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衡阳市八中 2020 届高三月考试题（四）
数学（理科）
命题人：王美蓉 审题人：刘亮生 赵永益
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设曲线 在 处的切线方程为 ，则 a＝( )
A．0 B．1C．2 D．3
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别是 和 ，则四边
形 的面积为( )
A. B. C. D.
5．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数 ，则函数 的大致图像为（ ）
A B C D
7．函数 的最小正周期是 ，则其图象向左平移 个单位长度后得到的函数
的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2{ | 4 3 0}A x x x= − + < { | 2 3 0}B x x= − > A B∪ =
3(1, )2 (1, )+∞ (1,3) 3( ,3)2
ln( 1)axy e x= − + 0x = 2 1 0x y− + =
( )5( 1) 1 2x x+ + 4x
100 120 140 160
2 2: 4 2 4 0M x y x y+ − + − = (0,0)O AC BD
ABCD
6 8 10 12
5log 2a = 0.5log 0.2b = 0.20.5c = , ,a b c
a c b< < a b c< < b c a< < c a b< <
5cos sin( ) x
x x xf x
e
−= ( )f x
( ) 4sin ( 0)3f x x
πω ω = + > 3π
6
π
4x
π=
3x
π= 5
6x
π= 19
12x
π=试卷第 2 页，总 10 页
8．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=10 斤,1 斤=10 两),令甲、
乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他
们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.”若银的数量不变,按此法将银依次分给 5 个人,则得银最少的 3
个人一共得银( )
A. 两 B. 两 C. 两D. 两
9 ． 如 图 ， 平 面 四 边 形 中 ， ， ，
，将其沿对角线 BD 折成四面体 ，使平面 ⊥平面
，若四面体 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为
( )
A．3π B． C．4π D．
10.已知 为平面直角坐标系的原点， 为双曲线 的右焦点， 为 的中点，
过双曲线左顶点 作两渐近线的平行线分别与 轴交于 两点， 为双曲线的右顶点，若四边形
的内切圆经过点 ，则双曲线的离心率为( )
A． B. C. D.
11.对于定义域为 的函数 ，若满足① ；② 当 ，且 时，都有 ；
③ 当 ，且 时，都有 ，则称 为“偏对称函数”．现给出四个
函数： ； ；
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
12．已知函数 ， ，其中 ．若 的图象在点
处的切线与 的图象在点 处的切线重合，则 a 的取值范围为（）
A． B．
266
127
889
127
840
31
1111
31
ABCD 1AB AD CD= = = 2BD =
BD CD⊥ 'A BCD− 'A BD
BCD 'A BCD−
3
2
π 3
4
π
O 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > E 2OF
A y ,C D B
ACBD E
2 2 3 2 3
3
R ( )f x ( )0 0f = Rx∈ 0x ≠ ( ) 0xf x′ >
1 20x x< < 1 2x x= ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x
( ) 3 2
1
3
2f x x x= − + ( )2 1xf x e x= − − ( )3
ln( 1), 0,
2 , 0.
x xf x x x
− + ≤= >
( )4
1 1 , 0,2 1 2
0, 0.
xx xf x
x
+ ≠ = −
=
21 1( ) ( 0)4 2f x x x a x= + + < ( ) ln ( 0)g x x x= > Ra ∈ ( )f x
( )( )1 1,A x f x g x（ ） ( )( )2 2,B x f x
3 ,4
− +∞ ( 1 ln 2, )− − +∞试卷第 3 页，总 10 页
C． D．
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)
13． 的值是__________；
14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在
的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布
直方图如图所示，则速度在 以下的汽车有________辆；
15．在平行六面体 中， ， ，
则 与 所成角为_________；（用弧度表示）
16．如图，过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦 、 ，若 与 面积
之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________.
三、解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)
箱中装有4个白球和 个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个
球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量 为取出的3个球所得分数之和.
（1）若 ，求 的值；
（2）当 时，求随机变量 的分布列与数学期望.
18．(本小题满分 12 分)
已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
( 1 ln 2, )− + +∞ (ln 2 ln3, )− +∞
( ) ( )2020 20201 1i i+ − −
50 90km/h−
70km / h
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 60 , 90A AB A AD DAB∠ = ∠ = ° ∠ = ° 1A A AB AD= =
1 1E F A D DC、 分别是棱 和 的中点 EF AC
2 2y px= ( 0)p > F AB CD ACF BDF△
( )*m m N∈
X
1( 6) 5P X = = m
4m = X
π( ) 3 cos(2 ) 2sin cos3f x x x x= − −
( )f x试卷第 4 页，总 10 页
(2)在 中， 且 ，求 面积的最大值．
19．(本小题满分 12 分)
如图，在三棱锥 中， ， ，
， ， 分别是 ， 的中点， 在 上且 .
（I）求证： ；
（II）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存
在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
20．(本小题满分 12 分)
已知椭圆 过点 ，离心率为 ， 为坐标原点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆 上的三点， 与 交于点 ，且 ，当 的中点恰为点 时，
判断 的面积是否为常数，并说明理由．
21．(本小题满分 12 分)
设数列 , ，已知 ， ，
（1)求数列 的通项公式；
（2)设 为数列 的前 项和,对任意 ,若 恒成立，求实数 的取值范围．
22．(本小题满分 12 分)
设 ， ，其中 ．
Ⅰ 求 的极大值；
Ⅱ 设 ， ，若 对任意的 ， 恒成立，
求 的最大值；
ABC 3AC = 02
Bf − = ABC
S ABC− SA ABC⊥ 底面 =2AC AB SA= =
AC AB⊥ D E AC BC F SE 2SF FE=
AF SBC⊥ 平面
DE G G AF E− − o30
DG
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > (2,0)A 2
2 O
C
, ,P Q R C OQ PR M 3OQ OM= PR M
OPR△
{ }na { }nb 1 1 1
44, 6, 2
n
n
ba b a +
+= = = 1
4
2
n
n
ab +
+= ( )n N ∗∈
{ }n nb a−
nS { }nb n Nn ∗∈ [ ]( 4 ) 1,3np S n⋅ − ∈ p
( ) lnf x a x bx b= + − ( ) x
exg x e
= ,a b R∈
( ) ( )g x
( ) 1b = 0a > ( ) ( ) ( ) ( )2 1
2 1
1 1f x f x g x g x
− < − 1x [ ]( )2 1 23,4x x x∈ ≠
a试卷第 5 页，总 10 页
Ⅲ 设 ，若对任意给定的 ，在区间 上总存在s， ，使
成立，求b的取值范围．
衡阳市八中 2020 届高三月考试题（四）
数学（理科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D D A B D C A B C C
二、填空题
13．0; 14．300; 15． ;16． .
三、解答题
17．【答案】（1）由题意得：取出的 个球都是白球时，随机变量
，即： ，解得：
（2）由题意得： 所有可能的取值为： 则 ； ；
； .
的分布列为：
【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服
从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解.
18．【答案】(1)解：
( ) 2a = − ( ]0 0,x e∈ ( ]0,e ( )t s t≠ ( ) ( ) ( )0f s f t g x= =
2
π 2 8y x=
3 6X =
( ) 3
4
3
4
16 5mC
CP X
+
∴ = = = 3
4 20mC + = 2m =
X 3,4,5,6 ( ) 3
4
3
8
13 14
CP X C
= = = ( ) 2 1
4 4
3
8
34 7
CP C
CX = = =
( ) 1 2
4 4
3
8
35 7
CP C
CX = = = ( ) 3
4
3
8
16 14C
CP X = = =
X∴
X 3 4 5 6
P 1
14
3
7
3
7
1
14
1 3 3 1 63( ) 3 4 5 614 7 7 14 14E X = × + × + × + × =
π( ) 3 cos(2 ) 2sin cos3f x x x x= − −试卷第 6 页，总 10 页
＝ .
（2） 由题可得，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．在 中，由余弦定理可得 ，即
．所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 面积的最大值为 ．
19．【答案】I.以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB.AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz.则 A（0，0，
0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）
由 SF=2FE 得 F( , , )
平面
平面
SBC
Ⅱ.假设满足条件的点 G 存在，并设 DG= .则 G（1，t，0）.所以
设平面 AFG 的法向量为 ，则
取 ，得 即 .
（法一）设平面 AFE 的法向量为 则
3 3cos2 sin 2 sin 22 2x x x+ − 1 3sin 2 cos2 sin(2 )2 2 3x x x
π= + = +
- +2 2 +2k ,2 3 2k x k Z
π π ππ π≤ + ≤ ∈由 ， 5- + +k ,12 12k x k Z
π ππ π≤ ≤ ∈得
5( ) [- + , +k ],12 12f x k k Z
π ππ π ∈所以 的单调递增区间为：
π( ) sin(2 )3f x x+= 02
Bf − = sin 03B
π − + =
0 B π< <
3B
π= ABC 2 2 2 219 2 2a c ac a c ac ac= + − ⋅ = + − ≥
9ac ≤ 1 1 3 9 3sin 92 2 2 4ABCS ac B= ≤ × × =
3a c= =
ABC
9 3
4
2
3
2
3
2
3
( )2 2 2, , , 2, 2,03 3 3AF BC ∴ = = −
( )2,0, 2SC = −
0, 0AF BC AF SC⋅ = ⋅ =
,AF BC AF SC∴ ⊥ ⊥ AF∴ ⊥
t
1,1 0 1 0AE AG t= = （ ，）， （， ，）
( )2 2 2 2, ,n x y z=
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2, , , , 03 3 3 3 3 3
, , 1, ,0 0
n AF x y z x y z
n AG x y z t x ty
⋅ = ⋅ = + + =
⋅ = ⋅ = + =
2 1y = 2 2, 1x t z t= − = − ( )2 ,1, 1n t t = − −
( )3 3 3 3, ,n x y z=试卷第 7 页，总 10 页
取 ，得 ，即
（法二） .
所以平面 AFE 的法向量为： ；由得二面角 G-AF-E 的大小为 得
，化简得 ，
又 ，求得 ，于是满足条件的点 G 存在，且
20．【答案】（1）由已知易得 ，
∴ ，故椭圆 的标准方程为： .
（2）①若点 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则 ，∵ ， 在线段 上，∴
，此时 轴，求得 ，∴ 的面积等于 .
②若点 不是椭圆的左、右顶点，则设直线 的方程为： ， ， ，
由 得 ，则 ， ， ∴ 的
中点 的坐标为 ，∴点 的坐标为 ，将其代入椭圆方程，化简
得 ．∴ ．
( )
( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2, , , , 03 3 3 3 3 3
, , 1,1,0 0
n AF x y z x y z
n AE x y z x y
⋅ = ⋅ = + + =
⋅ = ⋅ = + =
3 1y = 3 31, 0x z= − = ( )3 1,1,0n = −
,AF SBC BC SBC AF BC⊥ ⊂ ∴ ⊥ 平面 平面
, , ,AB AC E BC AE BC AE AF A AE AF AEF BC AEF= ∴ ⊥ ∩ = ⊂ ∴ ⊥又 为 中点， 、 平面 平面
= -BC （1, 1, 0） 30
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 2
2 3
1 1 1 1 0 3cos30 22 1 1
n n t t
n n t t
⋅ − × − + × + − ×
= = =
⋅ × − + + −
22 5 2 0t t− + =
0 1t≤ ≤ 1
2t = 1
2DG =
2
4 1 2
,
2 2
2
aa
c c
a
= = = =
解得
2 2 2 2b a c= − = C
2 2
2 14
x y+ =
Q ( )2,0Q 3OQ OM= M OQ 2 ,03M
PR x⊥ 8
3PR = OPR
1 8 2 8
2 3 3 9
× × =
Q PR ( )0y kx m m= + ≠ ( )1 1,P x y ( )2 2,R x y
2 22 4x y
y kx m
+ =
= +
( )2 2 22 1 4 2 4 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2
4
2 1
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
2 4
2 1
mx x k
−= + PR
M 2 2
2 ,2 1 2 1
km m
k k
− + +
Q
2 2
6 3,2 1 2 1
km m
k k
− + +
2 292 1 2k m+ = ( )22
1 2 1 21 4PR k x x x x= + + −
2 2 2 2
2
2 2 1 2 1 16 1
2 1 9
k k m k
k m
+ + − += =+试卷第 8 页，总 10 页
点 到直线 的距离 ，∴ 的面积 ． 综
上可知， 的面积为常数 ．
21．【答案】(1) ，又 ，
是以 2 为首项， 为公比的等比数列， ；
（2） ，
又 , ，两式相加即得： ，
,
( )当 n 为奇数时
( )当 n 为偶数时， ，
综上，所以实数 p 的取值范围为 ．
O PR
21
md
k
=
+ OPR
2
2
1 1 16 1 8
2 2 9 91OPR
mkS PR d m k
+= ⋅ = ⋅ ⋅ =
+
OPR
8
9
1 1
4 4 1 ( )2 2 2 2
n n n n
n n n n
a b a bb a b a+ +
+ + −− = − = = − − 1 1 2b a− =
{ }n nb a∴ − 1
2
−
112 2
n
n nb a
− ∴ − = ⋅ −
1 1
4 4 42 2 2
n n n n
n n
a b a bb a+ +
+ + ++ = + = + 1 1
18 ( 8)2n n n na b a b+ +∴ + − = + −
1
1 1
18 2, 8 2 ( )2
n
n na b a b −+ − = ∴ + − = ×
112 2
n
n nb a
− − = ⋅ −
1 11 14 ( ) ( )2 2
n n
nb − −= + − +
1 11 1 1 2 12 24 4 2 1 11 1 2 3 21 12 2
n n
n n
nS n n
− − − ∴ = + + = + − + − − − − −
8 4 14 3 3 2
8 14 13
,
2
n
n n
n
S
n
n
n
+ − × ∴ + −
=
为奇数
为偶数，
( ) [ ]4 1,3np S n− ∈ 4 0nS n− >
o
1 ( ) [ ]8 4 1 1 34 = 1,33 3 2 8 4 1 8 4 1
3 3 2 3 3 2
n
n n np S n p p
− − × ∈ ∴ ≤ ≤ − × − ×
1 3 1 9
28 4 1 8 4 1
3 3 2 3 3 2
8n np p∴ ≤ ≤ ⇔ ≤ <
− × − ×
此时
o
2 ( ) [ ]8 1 1 34 = 1 1,33 2 8 1 8 11 13 2 3 2
n
n n n
p S n p p
− × − ∈ ∴ ≤ ≤ − −
1 3 1 9
28 1 8 11 13 2
8
2 3
n np p∴ ≤ ≤ ⇔ ≤ [ ]3,4
( )f x [ ]3,4 ( ) ( )
1 xeh x g x ex
= = ( ) ( )
2
1' 0
xe xh x ex
−= > [ ]3,4 ( )h x [ ]3,4
1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1f x f x h x h x− < − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1f x h x f x h x− < −
( ) ( ) ( )F x f x h x= − ( )F x [ ]3,4 ( ) ln 1
xeF x a x x ex
= + − − ( ) ( )
2
1' 1 0
xe xaF x x ex
−= + − ≤
[ ]3,4 ( )h x [ ]3,4
( )11 xe xa xe x
−≤ ⋅ − ( ) ( )11 xe xG x xe x
−= ⋅ − 3 4x≤ ≤
( ) ( )2
1
2 2
11 1 1' 1 1 1
x
xe x x
G x ee x x x
−
⋅ − + = ⋅ − = − + −
1 2 21 1 3 3[ ) 1 1 02 4 4
xe ex
− = − + − > − >
( )G x
[ ]3,4 22 33a e≤ − 22 33maxa e= −
( ( ) ( )1 1 1) ' 1x x xg x e xe x e− − −= − = − ( )0,1x∈ ( )' 0g x > ( )g x ( ]1,x e∈
( )' 0g x < ( )g x ( )0 0g = ( )1 1g = ( ) 2 0eg e e −= > ( )g x ( ]0,e
( ]0,1 ( )f x ( ]0,1 ( ]0,e 1t ( )2 1 2t t t≠
2a = − ( ) ( )1 2lnf x b x x= − − ( ) 2 2' bxf x b x x
−= − =
0b = ( ) 2' 0f x x
= − < ( )f x 0b ≠
2x b
= ( )' 0f x =
( )f x ( ]0,e 20 eb
< < 20,x b
∈
2 ,b
+∞
( ]0,x e∈
2 2( ) 2 2lnminf x f ab b
= = − − 试卷第 10 页，总 10 页
由题意，只需满足以下三个条件： ，
， 使 ．
，所以 成立 由 ，所以 满足，
所以当b满足 即 时，符合题意，故b的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构
造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．
2 2( ) 2 2ln 0minf x f bb b
= = − −
( )2 1 0f fb
≤ = ① . ( ) ( )1 2lnf x b x x= − − → +∞② ③
20
3
1
eb
b e
<
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