吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测（一）数学（理）（Word版带答案）.doc

长春市 2020 届高三质量监测(一) 理科数学 本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生 信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合 A＝{x||x|>2}，B＝{x|x2－3x>0}，则 A∩B＝ A.Φ B. {x|x>3 或 x≤－2} C. {x| x>3 或 x3 或 x 4 2A π π< < 2 sin( ) 12 4A π< + < 20 10 10 2S< < + PA M EM DM // // // EM CD CE DM CE PADEM CD DM PAD  ⇒  ⇒=   ⊂  平面 平面 A AD x AB y AP z (2,0,0)D (2,1,0)C (0,0,4)P (0,2,0)B (0,1,2)E (0, 1,0)CD = − ( 2,0,2)CE = − CDE 1 (1,0,1)n = ABCD 2 (0,0,1)n = 1 2 1 2 | | 2cos | | | | 2 n n n n θ ⋅= =⋅   CDE ABCD 4 π 1 1 1 1 1( 50) 2 2 3 3 36P X = = ⋅ ⋅ ⋅ = X X该考生本次测验选择题所得分数为 的分布列为 30 35 40 45 50 选择题所得分数为 的数学期望为 . （12 分） 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得， 点的轨迹为椭圆且 ， . 因此椭圆的方程为 . （4 分） （Ⅱ）设直线 的方程为 与椭圆 交于点 ， ， 联立直线与椭圆的方程消去 可得 ，即 ， . 面积可表示为 令 ，则 ，上式可化为 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 因此 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 . （12 分） 21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知 ， 单调递增，且 ， 当 时， ，当 时， ； 因此 在 上单调递减，在 上单调递增. （4 分） 1 1 2 2 4( 30) 2 2 3 3 36P X = = ⋅ ⋅ ⋅ = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 12( 35) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P X = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 13( 40) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P X = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 6( 45) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P X = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 1 1 1 1 1( 50) 2 2 3 3 36P X = = ⋅ ⋅ ⋅ = X X P 4 36 12 36 13 36 6 36 1 36 X 115 3EX = P 2 4a = 1c = 2 2 14 3 x y+ = l 3x ty= − 2 2 14 3 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y x 2 2(3 4) 6 3 3 0t y ty+ − − = 1 2 2 6 3 3 4 ty y t + = + 1 2 2 3 3 4y y t −= + AOB∆ 2 1 2 1 2 1 2 1 1| | | | 3 ( ) 42 2AOBS OQ y y y y y y= ⋅ − = ⋅ ⋅ + −△ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 3 3 3 2 3 63 ( ) 4 9 3 4 3 12 3 4 3 4 2 3 4 3 4 t t t tt t t t −= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ + + = ⋅ ++ + + + 23 1t u+ = 1u ≥ 2 6 6 333 u u u u =+ + ≤ 3u = 6 3t = ± AOB∆ 3 l 6 33x y= ± − 1( ) ln 1f x x x ′ = + − ( )f x′ (1) 0f ′ = 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0,1) [1, )+∞（Ⅱ）由 有两个零点可知 由 且 可知， 当 时， ，当 时， ； 即 的最小值为 ， 因此当 时， ， 可知 在 上存在一个零点； 当 时， ， 可知 在 上也存在一个零点； 因此 ，即 . （12 分） 22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ， 圆 的直角坐标方程为 . （5 分） （Ⅱ）联立直线 的参数方程与圆 的直角坐标方程可得 ，化简可得 . 则 . （10 分） 23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 当 时， ，可得 ，即 . 当 时， ，可得 ，即 . 当 时， ，可得 ，即 . 综上，不等式 的解集为 . （5 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数 的最大值 ，且 ， 即 ，当且仅当 时“=”成立， 可得 ，即 ，因此 的最小值为 2. （10 分） 3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e = − + − − 1 1( ) (1 ln ) 1h x m x x x ′ = + − + − 0m > 0 1x< < ( ) 0h x′ < 1x ≥ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x 3(1) 1 0h e = − < 1x e = 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e − + −= − − + − − − = > ( )h x 1( ,1)e x e= 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e = − + − − > ( )h x (1, )e 2 1 1x x e e − < − 1 2 1x e x e + > + l 3 0x y+ − = C 2 2 4 3 0x y x+ − − = l C 2 22 2 2(1 ) (2 ) 4(1 ) 3 02 2 2t t t− + + − − − = 2 3 2 2 0t t+ − = 1 2| | | | | | 2PA PB t t⋅ = = ( 3) (1 ), 3 4, 3 ( ) ( 3) (1 ), 3 1 2 2, 3 1 ( 3) ( 1), 1 4, 1 x x x x f x x x x x x x x x x − − − − < − − < −   = + − − − = + −   + − − > >  ≤ ≤ ≤ ≤ 3x < − 4 1x− +≥ 5x −≤ 5x −≤ 3 1x− ≤ ≤ 2 2 1x x+ +≥ 1x −≥ 1 1x− ≤ ≤ 1x > 4 1x +≥ 3x ≤ 1 3x< ≤ ( ) 1f x x +≥ ( , 5] [ 1,3]−∞ − − )(xf 4M = 1 4ab a b+ + + = 23 ( ) ( )2 a ba b ab +− + = ≤ a b= 2( 2) 16a b+ + ≥ 2a b+ ≥ ba +