“超级全能生”2019年福建省高三年级11月联考
数学(理科)
注意事项：
1.本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足,其中为虚数单位,则在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.是的 ( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数的定义域为,则函数的定义域为 ( )
A. B. C. D.
5.已知,,则的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为 ( )
7.已知函数若,则 ( )
A. B. C. D.
8.在中,记,,,,是边的高线是线段的中点,则( )
A. B.
C. D.
9.已知则( )
A. B. C. D.
10.已知在平面直角坐标系中,,
的最小值是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的图象与函数的图象交于A、B两点,则(为坐标原点)的面积为 ( )
A. B. C. D.
12.设函数,若函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知是定义域上的奇函数,周期为,且当时,,则
_____________.
14.已知向量,若,则_____________.
15.若直线既是曲线的切线,又是曲线的切线,则b=_____________.
16.在中分别是内角的对边,是上的三等分点(靠近点),且,,则的最大值是_____________.
福建高三数学(理科)试题卷第2页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第1页（共 8页）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
已知,,若函数,的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,若函数为偶函数,求函数在上的值域.
18.(12分)
在中,角所对的边分别为,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,的面积为,求及的值.
福建高三数学(理科)试题卷第4页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第3页（共 8页）
19.(12分)
在中,角的对边分别为且
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)已知的外接圆半径,求的周长的取值范围.
20.(12分)
已知函数,在时有极大值3.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在上的最值.
福建高三数学(理科)试题卷第6页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第5页（共 8页）
21.(12分)
已知函数,,其中.
(Ⅰ)当时,设,存在区间,使得,都有,求实数的取值范围；
(Ⅱ)若函数的图象在处的切线与直线平行,试讨论函数的零点个数.
(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)若,分别是曲线和上的动点,求的最小值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.
福建高三数学(理科)试题卷第8页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第7页（共 8页）
“超级全能生”2019年福建省高三年级11月联考
数学(理科)答案详解
一、单项选择(共60分,12小题)
1.C【解题思路】因为集合,集合,所以.故选C.
2.B【解题思路】由题意,,,
∴,在复平面对应的点为,
故在复平面内对应的点位于第二象限,故选B.
3.C【解题思路】由可得,设集合.
由可得,设集合,显然集合是的真子集,故是的必要不充分条件.故选C.
4.D【解题思路】因为函数的定义域为,所以的定义域为,
由得,故选D.
5.B【解题思路】∵,
∴.又∵,
∴.故选B.
6.D【解题思路】由可知,为偶函数,排除B、C;
因为,所以排除A,故选D.
7.C【解题思路】或
解得 所以,故.
故选C.
8.D【解题思路】由题意易得,由,得,
故选D.
9.B【解题思路】
所以即,故选B.
10.C【解题思路】由知,在所在的直线上,又，且,即到的距离的最小值为的最小值，又是以为圆心,为半径的圆上的点,那么点到点的距离的最小值,就可以看成圆上的点到直线距离的最小值,即圆心到直线的距离减去半径.又,所以,故选C.
11.D【解题思路】函数()和函数的图象交于A,B两点,点为坐标原点,由,可得,即,求得,或(舍去),∵,
∴或,
∴A,B,画图象如图所示,
根据函数图象的对称性可得的中点,
∴,故选.
福建高三数学(理科)试题卷第8页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第7页（共 8页）
12.A【解题思路】当时,,所以.令,得,设，所以在上单调递减,所以当时,有一个极值点;当或时,无极值点;当时,,所以.令,因为不是极值点,所以,记.因为,所以在和上单调递减,在上单调递增,所以当时,有一个极值点;当时,无极值点;当时,有两个极值点.综上所述,实数的取值范围是,故选A．
13.【解题思路】是定义域上的奇函数,周期为,且当时,,
∴
14.【解题思路】由,得,解得,所以
15.【解题思路】设直线,与曲线相切于点,则的方程为,设与曲线相切于点则的方程为所以解得,,所以设与曲线相切于点,即,即.
16.【解题思路】由及正弦定理得,整理得,所以.因为,所以,因为点是边上靠近点的三等分点,所以,
两边同时平方得,整理得,即,当且仅当时取等号,解得
,所以的最大值是.
17.解:(Ⅰ)因为,,所以 (3分)
因为的最小正周期为,
所以. (5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,其图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象. (7分)
因为函数为偶函数,所以,.解得,.又,所以, (9分)
所以.因为,所以,
即,所以. (12分)
18.解：(Ⅰ)∵,可得:,
∴, (3分)
. (5分)
(Ⅱ)∵由余弦定理得
由正弦定理得
福建高三数学(理科)试题卷第8页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第7页（共 8页）
(8分)
(10分)
(12分)
19.解:(Ⅰ)因为
所以,
所以 (2分)
由正弦定理得
(4分)
因为所以.
又因为,所以. (6分)
(Ⅱ)因为
所以. (8分)
由余弦定理可得,
即,
所以 (10分)
解得又故 (12分)
20解:(Ⅰ)函数,可得, (2分)
由题意可知解得. (5分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 (7分）
令,
解得或,
∴函数在和上单调递减,在上单调递增. (9分）
∵,,,,
∴函数在上的最大值为15,最小值-81. (12分）
21.解:(Ⅰ)当时,,
所以. (2分）
由题意可知函数在区间上有单调递增区间,
即在区间上有解.
即要求在区间上有解,
因为,
所以,即当时,.
又因为区间上单调递增,
所以,所以,
即实数的取值范围是. (4分)
(Ⅱ)因为,
所以,所以.
由题意,得,所以. (6分)
令,解得或.
（i）当时,函数的定义域为,此时,,所以当时,,,,单调递增.又因为,所以函数在上有且只有1个零点; (8分)
福建高三数学(理科)试题卷第8页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第7页（共 8页）
（ii）当时,函数的定义域为,,且.当时,,,,此时.同理,当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故当时,;当时,，所以函数在上有且只有1个零点. (10分)
因为时,单调递减,所以
.
当时,.
因为,所以.
由函数零点存在性定理得,
使得.
综上可知,当时,函数有2个零点;
当时,函数有1个零点. (12分)
22. 解:(Ⅰ)因为曲线的参数方程为
所以曲线的普通方程为. (2分)
又因为曲线的极坐标方程为
,
所以曲线的直角坐标方程为. (5分)
(Ⅱ)设,因为点到直线的距离, (7分)
所以当时,即,
时,最小,即. (10分)
23.解:(Ⅰ)由,,
可得. (2分)
当时，原不等式可化为,解得;
当时，原不等式可化为，解得;
当时，原不等式可化为,解得.
综上,不等式的解集为． (5分)
(Ⅱ)令,
若对恒成立，
则对恒成立. (7分)
∵,
∴只需即可,解得,
即实数的取值范围是. (10分)
福建高三数学(理科)试题卷第8页（共 8页）
福建高三数学(理科)试题卷第7页（共 8页）
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