天津市七校2020届高三上学期期中联考数学试题（PDF版附答案）.pdf

2019～2020 学年度第一学期期中七校联考 高三数学参考答案 一、选择题：共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 1—5 C D C A C 6—9 D B B D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10． 012 =+− yx 11．31 12． ( 8, 6]−− 13． 160 5 3  14．3 15． 54,63   三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分. 16．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由已知，有 f(x)＝cos x·( 1 2sin x＋ 3 2 cos x)－ 3cos2x＋ 3 4 ＝1 2sin x·cos x－ 3 2 cos2x＋ 3 4 ＝1 4sin 2x－ 3 4 (1＋cos 2x)+ 3 4 ＝1 4sin 2x－ 3 4 cos 2x ＝1 2sin(2x－π 3)． ……………………………………………4 分[来 最小正周期为 =T ，对称中心为 )0,62  +k（ Zk  …………………7 分[ （Ⅱ） )62sin(2 1)( += xxg …… ……………………8 分[ )(xg 在区间 ]6,6[ − 上单调递增,在区间 ]3,6[  上单调递减 .………10 分[ 2 1)6()( max == gxg ………………………11 分 4 1)6( −=− g < 4 1)3( =g …………………………13 分 4 1)( min −=xg …………………………14 分[ 17.（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）在 ABD 中， ,sinsin,30 ADB AB ABD ADABD ==  ; 2 2 2 1 2 6 AB= ;3= AB ………………………………………4 分 在 ABC 中， ;cos2222 ABCBCABBCABAC −+= 223 3 2 2 3 2cos ,ABC = + −   .6 3cos −= ABC ……………………7 分 （Ⅱ）由⑴知 ),,2(,6 3cos  −= 6 33cos1sin 2 =−=  ………………………8 分 6 52cos,6 112sin −=−=  ………………………11 分 .12 1135 3sin2cos3cos2sin)32sin( −=−=−  ……………………14 分 18．（本小题满分 15 分） 解：（Ⅰ）在线段 PD 上取一点 N ,使得 =DP PN ,  PC PM P PN == D  DCMN // 且 DCMN  1= =AB AE ABAE  1= ， DCAB // 且 DCAB = MNAE // 且 MNAE = 四边形 AEMN 为平行四边形 ANME // 又 AN 平面 PFD , ME 平面 PFD //ME 平面 ………4 分 （Ⅱ）以 A 为坐标原点，分别以 APABAF ,, 为 zyx ,, 轴建立空间直角坐标系 )0,0,0(A ， )1,0,0(P ， )0,2,0(B ， )0,2,1(−C ， )0,0,1(−D 2 1= )0,1,0(E ， )0,0,1(F 设平面 PEA 的一个法向量为 ),,( zyxn = )1,1,0( −=PE ， )1,0,0(=AP    == =−= 0 0 zAPn zyPEn ，令 1=z ， 1=y )1,1,0(=m 设平面 PEF 的一个法向量为 ),,( zyxm = ， )1,0,1( −=PF    =−= =−= 0 0 zxPFm zyPEm ， 令 ， 1,1 == yx )1,1,1(=m 3 3 32 11 |||| ,cos =  +=  = nm nmnm ， 3 6,cos1,sin 2 =−= nmnm 二面角 A PE F−−的正弦值为 3 6 .………………………10 分 （III）令 )0,,0( hE ， 20  h ， )1,,0( −= hPE 设平面 PEA 的一个法向量为 ),,(1 zyxn = )1,2,0( −=PB ， )0,0,1(−=BC    =−= =−= 0 02 1 1 xPBn zyPBn ，令 1=y ， 1=z )2,1,0(1 =n 由题意可得： 5 5 51 |2| |||| |||,cos| 2 1 1 1 = + −=  = h h nPE nPEnPE 4 3=h 4 3=AE ， 3 8 AE AB == ………………………15 分 19．（本小题满分 16 分） 解：（Ⅰ）设数列{}na 的公比为 q ，数列{}nb 的公差为 d ，由题意， 0q  ， 由已知有 2 4 2 3 2 3 10 qd qd  −= −= ，消去 d 整理得： 422 8 0qq− − = . ∵ 0q  ，解得 2q = ，∴ 2d = ， ∴数列 的通项公式为 12n na −= ， *nN ； 数列{}nb 的通项公式为 21nbn=−， *nN .……………………4 分 （Ⅱ）∵ 2 1 n n n c bn =   为奇数 为偶数 ， ∴ 1 1 2 2a c a c++… nnca 22+ =（ )() 224121231 nnn bababaaaa ++++++ −  令 =nA 1231 −++ naaa  = 2220 222 −+++ n = =− − 41 41 n 3 14 −n 令 nnn bababaB 22412 +++=  )4)1243412 1 2 nn −+++= （（  令 =nT nn 4)124341 2 −+++ （ =nT4 13 4)12(4)32(41 +−+−++ nn nn ∴ =− nT3 132 4)12()444(24 +−−++++ nn n 1 2 4)12(41 44424 +−−− −+= n n n 143 )56( 3 20 +−−−= nn ∴ =nT 149 )56( 9 20 +−+ nn ∴ … = n nnnn nTABA 49 )712( 9 7 2 1 −+=+=+ ……10 分 （III）对任意正整数 n，不等式 32 +na ≤ )11)(11( 21 bb ++ … )11( nb+ 成立 即 a≤ )11)(11( 32 1 21 bbn ++ + … 对任意正整数 n 成立 记 )11)(11( 32 1)( 21 bbn nf ++ + = … 则 1 15164 16164 32 42 52 32)11( 52 32 )( )1( 2 2 1  ++ ++=+ + + +=+ + +=+ + nn nn n n n n bn n nf nf n ∴ )()1( nfnf + ，即 f (n)递增 故 15 54)1()]([ min == fnf ，∴0＜a≤ 15 54 ． ………………………16 分 20．（本小题满分 16 分） 解:（Ⅰ） . 又 ，因此 ，而 ， 所以 ，故 在 单调递增. ………………………4 分 （Ⅱ）由题意知， ，设 ，则 ， 由于 ，故 ， 时， 单调递增，又 ， ， 因此 在 存在唯一零点 ，使 ，即 ， 且当 ， ， ， 单调递减； ， ， ， 单调递增； 故 ， 故 ， 设 ，又设 故 在 上单调递增，因此 ，即 ， 在 单 调递增， ，又 ，所以 ， 故所求 的最小值为 . ………………………10 分 （III）由（I）可知 1=a 时， 0)1()( = GxG ，即： xx 1ln)1sin( − 设 2)1( 11 kx +=− ，则 22 )1( )2( )1( 11 k kk kx + +=+−= 因此 1 2ln1ln)2( )1(ln)1( 1sin 2 2 + +−+=+ ++ k k k k kk k k 即 222 )1 1sin3 1sin2 1sin ++++ n（ 1 2ln1ln4 3ln3 2ln2 3ln1 2ln + +−+++−+− n n n n 2ln1 2ln2ln + +−= n n ………………………16 分