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山东师大附中 2017 级第 3 次月考考试
数学试题
2019.11
本试卷共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟.
一、单项选择题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知命题 ，则命题 （ ）
A． B．
C． D．
3. 要得到函数 的图象，只需要把函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
4. 已知数列 满足 且 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 是增函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6. 函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
7. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2{ 2 3 0}A x x x= − − < { 2 2}B x x= − < < A B =I
( 2,2)− ( 2,1)− ( 1,3)− ( 1,2)−
: R, 1 0xp x e x∃ ∈ − − ≤ p¬
R, 1 0xx e x∀ ∈ − − > R, 1 0xx e x∀ ∉ − − >
R, 1 0xx e x∀ ∈ − − ≥ R, 1 0xx e x∃ ∈ − − >
sin(2 )3y x
π= + sin 2y x=
3
π
3
π
6
π
6
π
{ }na 1 2n na a+ = + 2 4 6 9a a a+ + = 3 5 7 9log ( )a a a+ + =
3− 3 1
3
− 1
3
( ) log ( 0, 1)af x x a a= > ≠
10 2a< < 0 1a< < 1a > 2 4a< <
3 1( ) ( )2
xf x x= −
( 1,0)− 1(0, )2
1( ,1)2
(1,2)
( )0, 0,lg lg lg 2a b a b a b> > + = + 2a b+
9 8 7 6（数学试题 第 2 页，共 4 页）
8. 已知 在区间 上有极值点，实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某
同学在“泉标”的正西方向的点 处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点 向北偏东
前进 到达点 ，在点 处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有
成立，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求的.全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
11. 下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
12. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边经过点 ，则下列各
式一定为正的是（ ）
A. B. C. D.
13. 已知函数 ， 是函数 的极值点，以下几个结论中正确的是
（ ）
A. B. C. D.
( ) 21 ln2f x x a x= − ( )0,2 a
( )0,2 ( ) ( )2,0 0,2− ( )0,4 ( ) ( )4,0 0,4−
A 45o A 30o
100m B B 30o
50m 100m 120m 150m
( )f x ( , )2 2
π π− '( )f x 0 2x
π< <
'( )cos ( )sin 0f x x f x x+ < x ( ) 2 ( ) cos4f x f x
π< ⋅
,4 2
π π
, ,2 4 4 2
π π π π − −
,0 0,4 4
π π − ,0 ,4 4 2
π π π −
(0, )+∞
3y x= 2y x−= xy e= 2lgy x=
xOy α Ox (1, )( 0)P m m <
sin cosα α+ cos sinα α− sin cosα α sin
tan
α
α
2( ) lnf x x x x= + 0x ( )f x
0
10 x e
< < 0
1x e
> 0 0( ) 2 0f x x+ < 0 0( ) 2 0f x x+ >（数学试题 第 3 页，共 4 页）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在对应题号的横线上.
14. 已知 ，则 的值为 .
15. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，有
恒成立，若 ，则 的取值范围是 .
16. 设等差数列 前 项和为 .若 ， ，则 ， 的最大
值为 .
17. 已知函数 ，若方程 有三个不同的实根，则实
数 的取值范围是 .
四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （本小题满分 10 分） 设等差数列 前 项和为 ，满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的通项公式 .
19. （本小题满分 14 分） 的内角 的对边分别为 ，且满足
.
（1）求 的值； （2）若 ， ，求 的面积．
20. （本小题满分 14 分）设函数 .
（1）设方程 在 内有两个零点 ，求 的值；
（2）若把函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 2 个单位，得函数
1tan 3
α =
2sin 2 sin
1 cos2
α α
α
−
+
( )f x R 1 2x x≠ 1 2 1 2[ ( ) ( )]( ) 0f x f x x x− − <
(3 1) (2) 0f x f+ + > x
{ }na n nS 2 10a = 5 40S = 5a = nS
2 (0 1)
( ) 2 ( 1)
x x
f x
xx
< ≤= >
( )f x x a= − +
a
{ }na n nS 4 24S S= 9 17a =
{ }na
{ }nb 1 2
1 2
11 2
n
n
n
bb b
a a a
+ + + = −… { }nb
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
cos cos 2c A a C a+ =
a
b 1a = 7c = ABC∆
5( ) 2cos( )cos 2sin( )cos 12 2f x x x x x
π π= + + + +
01)( =−xf ),0( π 21 xx ， 21 xx +
)(xfy =
6
π
)(xg（数学试题 第 4 页，共 4 页）
图象，求函数 在 上的最值.
21. （本小题满分 14 分）设函数 .
（1）当 ， 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 在 处的切线为 ，且方程 恰有两解，求实数
的取值范围.
22. （本小题满分 15 分） 已知某工厂每天的固定成本是 万元，每生产一件产品成本增加
元 ， 工 厂 每 件 产 品 的 出 厂 价 定 为 元 时 ， 生 产 件 产 品 的 销 售 收 入 为
（元）， 为每天生产 件产品的平均利润（平均利润=总利润/总
产量）. 销售商从工厂每件 元进货后又以每件 元销售， ，其中 为最
高限价（ ）， 为该产品畅销系数.据市场调查， 由当 是 的比例
中项时来确定.
（1）每天生产量 为多少时，平均利润 取得最大值？并求出 的最大值；
（2）求畅销系数 的值；
（3）若 ，当厂家平均利润最大时，求 与 的值.
23. （本小题满分 15 分）已知函数 .
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求 的取值范围；
（3）已知 ，证明 .
参考答案（2019.11）
一. 单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B D C A C A B
( )f x
)(xg [ , ]3 3
π π−
( ) sinxf x e a x b= + +
1a = [0, )x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ b
( )f x 0x = 1 0x y− − = 2( ) m xf x x
−= m
4
100 a x
21( ) 5004R x x x= − + ( )P x x
a b ( )b a c aλ= + − c
a b c< < λ λ b a− ,c b c a− −
x ( )P x ( )P x
λ
600c = a b
( ) lnf x x ax= −
1a =
( ) 0f x ≤ a
0 a b e< < < b aa b '( ) cos 0xf x e x= + > [0, )x∈ +∞
( )f x [0, )+∞ ( ) (0) 1f x f b≥ = +
( ) 0f x ≥ 1 0b+ ≥ 1b ≥ −
'(0) 1 1f a= + = 0a =
(0,1 )b+ 1 0x y− − = 0 (1 ) 1 0b− + − = 2b = −
( ) 2xf x e= −
2( ) m xf x x
−= ( 2) 2xe x m x− = − xxe m=
( ) xg x xe= '( ) ( 1)xg x e x= +（数学试题 第 7 页，共 4 页）
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以 .
当 时， ，且当 时， ，而 ，
故实数 的取值范围是 ．
22. 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ， 总 利 润 为
.
于是
当且仅当 即 时等号成立．
故每天生产量为 件时平均利润最大，最大值为 元．
（2）由 可得 ，
由 是 的比例中项可知 ，
即
化简得 ，解得 ．
（3）厂家平均利润最大，生产量为 件．
．
（或者 ）
代入 可得 ．
于是 ， ．
( , 1)x∈ −∞ − '( ) 0g x < ( )g x ( , 1)−∞ −
( 1, )x∈ − +∞ '( ) 0g x > ( )g x ( 1, )− +∞
1( ) ( 1)g x g e
≥ − = −
0x < ( ) 0g x < x → −∞ ( ) 0g x → (1) 0g e= >
m 1 0me
− < <
2 21 1500 100 40000 400 400004 4x x x x x− + − − = − + −
21 400 40000 1 400004( ) 4004
x x
P x xx x
− + −
= = − − +
1 400002 400 200 400 2004 x x
≤ − ⋅ + = − + =
1 40000
4 x x
= 400x =
400 200
( )b a c aλ= + − b a
c a
λ −= −
b a− ,c b c a− − 2( ) ( )( )b a c b c a− = − −
2
( )( )1 ( 1)( )
c b c a c a a b c a c a c a
b a b a b a b a b a
− − − + − − − −= = ⋅ = − ⋅− − − − −
1 11 ( 1)λ λ= − ⋅ 5 1
2
λ −=
400x =
( ) 1 1500 400 500 4004 4
R xa xx
= = − + = − × + =
40000 40000100 ( ) 100 200 400400a P xx
= + + = + + =
( )b a c aλ= + − 100( 5 3)b = +
400a = 100( 5 3)b = +（数学试题 第 8 页，共 4 页）
23. 由题意可知，函数 的定义域为： 且
（1）当 时， ，
若 ，则 ； 若 ，则
所以函数 在区间 单调递增， 单调递减．
（2）若 恒成立，则 恒成立．
又因为 所以分离变量得 恒成立．
设 ，则 ，所以 ．
当 时， ；当 时， ，即函数 在 上
单调递增，在 上单调递减．
当 时，函数 取最大值， ，所以
（3）欲证 ，两边取对数，可得 ，由
（2）可知 在 上单调递增，且 所以 ，命题得证．
( ) lnf x x ax= − ( )0 +∞， 1( )f x ax
′ = −
=1a 1 1( ) 1= xf x x x
−′ = −
( ) 0f x′ > 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x >
( )f x ( )0 1， ( )1 +∞，
( ) 0f x ≤ ln 0x ax− ≤
( )0 +x∈ ∞， ln xa x
≥
ln( ) xg x x
= max( )a g x≥
2
1 ln( ) xg x x
−′ =
( ) 0g x′ ≤ ( )+x e∈ ∞， ( ) 0g x′ ≥ (0, )x e∈ ln( ) xg x x
= (0, )e
( )+e ∞，
=x e ln( ) xg x x
= max
1( ) = ( )g x g e e
= 1a e
≥
ln( ) xg x x
=
b aa b< ln lnln ln ln lnb a a ba b b a a b a b
< ⇔ < ⇔ <
(0, )e 0 a b e< < < ( ) ( )g a g b
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