2019-2020 学年度秋四川省泸县四中高三期中考试
理科数学试题
第 I 卷(选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知集合 ，则
A. B. C. D.
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数 的虚部为
A.-1 B.1 C. D.
3．若命题 ： ，则 为
A. B. C. D.
4．函数 的最小正周期为 ，若将函数 的图像向右平移
个单位，得到函数 的图像，则 的解析式为
A． B． C．
D．
5．设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是
A．-4 B．-2 C．0 D．2
6．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A. B. C. D.
7．某几何体的三视图如图所示，其体积为
2{ | 1}, { | 6 0}A x x B x x x x= < = − − <
{ | 1}A B x x∩ = < A B R= { | 2}A B x x∪ = <
{ | 2 1}A B x x∩ = − < <
z 1z i= + i z z
i− i
p 21, 2nn n∃ > > p¬
21, 2nn n∀ > > 21, 2nn n∃ ≤ ≤ 21, 2nn n∀ > ≤ 21, 2nn n∃ > ≤
( ) sin ( 0)3f x x
πω ω = + >
π ( )f x
6
π
( )g x ( )g x
( ) sin 4 6g x x
π = + ( ) sin 4 3g x x
π = − ( ) sin 2 6g x x
π = +
( ) sin 2g x x=
x y
3 2 6 0
2 0
4 8 0
x y
x y
x y
− − ≤
+ − ≥
− + ≥
2z x y= −
2log 3a = 4
3b = 3log 4c = a b c
b a c< < c a b< < a b c< < c b a< ω
2 2
π πϕ− < < ( )f x
( )y f x= R ( ) ( )1f x f x+ = − [ ]0,1x∈
( ) ( )1f x x x= − ( )2.5f − =
ABCD 4AB = 6AC AD= = 060BAC BAD∠ = ∠ =
090CAD∠ =
2( ) 3sin cos cos2 2 2
x x xf x = +
( )f x
ABC 、 、A B C a b c、 、 (2 )cos cosa c B b C− =
(A)f
ABC∆ A B C a b c
2 2 2
2 2 2 2
a c b c
a b c a c
+ − =+ − −
B
1b = ABC∆令 ，
若函数 在区间 上不是单调函数，求实数 m 的取值范围
求函数 在区间 的最小值．
20．（本大题满分 12 分）
如图所示，三棱柱 中，已知 侧面
.
（1）求证： 平面 ；
（2） 是棱长 上的一点，若二面角 的
正弦值为 ，求 的长.
21．（本大题满分 12 分）
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)令 ，当 ， 时，证明： .
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线 和曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 与 的交点为 ,与 的交点为 ， ，且点 恰好为线段
的中点，求 .
1 1 1ABC A B C− AB ⊥
1 1 1 1, 1, 2, 60BB C C AB BC BB BCC= = = ∠ = °
1BC ⊥ ABC
E 1CC 1A B E B− −
1
2 CE
( ) lnaf x xx
= −
( )f x
( ) ( 1)g x f x= + 2a = 1 1x e
> −
2 3 ln( 1)( ) 1 ln( 1)
e xg x x
− + + +< + +
xOy l 3 0x y a+ + = C
3cos
1 3sin
x
y
θ
θ
=
= +
θ x
l C
= ( )6 R
πθ ρ ∈ l M C A B M AB
a23．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若二次函数 与函数 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围.
2019-2020 学年度秋四川省泸县四中高三期中考试
理科数学试题参考答案
1-5:DACDA 6-10:DBADB 11-12:CD
13． 14． 15． 16．
17． ⑴
对称中心是
⑵
且
1( 1)f x m x x= − − − +
5m = ( ) 2f x >
2 2 3y x x= + + ( )y f x= m
lge ( ) 2sin 2 3f x x
π = − 0.25− 2 5
( ) 3 1 cos 1sin sin , 22 2 6 2
xf x x x T
π π+ = + = + + =
,6 6x k x k
π ππ π+ = ⇒ = − 1, ,6 2k k z
ππ − ∈
( )2sin sin cos sin cosA C B B C− =
( )2sin cos sin sinA B B C A⇒ = + =
1 2 2cos , , 0,2 3 3 3 2B B A C C A
π π π π ⇒ = ⇒ = + = = − ∈
0, 2A
π ∈ ,6 2A
π π ⇒ ∈ 而 ，
18．解：（1）由余弦定理可得， ，
则 ，
即 ，所以 ，因为
，则 ，所以 .
（2）由余弦定理可知， ，即 ，
所以 ，
则 ., .
所以 面积的最大值为 .
19．由已知令 ；
（1）
又
.
（2）① = 其对称轴为
在 上不单调， ， .
②当 ，即 时，
( ) 1 2sin ,6 2 3 6 3f A A A
π π π π = + + < + 0 x a< < −
( ) 0f x′ < x a> −
( )f x (0, )a− ( , )a− +∞
2a =
2 3 ln( 1)( ) 1 ln( 1)
e xg x x
− + + +< + +
21 ( 1)ln( 1) 2
1 1 ln( 1)
x x x e
x x
−− − + + + < < − < > −
( )xφ ( )20, 1e− − ( )2 1,e− − +∞
21 1 1x ee
−> − > − ( )xφ 1 1,e
− +∞
21( ) 1 2 2ex eφ φ − − = < +
( ) ( ) 2
.1 1 1 2 x x ln x e−− − + + < +
1( ) 1 (1 ln( 1)),h ( ) 1 1 1
xh x x x x x x
′= + − + + = − =+ +当 单调递减；
当 单调递增。
故 ,即
.故原不等式成立.
22．（1）将 ， 代入 中
得到直线 的极坐标方程为：
在曲线 的参数方程中，消去 ，可得
即
将 ， 代入 中
得到曲线 的极坐标方程为
（2）在极坐标系中，由已知可设 ， ，
联立 ，可得
所以
因为点 恰好为 的中点，所以 ，即
把 代入 ，得 ,所以
23．（1）当 时， ，
由 得不等式的解集为 .
1 1 0,h ( ) 0,h( )e x x x′− < < <
0, ( ) 0, ( )x h x h x′> >
( ) (0) 0h x h =
1 11 1 ln( 1) 0, 0 1 1 ln( 1)x x x x
+ + + > < + + +
2 21 ( 1)ln( 1) 2 2
1 1 1 ln( 1)
x x x e e
x x x
− −− − + + + +
+ + + +
cosx ρ θ= siny ρ θ= 3 0x y a+ + =
l 3 cos sin 0aρ θ ρ θ+ + =
C θ ( )22 1 9x y+ − =
2 2 2 8 0x y y+ − − =
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2 8 0x y y+ − − =
C 2 2 sin 8 0ρ ρ θ− − =
1, 6M
πρ
2 , 6A
πρ
3, 6B
πρ
2
6
2 sin 8 0
πθ
ρ ρ θ
=
− − =
2 8 0ρ −ρ − =
2 3 1ρ + ρ =
M AB 1
1
2
ρ = 1 ,2 6M
π
1 ,2 6M
π
3 cos sin 0aρ θ ρ θ+ + = 3 1 04 4 a+ + = 1a = −
5m = ( )
( )
( )
( )
5 2 1
3 1 1
5 2 1
x x
f x x
x x
+ < −
= − ≤ ≤
− >
( ) 2f x > 3 3
2 2x x − <
1x = − 2m −
2 2 3y x x= + + ( )y f x=
2 2m − ≥ 4m ≥
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