九年级（上）期中数学复习试卷

九年级（上）期中数学复习试卷 1．将二次函数 的图象 （1）向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位得到的函数解析式是　　； （2）绕它的顶点旋转 所得抛物线解析式为　　； （3）绕原点旋转 所得抛物线解析式为　　； （4）沿 轴翻折所得抛物线解析式为　　； （5）沿 轴翻折所得抛物线解析式为　　． 2．（1）抛物线 与 轴只有一个公共点，则顶点坐标为， 　　． （2）若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是　　． （3）已知二次函数 的值永远是正数，则 取值范围是　　． （4）抛物线 与 轴的两个交点都在原点右侧，则 取值范围是　　． 3．（1）抛物线 与 轴只有一个公共点，则 　　； （2）已知抛物线 的顶点在 轴正半轴上，则 的值为　　； （3）若抛物线 的最低点在 轴上，则 　　； （4）若二次函数 的最小值为 2，则该二次函数的解析式为　　． 4．已知二次函数 中自变量 和函数值 的部分对应值如下表： 0 1 0 （1）顶点坐标为　　，关于 的方程 的解为　　． （2）关于 的不等式 的解集为　　． （3）该二次函数的解析式为　　． 5．（1）设 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为　　（用“ ”连结） （2）若二次函数 的图象过 ， ， ， ，则 ， ， 2 2 1y x x= − + + 180° 180° x ν 22 8y x x m= + + x m = 2( 2) 2( 1) 1y k x k x k= − − − + + x k 22 6y x x m= − + m 24 5y x x k= − + x k 22 8y x x m= + + x m = 2 5y x bx= + + x b 2( 1) 2 3 2y k x kx k= − + + − x k = 2 4 1y kx x k= + + − 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ x y x … 1− 1 2 − 1 2 … y … 2− 9 4 − 2− 5 4 − … x 2 0ax bx c+ + = x 2 2ax bx c+ + > − 1(2, )A y 2(1, )B y 3(2, )C y 2( 1)y x a= − + + 1y 2y 3y < 2 8y x x c= − + 1( 2, )A y− 2(2, )B y (5 2C + 3 )y 1y 2y的大小关系是　　（用“ “连结） （3）若二次函数 的图象过 ， ， ，则 ， ， 大小关系为　　（用“ ”连结） 6．已知二次函数 ，若 ，则 的取值范围为　 　． 7．直线 与抛物线 的交点坐标为　 　． 8．抛物线 的顶点及它与 轴的交点三点连线所围成的三角形面积是　 　． 9．已知抛物线 的图象与 轴交于 ， 两点，在 轴上方的抛物线上有一点 ，使 的面积为 10，则 点坐标为　 　． 10．已知，等腰直角 腰长为 ，正方形 边长为 ， 、 、 分别在 ， ， 上，当正方形 以 沿 方向向右移动，直至 与 重合时停 止运动，则正方形 与等腰 的重叠部分面积 与运动时间 的函数图象是 　　 A． B． C． D． 11．如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为 ．给 出四个结论：（1） ；（2） ； （3） ；（4） ．其中正确 结论是　　． 3y < 2 4 ( 0)y ax ax k a= − + < 1(1, )y 2( 1, )y− 3(4, )y 1y 2y 3y < 2 4 3y x x= − − 1 6x−   y 2 2y x= + 2 3y x x= + 2 4 3y x x= − + x 2 2 3y x x= − − x A B x C ABC∆ C AEF∆ 8cm ABCD 4cm B C D AE EF AF ABCD 2 /cm s AE A E ABCD Rt AEF∆ S t ( ) 2y ax bx c= + + ( 3,0)A − 1x = − 2 4b ac> 2b a= − 0a b c− + = 5a b ∴ 0< 2( 6) 4 2 36 8 0m m− − × × = − < 9 2m > 9 2m > 24 5y x x k= − + x 2 0x x k− − = 5 25 16 08 kx − −= > 25 16 0 5 25 16 0 k− − − >  250 16k<  250 16k<  x3．（1）抛物线 与 轴只有一个公共点，则 　8　； （2）已知抛物线 的顶点在 轴正半轴上，则 的值为　　； （3）若抛物线 的最低点在 轴上，则 　　； （4）若二次函数 的最小值为 2，则该二次函数的解析式为　　． 【分析】（1）根据抛物线 与 轴只有一个公共点，可以得到 的值； （2）根据抛物线 的顶点在 轴正半轴上，可以求得 的值； （3）根据抛物线 的最低点在 轴上，可以求得 的值； （4）根据二次函数 的最小值为 2，可以求得 的值，从而可以得到该函 数的解析式． 【解答】解：（1） 抛物线 与 轴只有一个公共点， ， 解得， ， 故答案为：8； （2） 抛物线 的顶点在 轴正半轴上， ， 解得， ， 故答案为： ； （3） 抛物线 的最低点在 轴上， 解得， ， 故答案为：2； （4） 二次函数 的最小值为 2， 22 8y x x m= + + x m = 2 5y x bx= + + x b 2( 1) 2 3 2y k x kx k= − + + − x k = 2 4 1y kx x k= + + − 22 8y x x m= + + x m 2 5y x bx= + + x b 2( 1) 2 3 2y k x kx k= − + + − x k 2 4 1y kx x k= + + − k  22 8y x x m= + + x 28 4 2 0m∴ − × × = 8m =  2 5y x bx= + + x ∴ 2 02 1 4 1 5 04 1 b b − > × × × − = × 2 5b = − 2 5−  2( 1) 2 3 2y k x kx k= − + + − x ∴ 2 1 0 4 ( 1) (3 2) (2 ) 04 ( 1) k k k k k − >  × − × − − = × − 2k =  2 4 1y kx x k= + + −， 解得， ， 该函数解析式为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求 二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．已知二次函数 中自变量 和函数值 的部分对应值如下表： 0 1 0 （1）顶点坐标为　 ， 　，关于 的方程 的解为　　． （2）关于 的不等式 的解集为　　． （3）该二次函数的解析式为　　． 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 ，从而得 到抛物线的顶点坐标；然后利用对称性得到 时， ，则根据抛物线与 轴的交点 问题得到关于 的方程 的解； （2）利用抛物线经过 ， 和抛物线开口向上可判断当 或 时， ； （3）利用待定系数法求抛物线解析式． 【解答】解：（1） 抛物线经过点 ， ， 抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线的顶点坐标为 ， ， 而 ， ， 则 时， ， ∴ 2 0 4 ( 1) 4 24 k k k k > − − = 4k = ∴ 24 4 3y x x= + − 24 4 3y x x= + − x 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ x y x … 1− 1 2 − 1 2 … y … 2− 9 4 − 2− 5 4 − … 1 2x = − 2 1x = x 2 0ax bx c+ + = x 2 2ax bx c+ + > − 1 2x = − 2x = − 0y = x x 2 0ax bx c+ + = ( 1, 2)− − (0, 2)− 1x < − 0x > 2 2ax bx c+ + > −  ( 1, 2)− − (0, 2)− ∴ 1 2x = − ∴ 1( 2 − 9)4 − 1x = 0y = 2x = − 0y =抛物线与 轴的交点坐标为 ， ， 关于 的方程 的解为 ， ； （2）当 或 时， ； 即关于 的不等式 的解集为 或 ； （3）设抛物线解析式为 ， 把 代入得 ，解得 ， 抛物线解析式为 ， 即 ． 故答案为 ， ； 或 ； ． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组 ：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位 置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式 求解． 5．（1）设 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为　 　（用“ ”连结） （2）若二次函数 的图象过 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是　　（用“ “连结） （3）若二次函数 的图象过 ， ， ，则 ， ， 大小关系为　　（用“ ”连结） 【分析】（1）利用二次函数的增减性可判断 值的大小． （2）二次函数抛物线向上，且对称轴为 ．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近 来判断纵坐标的大小； （3）二次函数抛物线向下，且对称轴为 ．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近 来判断纵坐标的大小． ∴ x ( 2,0)− (1,0) ∴ x 2 0ax bx c+ + = 1 2x = − 2 1x = 1x < − 0x > 2 2ax bx c+ + > − x 2 2ax bx c+ + > − 1x < − 0x > ( 2)( 1)y a x x= + − (0, 2)− 2 2 1a− = × × 1a = − ∴ ( 2)( 1)y x x= + − 2 2y x x= + − 1 2x = − 2 1x = 1x < − 0x > 2 2y x x= + − ) 1(2, )A y 2(1, )B y 3(2, )C y 2( 1)y x a= − + + 1y 2y 3y 3 2 1y y y< < < 2 8y x x c= − + 1( 2, )A y− 2(2, )B y (5 2C + 3 )y 1y 2y 3y < 2 4 ( 0)y ax ax k a= − + < 1(1, )y 2( 1, )y− 3(4, )y 1y 2y 3y < y 4x = 2x =【解答】解：（1） 函数的解析式是 ，如右图， 对称轴是 ， 点 关于对称轴的点 是 ， 那么点 、 、 都在对称轴的右边，而对称轴右边 随 的增大而减小， 于是 ． 故答案为 ． （2） 二次函数 ， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为： ． 二次函数 的图象过 ， ， ， ， 而三点横坐标离对称轴 的距离按由远到近为： 、 ， 、 ， 故答案为 ． （3） ， 该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为： ． 二次函数 的图象过 ， ， ， 而三点横坐标离对称轴 的距离按由远到近为： ， ， ， 故答案为 ． 【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称 轴． 6．已知二次函数 ，若 ，则 的取值范围为　 　． 【分析】先根据 判断出抛物线的开口向上，故有最小值，再把抛物线化为顶点式的形  2( 1)y x a= − + + ∴ 1x = − ∴ A A′ 1(0, )y A′ B C y x 3 2 1y y y< < 3 2 1y y y< <  2 8y x x c= − + ∴ 4x =  2 8y x x c= − + 1( 2, )A y− 2(2, )B y (5 2C + 3 )y 4x = 1( 2, )A y− (5 2+ 3 )y 2(2, )y 2 3 1y y y∴ < < 2 3 1y y y< < 2 4 ( 0)y ax ax k a= − + ∴ 2 24 3 ( 2) 7y x x x= − − = − − ∴ 2x = 7y = −最小 1 6x−   ∴ 6x = y 26 4 6 3 9= − × − = 7 9y∴−   7 9y−   x 2 2y x= + 2 3y x x= + ( 2, 2)− − (1,4) x y  2 2 2 3 y x y x x = +  = + 2 2 x y = −  = − 1 4 x y =  = ∴ 2 2y x= + 2 3y x x= + ( 2, 2)− − (1,4) ( 2, 2)− − (1,4) x y 2 4 3y x x= − + x 2 4 3y x x= − + x x的面积公式即可求出 的值． 【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点的纵坐标为 ， 底边上的高为 1； ，解得 ， ， 抛物线与 轴的交点为 、 ； 由题意得：底边长 ， 抛物线 的顶点及它与 轴的交点三点连线所围成的三角形面积为： ． 【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式 ，并能 与几何知识结合使用． 9．已知抛物线 的图象与 轴交于 ， 两点，在 轴上方的抛物线上有一点 ，使 的面积为 10，则 点坐标为　 或 　． 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质． 【解答】解：由 得 ， ， 所以 距离为 4， 要使 的面积为 10， 的纵坐标应为 5， 把 时代入函数 得 ， 解得 ， ． 故 点坐标为 或 ． 【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式 ，并熟 练运用． 10．已知，等腰直角 腰长为 ，正方形 边长为 ， 、 、 分别在 ， ， 上，当正方形 以 沿 方向向右移动，直至 与 重合时停 止运动，则正方形 与等腰 的重叠部分面积 与运动时间 的函数图象是 　　 b 24 14 ac b a − = − ∴ 2 4 3 0x x− + = 1 1x = 2 3x = ∴ x (1,0) (3,0) 1 2| | 2x x= − = ∴ 2 4 3y x x= − + x 1 2 1 12 × × = 1 2| |x x− 2 2 3y x x= − − x A B x C ABC∆ C (4,5) ( 2,5)− 2 2 3 0x x− − = 1 3x = 2 1x = − AB ABC∆ C 5y = 2 2 3y x x= − − 2 2 3 5x x− − = 1 4x = 2 2x = − C (4,5) ( 2,5)− 1 2| |x x− AEF∆ 8cm ABCD 4cm B C D AE EF AF ABCD 2 /cm s AE A E ABCD Rt AEF∆ S t ( )A． B． C． D． 【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的 图象符合题意，本题得以解决． 【解答】解：当 时， ，即函数的图象是一条开口方 向向下的抛物线； 当 时， ，即函数的图象是一条开口方向向上的抛物线， 故符合题意的图象只有选项 ． 故选： ． 【点评】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答． 11．如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为 ．给 出四个结论：（1） ；（2） ； （3） ；（4） ．其中正确 结论是　①④　． 0 2t  2 214 4 (2 4) 2 8 82S t t t= × − − = − + + 2 4t  2 21 (8 2 ) 2 16 322S t t t= − = + + C C 2y ax bx c= + + ( 3,0)A − 1x = − 2 4b ac> 2b a= − 0a b c− + = 5a b 2 4b ac> 12 bx a = − = − 1x = − 0y > 1x = 3x = − 0a b c+ + = 9 3 0a b c− + =  x 12 bx a = − = − y y  ∴ x 2 4 0b ac∴ − > 2 4b ac>  12 bx a = − = − 2b a∴ =  1x = − 0y > ∴ 1x = − 0y a b c= − + >  ( 3,))− 1x = − ∴ (1,0) 1x = 3x = − 0a b c+ + = 9 3 0a b c− + = 5 0a b c− = − < 5a b< 2y ax bx c= + + y x 2y x bx c= + + x A x B y C 3BO CO AO= = ABC∆ b c（2）设抛物线顶点为 ，求 的面积． 【分析】（1）利用三角形面积公式得到 ，求出 ，从而得到 、 、 的坐标，然后利用交点式写出抛物线解析式，于是得到 、 的值； （2）先把一般式配成顶点式得到顶点 的坐标为 ，作 轴交 于 ，如图， 易得直线 的解析式为 ，所以 ，利用 的面积 进行计 算． 【解答】解：（1） 面积为 6， ， ， ，解得 ， ， ， ， ， 抛物线解析式为 ， 即 ， ， ； （2） ， 顶点 的坐标为 ， 作 轴交 于 ，如图， M BCM∆ 1 3 4 62 OA OA =  1OA = A B C b c M (1, 4)− / /MN y BC N BC 3y x= − (1, 2)N − BCM∆ NMC MNBS S∆ ∆= + ABC∆ ∴ 1 62 OC AB = 3BO CO AO= = ∴ 1 3 4 62 OA OA =  1OA = 3OB OC∴ = = ( 1,0)A∴ − (3,0)B (0, 3)C − ( 1)( 3)y x x= + − 2 2 3y x x= − − 2b∴ = − 3c = − 2 22 3 ( 1) 4y x x x= − − = − − ∴ M (1, 4)− / /MN y BC N易得直线 的解析式为 ，则 ， 的面积 ． 【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 13．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克 2 元，售价是每千克 3 元，年销量为 10（万千克）．多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十 分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色 开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金 （万元），该种蔬菜的年销量将是原年销 量的 倍，它们的关系如下表： （万元） 0 1 2 3 4 1 1.5 1.8 1.9 1.8 （1）试估计并验证 与 之间的函数类型并求该函数的表达式； （2）若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润 （万元） 与绿色开发投入的资金 （万元）的函数关系式；并求投入的资金不低于 3 万元，又不 超过 5 万元时， 取多少时，年利润最大，求出最大利润． （3）基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增加，且增 加的销量 （万千克）与增加种植人员的奖金 （万元）之间满足 ，若基地 将投入 5 万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润 达到 17 万元且绿色开发投入大于奖金？ ． 【分析】（1）根据题意判断出函数解析式的形式，再利用待定系数法求二次函数解析式，可 BC 3y x= − (1, 2)N − BCM∴∆ 1 2 3 32NMC MNBS S∆ ∆= + = × × = x 2 (y ax bx c a= + + b c 0)a ≠ x x X m x … m … m x W x x y z 2 4y z z= − + 2 1.4=求出 与 的二次函数关系式． （2）根据题意可知 ； （ 3 ） 将 代 入 （ 2 ） 中 的 ， 故 ； 再 将 代 入 ，故 ，由于单位利润为 1，所以由增加 奖 金 而 增 加 的 利 润 就 是 ， 进 而 求 出 总 利 润 ，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据不是一次函数（不是线性的），也不是反比例函数 的值不是常 数），所以选择二次函数， 设 与 的函数关系式为 ， 由题意得： ， 解得： ， 与 的函数关系式为： ； （2） 利润 销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金， ； 当 时， 最大， 由于投入的资金不低于 3 万元，又不超过 5 万元，所以 ， 而 ，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧， 随 的增大而减小，故最大值 在 处， 当 时， 最大为：16 万元； （3）设用于绿色开发的资金为 万元，则用于提高奖金的资金为 万元， 将 代入（2）中的 ，故 ； m x 2(3 2) 10 5 10S m x x x= − × − = − + + m 2 5 10W x x= − + + 2 5 10W m m= − + + (5 )m− 2 4y z z= − + 2 2(5 ) 4(5 ) 6 5y m m m m= − − + − = − + − 2 6 5m m− + − 2 2 2( 5 10) ( 6 5) (5 ) 2 12W m m m m m m m′ = − + + + − + − − − = − + ( *m x m x 2m ax bx c= + + 1 1.5 4 2 1.8 c a b c a b c =  + + =  + + = 0.1 0.6 1 a b c = −  =  = m∴ x 20.1 0.6 1m x x= − + +  = 2(3 2) 10 5 10W m x x x∴ = − × − = − + + 2.52 bx a = − = W  3 5x  1 0a = − < W x 3x = ∴ 3x = W m (5 )m− m 2 5 10W x x= − + + 2 5 10W m m= − + +将 代入 ，故 ， 由于单位利润为 1，所以由增加奖金而增加的利润就是 ； 所以总利润 ， 因为要使年利润达到 17 万，所以 ， 整理得 ， 解得： 或 ，而绿色开发投入要大于奖金， 所以 ， ． 所以用于绿色开发的资金为 3.7 万元，奖金为 1.3 万元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，以及待定系数法求二次函数解析式和一元二次方 程的解法等知识，根据已知得出由增加奖金而增加的利润是解题关键． 14．已知，如图 1，抛物线 过点 ，且对称轴为直线 ．点 为直线 下方的抛物线上一动点，点 的横坐标为 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若 的面积为 ．求 关于 的函数关系式，并求出 的最大值； （3）如图 2，过点 作直线 轴，交线段 于点 ，在抛物线的对称轴上是否存在 点 ，使 是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线 过点 ，且对称轴为直线 ，利用待定系数法 求解即可； （2）过点 作 轴，交 于点 ，将 分成 和 两部分求解； （3）假设存在满足题意的 点，再根据 是以 为直角顶点的等腰直角三角形这一条 (5 )m− 2 4y z z= − + 2 2(5 ) 4(5 ) 6 5y m m m m= − − + − = − + − 2 6 5m m− + − 2 2 2( 5 10) ( 6 5) (5 ) 2 12W m m m m m m m′ = − + + + − + − − − = − + 22 12 17m m− + = 22 12 17 0m m− + = 6 2 3.72m += ≈ 6 2 2.32m −= ≈ 3.7m = 5 1.3m− = 2y ax bx= + (6,3)A 5 2x = B OA B m OAB∆ S S m S B / /BC y OA C D BCD∆ D B 2y ax bx= + (6,3)A 5 2x = B / /BH y OA H OAB∆ OBH∆ ABH∆ D BCD∆ D件解答． 【解答】解：（1）由题知： 解之，得 ， 该抛物线的解析式为： ． （2）过点 作 轴，交 于点 ， 由题知直线 为： ， 设点 ，点 ， ， ， ， 当 时， ； （3）存在，点 为 ， 或 ， ， 理由如下：设在抛物线的对称轴 上存在点 满足题意， 过点 作 于点 ， 则由（2）有点 ，点 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形 ，即是： 且 ， 36 6 3 5 2 2 a b b a + =− = 1 2 5 2 a b  =  = − ∴ 21 5 2 2y x x= − B / /BH y OA H OA 1 2y x= ∴ 1( , )2H m m 21 5( , )2 2B m m m− ∴ 2 21 1 5 1( ) 32 2 2 2BH m m m m m= − − = − + 2 21 1 1 36 ( 3 ) 6 92 2 2 2OBH ABHS S S BH m m m m∆ ∆∴ = + = × = − + × = − + 23 27( 3) (0 6)2 2m m= − − + < < ∴ 3m = 27 2S =最大 B (1 11+ 7 3 11)2 − (5 15− 15 5 15)2 − 5( )2x = D D DQ BC⊥ Q 1( , )2C m m 21 5( , )2 2B m m m− 21 32BC m m= − + BCD∆ D ∴ 1 2DQ BC= 25 1 1| | ( 3 )2 2 2m m m− = − + (0 6)m<