ), 1−∞ − ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,− +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) 11 0g e − = − < ( )1 2 0g e a= − > 4b < − ln( )b a< − ln( ) 2 21 1 1( ) ( 1) ( 2 ) 02 2 2 ag b be a b a b b−> − + = − + + > x −∞ ( )g x +∞ ( )g x 0a > ( ) ( )( )1 0xg x x e a′ = + − = 1x = − lnx a= ln 1a = − 1a e = ( ),−∞ +∞ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( ),−∞ +∞ ( )g x ln 1a < − 10 a e < < ( ),lna−∞ ( )1,− +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )ln , 1a − ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) 11 0g e − = − < ( ) ( ) ( )2 21 1ln ln ln 1 ln 1 02 2g a a a a a a a= − + = − + < ( )g x ln 1a > − 1a e > ( ), 1−∞ − ( )ln ,a +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,lna− ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) 11 0g e − = − < ( )g x点，不符合题意．…………………（11 分） 综上所述：实数 的取值范围是 ．…………………（12 分） 22. （1）由 得： ∴曲线 C 的直角坐标方程为： (a> 0) 由 消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 …………………（5 分） (2) 解：当 时，曲线 C 的直角坐标方程为： 将直线 l 的参数方程 ，代入 得： …………………（7 分） 设 两点对应的参数分别为 t1、t2， 则有 …………………（8 分） ∴ , …………………（10 分） 23.(1)当 时， 当 时， ，即 ， …………………（1 分） 当 时， ，即 …………………（2 分） 当 时， ，无解…………………（3 分） a ( ,0)−∞ 2sin 2 cos ( 0)a aρ θ θ= > ( )2sin 2 cosaρ θ ρ θ= 2 2y ax= 22 2 24 2 x t y t  = − +  = − + 2y x= − 1=a 2 2y x= 22 2 24 2 x t y t  = − +  = − + xy 22 = 2 10 2 40 0t t− + = BA, 1 2 1 210 2 40t t t t+ = =， 210|||||||||| 2121 =+=+=+ ttttPBPA 40|||||| 21 =⋅=⋅ ttPBPA 4 2 40 210 |||| |||| || 1 || 1 ==⋅ +=+∴ PBPA PBPA PBPA 1m = − ( ) 2 , 1 2, 1 1 2 , 1 x x f x x x x − < − = − ≤ ≤  > 1x < − 2 2x x− > 0x < 1− 1x < 11 x 2 2x x>综上， 的解集为 …………………（5 分） (2) …………………（7 分） 当 ，即 时, 时等号成立； 当 ，即 时, 时等号成立 所以 的最小值为 …………………（8 分） 即 或 …………………（10 分） ( ) 2f x x> ( ),1−∞ ( ) 1 | ( 1) ( ) | 1f x x x m x x m m= + + + ≥ + − + = − 1m− ≤ − 1m ≥ 1m x− ≤ ≤ − 1m− > − 1 0m∴ < 2m >