广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）（Word版带答案）.docx

第 1 页 共 11 页 2019-2020 学年上学期高三级期中考考试题 理科数学 2019 年 11 月 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑 色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答的答案无效。 3．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。 第一部分选择题（共 60 分） 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1．已知 且 则 的值是 　　 A． B． C． D．1 2．已知圆 与直线 相切，直线 始终平分圆 的面积，则圆 方程 为 　　 A． B． C． D． 3. 在 中．角 、 、 所对的边分别为 、 、 ．如果 ．则 的形 状是 　　 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形 4．设푎 = log2 3, 푏 = 3, 푐 = 푒 2 3, 则푎,푏,푐的大小关系是： A．푎 < 푏 < 푐 B． 푏 < 푎 < 푐 C． 푏 < 푐 < 푎 D． 푎 < 푏 < 푐 5. 设函数푓(푥) = {2―푥 ― 1, 푥 ≤ 0 푥 + 1, 푥 > 0且 ，则 　　 0 | | 2,| | 3a b a b= = =   ， (3 2 ) ( )a b a bλ+ ⊥ −   λ ( ) 3 2 3 2 ± 3 2 − C 3 0x y+ + = 1 0mx y+ + = C C ( ) 2 2 2 2x y y+ − = 2 2 2 2x y y+ + = 2 2 2 1x y y+ − = 2 2 2 1x y y+ + = ABC∆ A B C a b c 2 2 tan tan a A b B = ABC∆ ( ) (2 ) 3f a = ( 2) (f a + = )第 2 页 共 11 页 A．2 B．3 C．2 或 3 D．3 6．已知两个圆 和 ，它们的半径分别是 2 和 4，且 ，若动圆 与圆 内切， 又与 外切，则动圆圆心 的轨迹方程是 　　 A．圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线 7．已知双曲线 ： ，斜率为 1 的直线与双曲线 交于两点 ， 若线段 的中点为(4，1)，则双曲线 C 的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，则 　　 A．15 B． C．3 D． 9. 已知函数 ， ， 为常数， ， 的 部分图象如图所示，则 　　 A． B． C． D． 10. 方程(푙푛푥 푥 )2 ―푚 ⋅ 푙푛푥 푥 ―1 = 0有三个不同的解，则푚的取值范围是 　　 A．(푒 ― 1 푒, + ∞) B．( ― ∞,1 푒 ―푒) C．(푒 + 1 푒, + ∞) D．( ― ∞, ― 1 푒 ―푒) 11．直线 经过椭圆 的左焦点 ，交椭圆于 ， 两点， 交 轴于 点，若 ，则该椭圆的离心率是 　　 A． B． C． D． 12．已知函数 ， ，函数 的最小值 ，则实数 的最 小值是 　　 A． B． C．0 D． 第二部分非选择题（90 分） 1O 2O 1 2| | 8O O = M 1O 2O M ( ) C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > C ,A B AB 2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = ABC∆ A B C a b c 3 5b = 6 2c = tan( ) 24A π+ = (a = ) 3 5 6 2 ( ) cos( )(f x A x Aω ϕ= + ω ϕ 0ω > 0)A < (A = ) 2− 3− 6− 2 2− ( ) 3 3 0x y− + = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A B y C 2FC CA=  ( ) 3 1− 3 1 2 − 2 2 2− 2 1− 1( ) axf x xe lnx ax−= − − 2 1( , ]a e ∈ −∞ − ( )f x M M ( ) 1− 1 e − 3 1 e −第 3 页 共 11 页 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分. 13．直线 、直线 与曲线 围成的图形的面积为　 　． 14．直线푦 = 3(푥 ― 1) 与抛物线푦2 = 4푥相交于 A, B 两点，O 为原点，则三角形 AOB 面积 为　 　. 15. 已知 中，角퐴、B、C 对应边分别为 ,且 ，则 面 积最大值为　 　 . 16. 曲线 C: |푥2 ― 푦2 ― 1| = 1与直线 有 4 个交点，则푘 的取值范围是 　 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10 分) 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若푎2 + 푐2 ― 2 3푎푐 = 푏2． （1）求 ； （2）若 ， ，求 的面积． 18．(12 分)已知曲线 为参数），曲线 为参数）． （1）若 ，求曲线 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）曲线 和曲线 的交点记为 、 ，求 的最小值． 19．(12 分)已知函数 （1）当 时，解不等式푓(푥) ≤ 2； （2）若 的最小值为 1，求 的最小值． 0x = 1y e= + 1xy e= + ABC∆ a b c、 、 030 2A a∠ = =， ABC∆ : 1l y kx= − ABC∆ A B C a b c cos B 2AB = 3sin 2sinA B= ABC∆ 1 2cos: (2sin xC y θ θθ =  = 2 1 cos (1 sin x tC ty t α α = +=  = − + 4 πα = 2C 1C 2C M N | |MN ( ) ( )3 +4 0, 0 .f x x a x b a b= − + > > 1 1a b= = −， ( )f x 1 3 a b +第 4 页 共 11 页 20．(12 分)已知椭圆 的左右焦点分别是 离心率 ，点 在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）如图，分别过 作两条互相垂直的弦 与 ，求 的最小值. 21.(12 分)如图，已知抛物线 的焦点 到直线 的距离为 是过抛物线 焦点 的动弦, 是坐标原点，过 两点分别作此抛物线的切线， 两切线相交于点 . （1）求证： . （2）若动弦 不经过点 ，直线 与准线 相交于点 ，记 的斜率分别为 问：是否存在常数 ，使得 在弦 运 动时恒成立？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 22. (12 分)已知函数 （其中 是自然对数的底数）. （1）当 时，求证： ； （2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围. ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > 1 2F F、 ， 1 2e = 31, 2  −   E E 1 2F F、 AC BD AC BD+ ( )2 =2 0C x py p >： F 2 0x y− − = .2 23 AB C F O BA, P PBPA ⊥ AB (2,1)M AB l N , ,MA MB MN 1 2 3, , .k k k λ 1 2 3 1 1k k kλ+ = + AB λ ( ) ln x af x x e a−= − + e 0a = ( ) 2f x < − ( )f x a第 5 页 共 11 页 2019-2020 学年上学期高三级期中考理科数学答案 命题 、审题人：禤铭东 、 吴统胜 2019 年 11 月 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A C C D B D B A C 二、填空题: 13. 1 ； 14.4 3 3 ； 15.2 + 3 ； 16. ( ― 6 2 , ― 1)⋃( ― 1,1)⋃(1, 6 2 ). 三、解答题: 17. 解：（1） 푎2 + 푐2 ― 푏2 = 2 3푎푐, 所以，푐표푠퐵 = 푎2 + 푐2 ― 푏2 2푎푐 = 2 3푎푐 2푎푐 = 1 3 …………………………………………………（3 分） （2）因为 ，所以B ∈ (0,휋 2), 所以 ．………………………（5 分） 又 ，由正弦定理， ．……………………………………………（6 分） 根据余弦定理 ， 得 ， ，………………………………………………………………………（8 分） 所以 的面积为 ．…………………………………………（10 分） 18. 解：（1） 为参数） ， 曲线 的普通方程是 …………………………………（2 分） 它表示过 ，倾斜角为 的直线………………………………………………（4 分）  1cos 3B = 2 2sin 3B = 3sin 2sinA B= 3 2a b= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 4 3a = 2b = ABC∆ 1 8 2sin2 9S ac B= =  4 πα = ∴ 21 2 ( 21 2 x t t y t  = +  = − + 1 1x y∴ − = + ∴ 2C 2y x= − (1, 1)− 4 π第 6 页 共 11 页 （2）曲线 的普通方程为 ……………………………………………（6 分） 设 ，过 作 ，此时 最小…………………………………（8 分） 以下证明此时 最小， 过 作直线 ， 与 不重合 在 △ 中， …………………………………（10 分） 此时， …………………………………………………………（12 分） 19 解：（1）当当 时 ………………………………（1 分） 当 时，不等式化为 ―푥 + 3 ― 푥 + 4 ≤ 2， ∴ 푥 ≥ 5 2, ∴ 5 2 ≤ 푥 < 3；……………（2 分） 当3 ≤ 푥 ≤ 4时，不等式化为푥 ― 3 ― 푥 + 4 ≤ 2, 明显成立；………………………（3 分） 当 时，不等式化为푥 ― 3 + 푥 ― 4 ≤ 2 ∴ 푥 ≤ 9 2， ∴ 4 < x ≤ 9 2；………………（5 分） 综上所述，不等式的解集为[5 2,9 2]；……………………………………………………（6 分） （2） 当且仅当 时取等号 …………………………（8 分） … （ 11 分） 当且仅当 ，即 时， 的最小值为 27. …………………（12 分） 20. 解：（1）由已知 ……（1 分） 将点 代入得 1C 2 2 4x y+ = (1, 1)G − G MN OG⊥ | |MN | |MN G M N′ ′ M N′ ′ MN 2 2| | 2 4 | | | | 2 4 | |M N OG MN OG′ ′ ′= − = − Rt OG G′ | | | | | | | |OG OG MN M N> ′ ∴ < ′ ′ | | 2 4 2 2 2MN = − = 1 1a b= = −， ( ) 3 4 .f x x x= − + − 3x < 4x > ( ) ( ) ( )0, 0 3 +4 3 +4 3 4 3 4a b f x x a x b x a x b a b a b> > ∴ = − + ≥ − − = − − = + ( ) ( )3 +4 0x a x b− ⋅ ≤ 3 4 1a b∴ + = ( )1 3 1 3 4 9 4 93 4 15 15 2 15 12 27b a b aa ba b a b a b a b  ∴ + = + ⋅ + = + + ≥ + ⋅ = + =   3 4 1 4 9 a b b a a b + = = 1 9 1 6 a b  =  = 1 3 a b ∴ + 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 4 3 c a be e a ba a −= = ∴ = = ∴ = 2 2 2 2 3 14 x y b b ∴ + = 31, 2  −   2 2 2 2 2 3 9 3+ 1 3, 44 4 b ab b b = = ∴ = =第 7 页 共 11 页 椭圆 E 方程为: . ………………………………………………………（3 分） （2）解法一：由已知 ， ①当 轴或在 轴上时， …………………………（4 分） ② 当 直 线 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 ， 设 直 线 方 程 为 ： 联立 得： ………………………（5 分） 设 则 ………………（6 分） …………（ 7 分） ，由椭圆对称性，以 代换上式中的 得： ………………………………………………………（8 分） 思路一: …（10 分） 当且仅当 即 时，取“=”…………………………………（11 分） ∴ 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,0F − AC x⊥ x 3, 4, 4, 3 + =7AC BD AC BD AC BD= = = = ∴或 ( ) ( )1 21,0 , 1,0F F− AC ( )1y k x= + 2 2 14 3 x y+ = ( ) ( )2 2 2 24 3 8 4 3 0k x k x k+ + + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )22 1 2 1 22 2 4 38 , .4 3 4 3 kkx x x xk k − + = − ⋅ =+ + ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 1 4 4 3 k AC k x x k x x x x k + ∴ = + − = + + − =  + AC BD⊥ 1 k − k ( )22 2 2 2 112 1 12 1 3 414 3 kkBD k k  +  + = = ++ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 2 2 2 84 1 84 1 48 74 3 3 4 4 3 3 4 2 k k AC BD k k k k + + ∴ + = ≥ = + +  + + +      2 24 3=3 4k k+ + 1k = ±第 8 页 共 11 页 而 ， 有最小值 ………………………………………………（12 分） 思路二：设 则 …………（ 10 分） 当且仅当 即 时，有最小值 .…………………（11 分） 而 ， 有最小值 ………………………………………………（12 分） 解 法 二 ： 由 已 知 ， 设 直 线 ………………………………………………（4 分） 联立 得： ………………………………（5 分） 设 则 ………………（6 分） ………（ 7 分） ，由椭圆对称性，以 代换上式中的 得： ………………………………………………………（8 分） 思 路 一 … （ 10 分） 48 77 < AC BD∴ + 48 7 2 1,t k= + 21, 1t k t> = − ( ) ( )( ) 2 2 22 84 84 84 4 1 3 1 12 1 1 1 49 2 4 t tAC BD f t t t t t t + = = = =− + + −  − − +   21 1 , 1=2, 12 t k kt = = + = ± 1k = ± 48 7 48 77 < AC BD∴ + 48 7 ( )1 1,0F − : 1AC x my= − 2 2 14 3 x y+ = ( )2 23 4 6 9 0m x my+ − − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2 6 9, .3 4 3 4 my y y ym m + = ⋅ = −+ + ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 1 4 3 4 m AC m y y m y y y y m + ∴ = + − = + + − =  + AC BD⊥ 1 m − m ( )22 2 2 112 1 12 +1 1 4 +33 4 mmBD m m  +  = = + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 2 2 2 84 1 84 1 48 74 3 3 4 4 3 3 4 2 m m AC BD m m m m + + ∴ + = ≥ = + +  + + +     第 9 页 共 11 页 当且仅当 即 时，取“=”…………………………………（11 分） 有最小值 ……………………………………………………………（12 分） 思路二：设 则 …………（ 10 分） 当且仅当 即 时，有最小值 .…………………………（11 分） 有最小值 ……………………………………………………………（12 分） 21. 解：（1） 由已知 故抛物线方程为 ………………（1 分） 依题意，设直线 方程为 联立 得： ……………………………………………………（2 分） 设 ……………………………………（3 分） …………………………………………………………………………………（5 分） 2 24 3=3 4m m+ + 1m = ± AC BD∴ + 48 7 2 1,t m= + 21, 1t m t≥ = − ( ) ( )( ) 2 2 22 84 84 84 4 1 3 1 12 1 1 1 49 2 4 t tAC BD t t t t t t ϕ+ = = = =− + + −  − − +   21 1 , 1=2,2 t mt = = + 1m = ± 48 7 AC BD∴ + 48 7 ( )2 2 0 0, 2 px py p F  = > ∴    0 2 2 3 22 2 222 2 p p p − − + = = ∴ = 2 4x y= ( )0,1F AB ( )1 0y kx k= + ≠ 2 4x y= 2 4 4 0x kx− − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 24 , 4x x k x x∴ + = ⋅ = − 2 / 4 2 x xy y= ∴ = 1 2 1 2 4, 12 2 4 4PA PB PA PB x x x xk k k k −∴ = = ∴ ⋅ = = = − PA PB∴ ⊥第 10 页 共 11 页 （2）将 代入 得 ……………………………………………（6 分） …………（ 9 分） ……………………………（10 分） ……………………………………………………………………（11 分） 若有 成立，则有 解得 故存在 成立………………………………………………（12 分） 22. 解：（1）当 时， …………………………（1 分） 在 上单调递减，又 ………（2 分） 故 存在唯一零点 ……………………………………………………（3 分） 且 在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ， . ………………………………………………………………………………（5 1y = − 1y kx= + 2 , 1N k  − −   ( )2,1M 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 11 2 1 24 4,2 2 4 2 2 4 x x y x y xk kx x x x − −− + − += = = = = =− − − − 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 4 14 4 4 4 x x x x kk k k + + + + +∴ + = + = = = + ( ) 3 1 1 2 12 kk k k − −= = + − −   1 2 3 1 1k k kλ+ = + 11 1 1 k k k λ + = + + 1λ = − 1,λ = − 使 1 2 3 1 1k k kλ+ = + 0a = ( ) ( )/ 1ln x xf x x e f x ex = − ∴ = − ( )/f x∴ ( )0 +∞， ( )/ /1 2 0, 1 1 02f e f e  = − > = − →且 ( )f x → −∞ ∴ ( )f x ( )f x ( )0 +∞， 1x ( )1 0f x > ( ) 1/ 1 1 1 =0x af x ex −= − 1 1 1 = x aex − 1 1lna x x= + ( ) 1 1 1 1 1 1 1ln 2lnx af x x e a x xx −∴ = − + = − + ( ) ( ) 2 / 2 1 2 1 12ln 1 1 0g t t t g tt t t t  = − + ∴ = + + = + >   ( )g t∴ ( )0 +∞， ( ) ( )1 0 0 1g g t t= ∴ > ⇔ > ( )1 0f x > 1 1x > lny x x= + ( )0 +∞， 1 1ln 1a x x∴ = + > a∴ ( )1 +∞，