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衡阳市八中2019年下期高二期中考试数学答案详解 ‎【选择题答案】‎ 1. C 2. A 3. D 4. C 5. D 6. D ‎ ‎7. C 8. D 9. A 10. A 11. C 12. C ‎ ‎【填空题答案】‎ ‎13. 1 14. 12 15. 16. ‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．C ‎【解析】‎ 试题分析：命题为真命题.对命题，当时，，故为假命题，为真命题.所以C正确.‎ ‎2. A ‎【详解】‎ 因为变量x与y负相关，所以排除D；‎ 又回归直线过样本中心，‎ A选项，过点，所以A正确；‎ B选项，不过点，所以B不正确；‎ C选项，不过点，所以C不正确；‎ 故选A ‎3. D ‎【详解】‎ 整理椭圆方程2x2+3y2＝6得，∴a∴长轴长为2a．‎ 故选：D．‎ ‎4. C ‎【详解】‎ 因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.‎ ‎5. D ‎【解析】令，则，故选D ‎6. D 第11页，共12页 ‎【解析】‎ 由题意可得，的方程为，，求出点到的距离的值，再代入面积公式得，由此求得的值，从而得出结论．‎ 由题意可得，的方程为，即．‎ 设点，则点到的距离．‎ 由于的面积为2，故有，化简可得，‎ ‎①，或②．‎ 解①求得或；解②求得或．‎ 综上可得，使得的面积为2的点的个数为4.‎ 故选：D.‎ ‎7.C ‎【解析】平移至，不妨设则易知 故夹角为或其补角为所求，‎ 故选：C 也可建立空间系进行求解。‎ ‎8. D ‎【分析】‎ 分为焦点在轴上和焦点在轴上两种情形，由渐近线的方程得的值，结合可得离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，双曲线的焦点在轴上时，设它的方程为；‎ 由渐近线方程为，得，故，即，‎ 焦点在轴上时，设它的方程为，‎ 第11页，共12页 由渐近线方程为，得，故，即，故选D．‎ ‎ 9.A ‎【解析】‎ 分析：讨论x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1时， 的正负，从而得函数的单调性，即可得解．‎ 详解：由函数的图象得到：‎ 当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；‎ 当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；‎ 当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．‎ 由此得到函数y=f（x）的大致图象可以是A．‎ 故选：A．‎ ‎10. A 由题意：记四个人分别为1，2，3，4，其中数字越大代表人越高，‎ 如图所示，填写ABCD四个空格，则基本事件的总数为 不妨先从四人中选两个人填好AC两格，总的填法有（其中分子为前排，分母为后排）共6种，而当AC填好之后，剩下的BD将被唯一确定下来，故由古典概型可知：‎ 故选A．‎ ‎ ‎ ‎11. C ‎【解析】‎ 分析：令f（x）=（x≥e），则f′（x）=≤0，可得函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，即可得出．‎ 详解：令f（x）=（x≥e），则f′（x）=≤0，‎ ‎∴函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，‎ ‎∴＞＞，即，即 即a＞b＞c．‎ 第11页，共12页 故选：C． ‎ ‎12.C ‎ ‎【分析】‎ 先利用导数等式结合条件求出函数的解析式，由，得 ‎，转化为函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由等式，可得，‎ 即，即（为常数），‎ ‎，则，，‎ 因此，，，‎ 令，得或，列表如下：‎ 极小值 极大值 函数的极小值为，极大值为，且，‎ 作出图象如下图所示，由图象可知，当时，.‎ 第11页，共12页 另一方面，，则，‎ 由于函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，‎ 由图象可知，这两个点的横坐标分别为、，则有，解得，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：C.‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 解得 故答案为：1． 14. ,故 故，‎ ‎15. 由题意联立直线与双曲线 ‎ ‎ 由题意可知： 答案为 ‎ ‎16. 解：∵，即 第11页，共12页 ‎∴点是椭圆在轴上方半个椭圆上的点，是直线上的点，‎ ‎∴‎ 要使最小，当且仅当过椭圆在轴上方半个椭圆上的点处的切线与平行时．（详解略）‎ 答案为：‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（本题满分10分）（1）；（2）.‎ ‎【分析】‎ ‎（1）为真, 均为真命题，分别计算范围得到答案.‎ ‎（2）p是q的必要不充分条件，根据表示范围关系解得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：实数x满足，其中，解得 命题实数x满足，解得．‎ ‎（1）时， ‎ 为真，可得p与q都为真命题， ‎ 则 ‎ 解得．所以实数x的取值范围是 ‎（2）p是q的必要不充分条件，， ‎ 解得.‎ 实数a的取值范围是．‎ ‎ ‎ ‎18.（本题满分12分）（1）；（2）12‎ 第11页，共12页 ‎（1）因为抛物线：过点，‎ 所以，解得，所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，‎ 联立直线与抛物线方程，消去可得，‎ 所以，所以，‎ 所以的面积为．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎(1) ;增区间为 ‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题可知函数的极值点为-1,3，故-1,3为导函数等于零的解（2）由（1）可得在3处取极小值，代入原方程求解即可.‎ 解：∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b ‎ ‎∵当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值 ‎∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有 ‎-1+3=-‎2‎‎3‎a‎(-1)×3=‎b‎3‎‎∴a=-3‎b=-9‎， ∴f(x) = x3– 3x2– 9x + c ‎∵当x = -1时，函数取极大值7，∴( - 1 )3– 3( - 1 )2– 9( - 1) + c = 7,∴c = 2‎ 令 故增区间为 ‎（2）由（1）可知，在递增，在递减，在递增 故的极小值为，而 故的最小值为 ‎20.（本题满分12分）（1）见解析；（2）.‎ ‎（1）由题意，底面是正方形，.‎ 第11页，共12页 底面，平面，.‎ ‎，平面.‎ 平面，.‎ 又，点是的中点，，‎ ‎，平面.‎ 平面，；‎ ‎（2）法—：由题知、、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系．‎ 则，，则，，‎ 平面，则是平面的一个法向量，，‎ 由（1）知平面，是平面的一个法向量，且，‎ ‎∴，‎ 因此，平面与平面所成锐二面角的大小等于；‎ 法二：过引直线，使得，则，‎ 第11页，共12页 平面，平面，就是平面与平面所成二面角的棱．‎ 由条件知，，，已知，则平面．‎ 由作法知，则平面，所以，，‎ 就是平面与平面所成锐二面角的平面角．‎ 在中，，平面与平面所成锐二面角的大小等于．‎ ‎21.（本题满分12分）(1) (2)见解析 ‎（1）由题可得当为的短轴顶点时，的面积有最大值，根据椭圆的性质得到、、的方程，解方程即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，得到关于的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到的中点坐标，要使，则直线为线段的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到关于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值 所以，解得，故椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 将代入，得；‎ 设，线段的中点为，‎ ‎，‎ 即 第11页，共12页 因为，所以直线为线段的垂直平分线，‎ 所以，则，即，‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，‎ 当时，因为，所以.‎ 综上，存在点，使得，且的取值范围为.‎ ‎22.（本题满分14分）（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎，‎ 当时，.‎ 解得．‎ 第11页，共12页 当时，解得．‎ 所以单调增区间为，‎ 单调减区间为．‎ ‎（2）设 ‎，‎ 当时，由题意，当时，‎ 恒成立．‎ ‎，‎ ‎∴当时，恒成立，单调递减．‎ 又，‎ ‎∴当时，恒成立，即．‎ ‎∴对于，恒成立．‎ ‎（3）因为 ‎．‎ 由（2）知，当时，恒成立，‎ 即对于，，‎ 不存在满足条件的；‎ 当时，对于，，‎ 此时．‎ ‎∴，‎ 第11页，共12页 即恒成立，不存在满足条件的；‎ 当时，令，‎ 可知与符号相反，‎ 令，则 不妨设上述方程两实根分别为，且 由韦达定理：‎ 故异号，‎ 取∴当时，‎ ‎，故在时单调递增，，‎ 即恒成立．‎ 综上，的取值范围为．‎ 第11页，共12页