北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期高三年级期中 数学试卷
2019．11
（考试时间 120 分钟满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并
交回.
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知 ，且 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）关于函数 有下述三个结论：
①函数 的最小正周期为 ；
②函数 的最大值为 ；
③函数 在区间 上单调递减.
其中，所有正确结论的序号是
（A）①② （B）①③（C）②③ （D）①②③
（5）已知 ， 是两个不同的平面，直线 ，下列命题中正确的是
（A）若 ，则 （B）若 ，则
（C）若 ，则 （D）若 ，则
（6）已知函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（7）已知 为等比数列，则“ ”是“ 为递减数列”的
2{ 4}A x x= ∈ { }na（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8） 设 ， 为 椭 圆 ： 的 两 个 焦 点 ， 为 上 一 点 且 在 第 二 象 限.若
为等腰三角形，则点 的横坐标为
（A） （B） （C） （D）
（9）在 中， ， ，点 在 边上，且 ，则
的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知集合 ， 满足：（ⅰ） ， ；
（ⅱ） ，若 且 ，则 ；
（ⅲ） ，若 且 ，则 .
给出以下命题：
① 若集合 中没有最大数，则集合 中有最小数；
② 若集合 中没有最大数，则集合 中可能没有最小数；
③ 若集合 中有最大数，则集合 中没有最小数；
④ 若集合 中有最大数，则集合 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是
（A）①③ （B）②③ （C）③④ （D）①④
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（11）已知向量 ， ，且 ，则 ________．
（12）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为
________．
1F 2F C
2 2
19 5
x y+ = M C
1 2△MF F M
3
2
15
2
15
2
− 3
2
−
△ABC 90BAC∠ = 2BC = P BC ( ) 1AP AB AC⋅ + = AP
1( , 1]2
1[ ,1]2
2( ,1]2
2[ ,1]2
A B A B = Q A B = ∅
1x A∀ ∈ 2x ∈Q 2 1x x< 2x A∈
1y B∀ ∈ 2y ∈Q 2 1y y> 2y B∈
A B
A B
A B
A B
(1, 1)= −a (3, )m=b //a b =m
（第 12 题图）
1
1
1
俯视图
侧（左）视图正（主）视图（13）已知直线 与圆 相交于 ， 两点（ 为坐标原点），且
为等腰直角三角形，则实数 的值为________．
（14）已知 ， 是实数，给出下列四个论断：① ；② ；③ ；④ .
以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：
________．
（15）已知函数 （ 为常数）．若 ，则 ________；若函数
存在最大值，则 的取值范围是________．
（16） 年 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得
到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明
史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规
律．已知样本中碳 的质量 随时间 （单位：年）的衰变规律满足
（ 表示碳 原有的质量），则经过 年后，碳 的质量变为原来的________；
经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 的质量是原来的 至 ，据此推测良渚古城
存在的时期距今约在________年到 年之间．（参考数据： ）
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题 13 分）
在 中， ，点 在 边上，且 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
（18）（本小题 13 分）
已知 是各项均为正数的等比数列， ， .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ，并求 的最大值．
（19）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 中，侧面 是等边三角形，且
平 面 平 面 ， 为 的 中 点 ， ,
2 0x y a− + = 2 2: 2O x y+ = A B O
AOB△ a
a b a b> 1 1
a b
< 0a > 0b >
2
1
, ,
( )
,e
≥x
a x x a
f x x x a−
> 2(1, )2P ( 2,0)Q −
C
F l C A B l FP
E F AB FE⋅
ln( ) xf x x a
= + ( 0)a >
( )y f x= (1, (1))f
1=a 1( ) 2
≤ xf x
−
)(xf
{ }na { }nb { }nc n ∗∀ ∈ N 1 | | | |n n na b c+ = − 1 | | | |n n nb c a+ = −
1 | | | |n n nc a b+ = − max{| |,| |,| |}n n n nd a b c= { }max , ,x y z 3 x y z
1 1a = 2 2b = 3 3c = 1b 1c
1 1a = 1 2b = 2 3d d= 1c
1a 1b 1c 1| |a 1| |b 1| |c k
{ }na { }nb { }nc k 0北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期高三年级期中质量检测
数学参考答案 2019．11
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项）
（1）C（2）C （3）D （4）B （5）D
（6）B （7）B（8）D （9）A（10）B
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（11） （12） ， （13）
（14）若 ， ，则 ．（答案不唯一）
（15） ； （16） ；
三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
（17）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
在 中， ， ， ，
由余弦定理 ，得
.
所 以
. ………6 分
（Ⅱ）在 中， ， ， ，
由余弦定理 ，得 ．
由正弦定理 ，得
，
所以 ．………13 分
（18）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）设 的公比为 ，因为 ，
2 7AB =
3− 1
6 3 5±
a b> 0b > 1 1
a b
<
1
2 ( ,0]−∞ 1
2 4011
60APC∠ = 120APB∠ =
ABP△ 120APB∠ = 2=BP
2 2 2 2 cosAB AP BP AP BP APB= + − ⋅ ∠
2 2 24 0AP AP+ − =
4AP =
△APC 4AP = 1PC = 60APC∠ =
2 2 2 2 cosAC AP PC AP PC APC= + − ⋅ ∠ 13AC =
sin sin
AP AC
ACP APC
=∠ ∠
4 13
sin sin 60ACP
=∠
2 39sin 13ACP∠ =
{ }na q 1 3 216,2 3 32a a a+ ==所以 ．
解得 （舍去）或 ．
因此 的通项公式为 ．………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
当 时， ，
故 是首项为 ，公差为 的单调递减等差数列.
则 .
又 ，所以数列 的前 项为正数，
所 以 当 或 时 ， 取 得 最 大 值 ， 且 最 大 值 为
．……………13 分
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）如图，取 中点 ，连结 .
因为 为 中点， ，
所以 ， .
又因为 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形.
所以 .
又因为 平面 , 平面 ，
所以 平面 .………4 分
（Ⅱ）取 中点 ，连结 ， .因为 为等边
三角形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形.
因为 ，所以 .
如图建立空间直角坐标系 ，
则 .
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
22 2 03q q − =+
2q = − 1
2q =
{ }na 1 5116 ( ) 22
n n
na − −= × =
23(5 )log 2 15 3nb n n= − = −
2≥n 1 3n nb b −− = −
{ }nb 1 12b = 3−
21 312 ( 1)( 3) ( 9 )2 2nS n n n n n= + − − = − −
5 0b = { }nb 4
4n = 5 nS
4 5 30S S= =
PA F ,EF BF
E PD 4AD =
//EF AD 1 22EF AD= =
//BC AD 2BC =
//EF BC =EF BC
EFBC
//CE BF
CE ⊄ PAB BF ⊂ PAB
//CE PAB
AD O OP OB △PAD
PO OD⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD = AD
PO ⊥ ABCD
/ /OD BC 2OD BC= =
BCDO
CD AD⊥ OB OD⊥
O xyz−
(0, 2,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,1, 3), (0,0,2 3)A B C E P−
(2,4,0), (0,3, 3)AC AE= =
ACE 1 ( , , )x y z=n
F
P
A
B
D
E
C
P
E
D y
C
x
B
A则 即
令 ，则 .
显然，平面 的一个法向量为 ，
所以 .
由题知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .………10 分
（Ⅲ）直线 上存在点 ，使得 平面 .理由如下：
设 .因为 ， ，
所以 ， ．
因为 平面 ，所以 平面 当且仅当 .
即 ，解得 .
所以直线 上存在点 ，使得 平面 ，此时 ．…………14
分
（20）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）因为椭圆 过点 ， ，
所以 得
故椭圆 的标准方程为 ．………4 分
（Ⅱ）由题易知直线 的斜率不为 0，设 ： ，
由 得 ，显然 .
设 ，
则 .
又 .
1
1
0,
0,
AC
AE
⋅ = ⋅ =
n
n
2 4 0,
3 3 0.
x y
y z
+ = + =
2x = − 1 ( 2,1, 3)= − −n
ACD 2 (0,0,1)=n
1 2
1 2
1 2
3 6cos , 42 2
⋅ −< >= = = −n nn n n n
E AC D− −
E AC D− − 6
4
AB Q //PQ ACE
AQ ABλ= (2,2,0)AB = (0, 2, 2 3)PA = − −
(2 ,2 ,0)AQ ABλ λ λ= = (2 ,2 2, 2 3)PQ PA AQ λ λ= + = − −
PQ ⊄ ACE //PQ ACE 1 0PQ ⋅ = n
(2 ,2 2, 2 3) ( 2,1, 3) 0λ λ − − ⋅ − − = 2λ =
AB Q //PQ ACE 2AQ
AB
=
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2(1, )2P ( 2,0)Q −
2 2
2,
1 1 1,2
a
a b
= + =
2,
1,
a
b
= =
C
2
2 12
x y+ =
l l 1x ty= +
2
2
1,
1,2
x ty
x y
= + + =
2 2( 2) 2 1 0t y ty+ + − = 0∆ >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
1 2 1 22 2
2 1,2 2
ty y y yt t
− −+ = =+ +
2
1 21AB t y y= + −以 为直径的圆的圆心坐标为 ，半径为 ，
故圆心到直线 的距离为 .
所以 .
所以
，
因为 ，所以 ，即 ．
所以 ．
当 时，直线与椭圆有交点，满足题意，且 ，
所以 的最大值为 ．…………13 分
（21）（本小题 14 分）
解：函数 的定义域为 ， ．
（Ⅰ）因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．………4 分
（Ⅱ）当 时， ．
FP 2(1, )4
2
4r =
l 2 2
2 21 14 4
1 1
t t
d
t t
− −
= =
+ +
2
2 2
2 2
1 1 2 12 2 8 8 1 2 1
tFE r d t t
= − = − ⋅ =+ +
1 2
2
2AB FE y y⋅ = − 2
1 2 1 2
2 ( ) 42 y y y y= + −
2 2
2 2 2 2 2
2 4 4 2 8 8
2 ( 2) 2 2 ( 2)
t t
t t t
+= + =+ + +
2
2 2
2
2
1 12 2 1( 2) ( 1) 21
t
t t t
+= =+ + + ++
2 1 1≥t + 2
2
1( 1) 21
≥t t
+ + + 2
2
1 1
1 4( 1) 21
≤
t t
+ + ++
12 14
≤AB FE⋅ =
0t = 1AB FE⋅ =
AB FE⋅ 1
( )f x )0( ∞+， 2
ln 1
( ) ( )
ax xf x x a
− + +
′ = +
(1) 0f = 1(1) 1f a
′ = +
( )y f x= (1, (1))f 10 ( 1)1y xa
− = −+
( 1) 1 0x a y− + − =
1=a ln( ) 1
xf x x
= +欲证 ，
即证 ，
即证 ．
令 ，
则 ．
当 变化时， 变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘
所以函数 的最大值为 ，故 ．
所以 ．………9 分
（Ⅲ）函数 在定义域内不是单调函数．理由如下：
令 ，
因为 ，
所以 在 上单调递减．
注意到 ．
且 ．
所以存在 ，使得 ．
当 时， ，从而 ，所以函数 在 上单调递
增；
当 时， ，从而 ，所以函数 在 上单
1( ) 2
≤ xf x
−
ln 1
1 2
≤x x
x
−
+
22ln 1 0≤x x− +
2( ) 2ln 1h x x x= − +
2 2( 1)( 1)( ) 2 x xh x xx x
− − +′ = − =
x ( ), ( )h x h x′
x (0,1) 1 (1, )+∞
)(xh′ + 0 −
)(xh
)(xh (1) 0h = ( ) 0≤h x
1( ) 2
≤ xf x
−
)(xf
( ) ln 1ag x x x
= − + +
2 2
1( ) 0a x ag x x x x
+′ = − − = − <
)(xg (0, )+∞
(1) +1 0g a= >
1 1
1 1
1(e ) ln e 1 ( 1) 0e e
a a
a a
ag a+ +
+ += − + + = − <
1(1,e )am +∈ ( ) 0g m =
(0, )x m∈ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )m
( , )x m∈ +∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )m +∞调递减．
故函数 在定义域内不是单调函数．………14 分
（22）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）由 ，得 ，所以 ；
由 ，得 ，所以 ，
又 ，故 ， ， ．
所以 ， 的所有可能值为
， ；
， ；
， ；
， ．………3 分
（Ⅱ）若 ， ，记
则 ，
， ， ，
当 时 ， ， ， 由 ， 得
，不符合；
当 时 ， ，
由 ，得 ，符合；
当 时， ，
由 ，得 ，符合；
综 上 ， 的 所 有 取 值 是
. ………8 分
（Ⅲ）先证明“存在正整数 ，使 中至少有一个为 0”．
假设对任意正整数 ， 都不为 0，
由 是非零整数，且 互不相等，得 ， ．
若对任意 ， 都不为 0，则 ，
即对任意 ， ．
当 时，
，
)(xf
2 1 1| | | |b c a= − 1| | 1 2c − = 1 3c = ±
3 2 2| | | |c a b= − 2| | 2 3a − = 2 5a = ±
2 1 1 1| | | | | | 3 3≥a b c b= − = − − 2 5a = 1| | 8b = 1 8b = ±
1b 1c
1 8b = 1 3c =
1 8b = 1 3c = −
1 8b = − 1 3c =
1 8b = − 1 3c = −
1 1a = 1 2b = 1 ,c x=
2 2 22 | |, | | 1, 1a x b x c= − = − = − 2
2 | |,0 | | 1,
1, 1 | | 2,
| | 1,| | 2,
≤
≤
≥
x x
d x
x x
−
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