四川省射洪中学2019届高三高考适应性考试（二）数学（理）（附答案）.doc

高考适应性考试（二） 数学（理科）试题 第 I 卷（共 60 分） 一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置） 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.若复数 满足 ，则 的虚部为 A. 5 B. C. D. -5 3.若 ，则 的值为 A. B. C. D. 4.某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 ， 试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的 ，则此次数 学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 A. 150 B. 200 C. 300 D. 400 5.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇 形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6.已知双曲线 的渐近线方程是 ，则 的离心率为 A. 或 2 B. C. D. 或 7.函数 的图象可能是 A. B. C. D. 8.过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于点 和 ，则线段 的长度是 A. 8 B.4 C.6 D. 7 9.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、 兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任 取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 A. B. C. D. 10.已知三棱锥 所有顶点都在球 的球面上，且 平面 ， 若 ， ，则球 的表面积为 A． B． C． D． 11. 已 知 为 偶 函 数 ， 对 任 意 ， 恒 成 立 ， 且 当 时 ， .设函数 ，则 的零点的个数为 S ABC− O SC ⊥ ABC 1SC AB AC= = = 0120BAC∠ = O 5 2 π 5π 4π 5 3 πA. B. C. D. 12.已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有两个不同 的整数解，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_____． 14. 展开式中 的系数为_____________. 15.如图所示，平面 BCC1B1⊥平面 ABC，ABC＝120，四边形 BCC1B1 为正方形，且 AB＝BC＝ 2，则异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为_____． 16.在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点，若 且 ，则 面积的最大值是___ 三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 满足 ， （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ．18.（本小题满分 12 分） 某公司为了提高利润，从 2012 年至 2018 年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年 利润增长的数据如下表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 投资金额 （万元） 年利润增长 （万 元） (Ⅰ)请用最小二乘法求出 关于 的回归直线方程；如果 2019 年该公司计划对生产环节的改 进的投资金额为 万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数） （Ⅱ）现从 2012 年—2018 年这 年中抽出三年进行调查，记 年利润增长 投资金额，设这 三年中 （万元）的年份数为 ，求随机变量 的分布列与期望. 参考公式： . 参考数据： ， . 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2 ，PAD＝60°，AB⊥ 平面 PAD，点 M 在棱 PC 上． (Ⅰ)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (Ⅱ)若直线 PA// 平面 MBD，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值．20.（本小题满分 12 分） 已知 ， 是椭圆 的两个焦点，椭圆 的离心率为 ， 是 上异于上下顶点的任意一点，且 面积的最大值为 . (Ⅰ)求椭圆 的方程； （Ⅱ）若过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， ，求直线 的方程. 21.已知函数 （ 为常数） （Ⅰ）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围； （Ⅱ）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的最大值． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题 号. 22.（选修 4-4：坐标系与参数方程）（10 分） 平面直角坐标系中，直线 1 的参数方程是 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 (Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 相交于 两点，求 .23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . (Ⅰ)当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若函数 的图象与函数 的图象存在公共点，求实数 的取值范围.参考答案 一．选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.D 7.A 8.A 9.D 10.B 11.C 12.A 二．填空题 13.2 14. 15. 16. 三．解答题 17.（Ⅰ）由 可得 ，两式相减得到 ，最后验证 满足上式，进而得到通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，于是 ，故利用裂项相消法可求出 ． （Ⅰ）∵ ∴ ， 两式相减得 ， ∴ ． 又当 时， 满足上式， ∴ ． ∴数列 的通项公式 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，∴ ∴ ． 18.（Ⅰ） ， ， ， 那么回归直线方程为： 将 代入方程得 即该公司在该年的年利润增长大约为 11.43 万元. （Ⅱ）由题意可知， 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 1.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6 的可能取值为 1,2,3， ; ; 则分布列为 1 2 3P 19.解：（Ⅰ）因为 AB⊥平面 PAD，所以 AB⊥DP， 又因为 ，AP=2，∠PAD=60°， 由 ，可得 ， 所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即 DP⊥AP， 因为 ，所以 DP⊥平面 PAB， 因为 ，所以平面 PAB⊥平面 PCD （Ⅱ）由 AB⊥平面 PAD 以点 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 y 轴，AB 所在的直线为 z 轴，如图所示建立空间直角坐 标系. 其中 ， ， ， ， . 从而 ， ， ，设 ，从而得 ， ， 设平面 MBD 的法向量为 ， 若直线 PA//平面 MBD，满足 ， 即 ， 得 ，取 ， 且 ， 直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值等于： . 20.解：（1）据题意，得 ， . 椭圆 的方程为 . （2）据题设分析知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 . 据 得 . 设 ， ，则 ， . ，. . ，则 . 又 ， ， . 故直线 的方程为 或 . 21.（Ⅰ）∵ ， ， ∴ ． 设 ， ， ∵ 是定义域上的单调函数，函数 的图象为开口向上的抛物线， ∴ 在定义域上恒成立，即 在 上恒成立． 又二次函数图象的对称轴为 ，且图象过定点 ， ∴ ，或 ，解得 . ∴实数 的取值范围为 ． （Ⅱ）由（I）知函数 的两个极值点 满足 ， 所以 ， 不妨设 ，则 在 上是减函数，∴ ， ∴ ． 令 ，则 ， 又 ，即 ， 解得 ， 故 ， ∴ ． 设 ， 则 ， ∴ 在 上为增函数． ∴ ， 即 ． 所以 的最大值为 ． 22（1）直线 的普通方程为 ； ， 曲线 的直角坐标方程为 ； （2）曲线 圆心 到直线 的距离 ； 圆的半径 ； ， 23.解：（1）当 时， ，此时不等式 为 . 当 时， ，解得 ， 所以 ； 当 时， ，解得 ， 所以 ； 当 时， ，解得 ， 此时无解. 综上，所求不等式的解集为 . （2） ，该函数在 处取得最小值 . ， 分析知函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，且 .据题设知， ， 解得 .所以实数 的取值范围是 .