福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）（Word版含答案）.doc

永安一中 2020 届高三上学期期中考试 数学试题（文科） （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合 ，则 = A. B. C. D. 2．已知复数 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 为 A. B. C. D. 3．若向量 ，则与 共线的向量可以是 A.（ ，-1） B.（-1， ） C.（- ，-1） D.（ ） 4．已知命题 ，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．设实数 满足 ，则目标函数 A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最小值-1，最大值 3 D.既无最小值，也无最大值 6．在 中， 的对边分别为 ，若 ，则 ＝ A. B. C. D. 7．将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到 函数 的图象，则函数 的图象的一个对称中心是 A ． B ． C ． D． 8．已知集合 ，在集合 中任取三个 { } { }2 3, , 3, 1,0,2,3,4A x x x z B= − ≤ < ∈ = − − A B { }1,0,2,3− { }1,0,2− { }1,2,3− { }0,2,3 1 (2 iz i ii += −− z 2 1 5 5 i− 2 1 5 5 i+ 1 2 5 5 i− 1 2 5 5 i+ )1,3(),2,0( =−= nm nm +2 3 3 3 3-1- ， 1: 1, : 1p x q x > < p q yx,    ≤− ≥− ≥+ 22 13 42 yx yx yx z x y= + ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 22( ) 2a c ac b+ − = sin B 1 4 1 2 15 4 3 4 ( ) 2cos( )6f x x π= + 1 2 ( )y g x= ( )y g x= ( ,0)6 π 11( ,0)12 π ( ,0)12 π 5( ,0)12 π {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = A元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记 这个三位数为 ，现将组成 的三个数字按从小到大排成的 三位数记为 ，按从大到小排成的三位数记为 （例 如 ，则 ， ），阅读如图所 示的程序框图，运行相应的 程序，任意输入一个 ，则输 出 的值为 A．792 B．693 C．594 D．495 9．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为 2，则 该几何体的体积为 A. B. C. D. 10．已知定义域为 R 的函数 恒满足 且当 时， ， 设 ， 则 A. B. C. D. 11．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 12．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围 是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作 答． 13．已知向量 与 的方向相反， ，则 . 14．已知 ，则 . 15．各项均为正数的等比数列 的公比 成等差数列，则 = .{ }na 2 3 11, , ,2q a a a 1≠ 3 4 2 6 2 6 4 5 a a a a a a a a + + a a ( )I a ( )D a 219a = ( ) 129I a = ( ) 921D a = a b 38 π− 3 28 π− 3 48 π− π28 − )(xf 0)()( =−− xfxf 0≥x xxxf −−= 2)( )2.0(log),3(),3( 3 2.02.1 fcfbfa ==−= − c a b> > a b c> > c a b> > a c b> > { }na 1 35a = 1 2 1( 2)n na a n n−− = − ≥ na n 2 34 59 5 35 3 12 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1x x x f x e x − > −=  ≤ − ( ) ( ),a b f a f b< = 2a b− 1, 1e  −∞ −   1, e  −∞ −   1, 2e  −∞ − −   1, 2e  −∞ − −   a b 2||,1|| == ba =− |2| ba 0cossin =− αα cos(2 )2 πα + =16．在三棱锥 中，面 面 ， ， ， 则三棱锥 的外接球的表面积是___ ___. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知等差数列 中， ， . (1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足： ，并且 ，试求数列 的前 项和 . 18．（12 分）已知函数 (1）求 (2）当 的值域. 19．（12 分）在平面四边形 中， ， ， ， ， ， ． (1)求 的值； (2)求 的长． 20．（12 分）如图，四棱锥 中， ， ， 为 中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 是边长为 的正三角形， 平 面 ，求点 到平面 的距离． 21．（12 分）设 (1)判断函数 的单调性； (2)是否存在实数 ,使得关于 的不等式 在(1， )上恒成立？若存在， 求出 的取值范围；若不存在，试说明理由. )0)(2sin(sin3sin)( 2 >++= ωπωωω xxxxf π的最小正周期为 );(xf )(,]2,12[ xfx 求函数时ππ−∈ PC PBC△ )1(1 ln)( >−= xx xxf )(xf a x )1(ln −< xax ∞+ a V ABC− VAC ⊥ ABC 2VA AC= = 120VAC∠ = ° BA BC⊥ V ABC− { }na 2 3a = 4 6 18a a+ = { }na { }nb 1 2n nb b+ = 1 5b a= { }nb n nS ABCD DA AB⊥ 1DE = 7EC = 2EA = 2 3ADC π∠ = 3BEC π∠ = sin CED∠ BE P ABCD− AB∥ CD 1 12AB CD= = E BE∥ PAD 2 AB ⊥ PBC E PAD请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2）若点 的直角坐标为 ，曲线 与直线 交于 两点，求 的值. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 (1）解关于 的不等式 (2）若 的解集非空，求实数 的取值范围. 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A B C A D B D C D 二、填空题：13．5； 14．－1； 15． ； 16． . 三、解答题： 17．解：（I）设数列 的公差为 ，根据题意得： 解得： ， ………………………………………5 分 的通项公式为 ……………………………………………………6 分 (Ⅱ） ， 是首项为 公比为 的等比数列 ………………………………9 分 ＝ ………………………………12 分 xoy l 11 2 3 2 x t y t  = −  = t O x C 6cosρ θ= l C P ( )1,0 C l ,A B PA PB+ ( ) 1.f x x= − x ( ) 2 1 0f x x+ − > ( ) ( ) ( )4 ,g x x m f x g x= − + + < m 5 1 2 − 16π { }na d 1 1 3, 2 8 18, a d a d + =  + = 1 1 2 a d =  = { }na∴ 2 1na n= − 1 2n nb b+ = 1 5 9b a= = { }nb∴ 9 2 9 (1 2 ) 1 2 n nS × −∴ −＝ 9 2 9n× −18．解：（1） ……………………3 分 …………4 分 ……………………………………5 分 (2） ……………………………………7 分 当 时， 取最大值 1 ……………9 分 当 时 ……11 分 ………………………………12 分 19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，………1 分 于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即 CD2＋CD－6＝0， 解得 CD＝2(CD＝－3 舍去)． …………………………………………………3 分 在△CDE 中，由正弦定理，得 ． …………………………4 分 于是，sin∠CED＝ CD·sin 2π 3 EC ＝ 2 × 3 2 7 ＝ 21 7 ， 即 sin∠CED＝ 21 7 ． …………………………………………………6 分 (2)由题设知，0＜∠CED＜ π 3 ， 由(1)知，cos∠CED＝ 1－ 21 49＝ 2 7 7 ．……………………………8 分 而∠AEB＝ 2π 3 －∠CED， 所以 cos∠AEB＝cos( 2π 3 －∠CED)＝cos 2π 3 cos∠CED＋sin 2π 3 sin∠CED ＝－ 1 2× 2 7 7 ＋ 3 2 × 21 7 ＝ 7 14 ．……………………………………10 分 在 Rt△EAB 中，cos∠AEB＝ EA BE＝ 2 BE， 故 BE＝ 2 cos∠AEB＝ 2 7 14 ＝4 7． ……………………………………………12 分 20．（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连结 ．………1 分 xxxxf ωωω cossin32 2cos1)( +−= .2 1)62sin(2 12cos2 12sin2 3 +−=+−= πωωω xxx ,0,)( >ωπ 且的最小正周期为函数 xf .1,2 2 ==∴ ωπω π 解得 .2 1)62sin()( +−=∴ π xxf ].6 5,3[62],2,12[ πππππ −∈−∴−∈ xx 3,262 πππ ==− xx 即 )62sin()( π−= xxg 12,362 πππ −=−=− xx 即 .2 3)62sin()( −−= 取最小值π xxg ,2 3 2 1)62sin(2 3 2 1 ≤+−≤−∴ π x sin sin EC CD EDC CED =∠ ∠ 21 sin CED− ∠ PD F ,AF EF∵ 为 的中点，∴ ，且 ． 又∵ ，且 ， ∴ ，且 ．故四边形 为平行四边形． ∴ ．………………3 分 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． ………………5 分 （Ⅱ）∵ 平面 ，∴ ， 由于 ， ∴ ∵ ，∴ 平面 ，∴ 由于 ， ，∴ 在直角梯形 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ………………………………………………8 分 取 的中点 ，连结 ，则 ⊥ ，且 ∵ 平面 ，∴ ，∴ ⊥平面 ． 又 ∴ ………………………………………………10 分 设点 到平面 的距离为 ， ∵ 平面 ∴ ∴ ， ∴ ∴点 到平面 的距离为 ．………………………………………………12 分 21．解：(1)∵ ∴ ， ……………………1 分 设 . ∴ ，∴ 在 上为减函数．………3 分 ∴ ，∴ ………………4 分 PC )1(,1 ln)( >−= xx xxf 2)1( ln11 )( − −− =′ x xxxf )1(,ln11)( ≥−−= xxxxg 0111)( 22 ≤−=−=′ x x xxxg )(xgy = )[ ∞+,1 0)1(ln11)( =≤−−= gxxxg 0)1( ln11 )( 2 0, 不能使 在(1， )上恒成立， …………………………11 分 ∴ ………………………………………………12 分 22.解：(Ⅰ）直线 的普通方程为： …………………………2 分 曲线 C 的直角坐标方程为： …………………………5 分 (Ⅱ）把直线的参数方程 （ 为参数）代入曲线 C 的方程化简得： ………………………………8 分 ∴ ，