佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 1 页 共 10 页
佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试试题
数学（文科）
命题人：张斌、简俊敏 审题人：熊艳桃
本试题卷共 4 页，23 题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合푀 = {푥|푥2 = 푥),푁 = {푥|푙푔푥 ≤ 0)，则푀 ∪ 푁 = ( )
A. [0,1) B. (0,1] C. [0,1] D. ( ― ∞,1]
2. 若复数푧 = 푚(푚 ― 1) + (푚 ― 1)푖是纯虚数，其中 m 是实数，则 ( )．
A. ―푖 B. i C. 2i D. ―2푖
3. 已知훼,훽表示两个不同的平面,m 为平面훼内的一条直线，则“훼 ⊥ 훽”是“푚 ⊥ 훽”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知푠푖푛2훼 = 2
3, 则cos2(훼 + 휋
4) = ( )
A. 1
6 B. 1
3 C. 1
2 D. 2
3
5. 已知函数푓(푥) = 푥2 ⋅ sin(푥 ― 휋)，则其在区间[ ― 휋,휋]上的大致图象是( )
A. B. C. D.
6. 曲线푥2 +(푦 ― 1)2 = 1(푥 ≤ 0)上的点到直线푥 ― 푦 ― 1 = 0的距离最大值为 a，最小值为 b，
则푎 ― 푏的值是( )
A. 2 B. 2 C. 2
2 +1 D. 2 ―1
7. 已知等差数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛，푎1 ― 푎5 ― 푎10 ― 푎15 + 푎19 = 2,
则 的值为 ( )
A. 38 B. ―19 C. ―38 D. 19
8. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是顶角为 的
等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．20π B．16π C．8π D．17π
=
z
1
19S
3
2π佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 2 页 共 10 页
9. 已知定义在(0, + ∞)上的函数 ， ，设两曲线푦 = 푓(푥)与
在公共点处的切线相同，则 m 值等于( )
A. 5 B. 3 C. ―3 D. ―5
10. 若函数 在区间 上不是单调函数，则函数푓(푥)在 R 上
的极小值为( )
A. B. C. 0 D.
11. 如图所示,在棱长为 a 的正方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1中， E 是棱퐷퐷1的
中点，F 是侧面퐶퐷퐷1퐶1上的动点， 且 , 则 F 在侧面퐶퐷
퐷1퐶1上的轨迹的长度是( )
A. a B. C. D.
12. 设椭圆 的焦点为 , ，P 是椭圆上一点, 且 , 若훥
퐹1푃퐹2的外接圆和内切圆的半径分别为 , ，当푅 = 4푟时，椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知直线푙1：푥 + 푎푦 + 6 = 0和푙2：(푎 ― 2)푥 + 3푦 + 2푎 = 0，若 ，则 .
14. 已知函数 ， 若 恒成立，则 的取值范围为______ ．
15. 设等比数列{푎푛}满足푎1 + 푎3 = 10，푎2 + 푎4 = 5，则 的最大值为______．
16. 已知函数 ，点 P，Q，R 是直线 与函数푓(푥)
的图象自左至右的某三个相邻交点，且 ，则 ______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
（一）必考题：60 分.
17. （本小题满分 12 分）已知푆푛为数列{푎푛}的前 n 项和，且푆푛 = 2푎푛 ―휆(휆是非零常数)．
（1）求 的通项公式（答案含 ）；
（2）设푏푛 = 2푎푛 +( ― 1)푛log2푎푛，当푎1 = 1时，求数列{푏푛}的前 n 项和 ．
mxxf += 2)( xxxg 4ln6)( −=
)(xgy =
bxxbxxf 2)21(3
1)( 23 ++−= [ ]1,3−
3
42 −b 3
2
2
3 −b 32
6
1 bb −
BEAFB 11 //面
2
a a2 2
2a
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
1F 2F 321
π=∠ PFF
R r
5
4
3
2
2
1
5
1
21 //ll =a
xxxf −= ln)( 01)( ≤+− mxf m
naaa 21
)0(2
1)6sin()( >++= ωπωxxf )0( >= mmy
3
22
π== QRPQ =+ mω
{ }na λ
nT佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 3 页 共 10 页
18. （本小题满分 12 分）
如图，在 △ 퐴퐵퐶中，点 P 在 BC 边上，∠푃퐴퐶 = 60∘，푃퐶 = 2，퐴푃 + 퐴퐶 = 4．
(Ⅰ)求∠퐴퐶푃；
(Ⅱ)若 △ 퐴푃퐵的面积是3 3
2
，求sin∠퐵퐴푃．
19. （本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若AD = 2푃퐴 = 2푃퐷 = 2퐴퐵，且四棱锥的侧面积为6 + 2 3，求该四棱锥 P﹣
ABCD 的体积．
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 C： 的两个焦点分别为 , , 离心率为 , 过퐹1的直
线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 △ 푀푁퐹2的周长为 8．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若直线 AB 与椭圆 C 分别交于 A,B 两点，且푂퐴 ⊥ 푂퐵，试问点 O 到直线 AB 的距离是否
为定值，证明你的结论．
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
1F 2F 2
1佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 4 页 共 10 页
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 ．
(Ⅰ) 若函数푓(푥)有零点,求实数 a 的取值范围；
(Ⅱ) 证明：当 ， 时， ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线퐶1：푥 + 푦 = 1与曲线 为参数），
以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线 ， 的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知 l：휃 = 훼(휌 > 0)与퐶1,퐶2的公共点分别为 A,B， ，当
时，求 的值．
23. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 ．
(1)求使得 的 的取值集合 ；
(2)求证：对任意实数 , （ ），当 时， 恒成
立．
)0(ln)( >+= ax
axxf
ea 2≥ 1>b bbf 1)(ln >
ϕϕ
ϕ
（
=
+=
sin2
cos22:2 y
xC
1C 2C
)2,0(
πα ∈
4=
OA
OB α
21)( −+−= xxxf
2)( >xf x M
a b 0≠a MCx R∈ )(xfababa ≥−++佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 5 页 共 10 页
佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试答案
数学（文科）
一、选择题 CBBAD CCADA DB
12.解：椭圆的焦点为퐹1( ― 푐,0),퐹2(푐,0),|퐹1퐹2| = 2푐, 根据正弦定理可得2푅 = |퐹1퐹2|
sin∠퐹1푃퐹2
=
2푐
sin휋
3
=
4 3푐
3 , ∴ 푅 = 2 3푐
3 ,푟 = 1
4푅 = 3푐
6 ．设|푃퐹1| = 푚,|푃퐹2| = 푛,则푚 + 푛 = 2푎,
由余弦定理得,4푐2 = 푚2 + 푛2 ―2푚푛푐표푠휋
3 = (푚 + 푛)2 ―3푚푛 = 4푎2 ―3푚푛, ∴ 푚푛 = 4(푎2 ― 푐2)
3 ,
∴ 푆△퐹1푃퐹2 = 1
2푚푛sin휋
3 = 3(푎2 ― 푐2)
3 ,又푆△퐹1푃퐹2 = 1
2(푚 + 푛 + 2푐) ⋅ 푟 = 3푐(푎 + 푐)
6 ,
∴ 3(푎2 ― 푐2)
3 = 3(푎 + 푐)푐
6 ,即2푎2 ―3푐2 ―푎푐 = 0,故3푒2 +푒 ― 2 = 0, 解得：푒 = 2
3或푒 = ―1(舍)．
故选：B．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. ； 14. ; 15. 64; 16. 3
16. 解：函数푓(푥) = sin(휔푥 + 휋
6) + 1
2(휔 > 0),由2|푃푄| = |푄푅| = 2휋
3 ,解得|푃푄| = 휋
3,
∴ 푇 = |푃푄| + |푄푅| = 휋, ∴ 휔 = 2휋
푇 = 2, 设푃(푥0,푚),则푄(푇
2 ― 푥0,푚),푅(푇 + 푥0,푚),
∴ |푃푄| = 푇
2 ―2푥0,|푄푅| = 푇
2 +2푥0, ∴ 2(푇
2 ―2푥0) = 푇
2 +2푥0, 解得푥0 = 푇
12 = 휋
12,
∴ 푚 = sin(2 × 휋
12) + 1
2 = 1
2 + 1
2 = 1, ∴ 휔 + 푚 = 2 + 1 = 3．故答案为：3．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 解：（1）当푛 ≥ 2时,푆푛 = 2푎푛 ―휆.①, 푆푛―1 = 2푎푛―1 ―휆②，
① ― ②可得푎푛 = 2푎푛―1(푛 ≥ 2), ………………………………2 分
当푛 = 1时,푎1 = 휆, …………………………………3 分
故数列{푎푛}的通项公式为푎푛 = 휆2푛―1． …………………………………4 分
（2）由푎1 = 1时,知푎푛 = 2푛―1, 故푏푛 = 2푛 +( ― 1)푛(푛 ― 1), …………………5 分
当 n 为正偶数时，
…………………………8 分
1− ),0[ +∞
)1()2(3210222 2 −+−−−+−+−+++= nnT n
n
222221
)21(2 1 nn n
n
+−=+−
−= +佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 6 页 共 10 页
当 n 为正奇数时， …11 分
综上，数列{푏푛}的前 n 项和 ． …………………………12 分
18.解：(Ⅰ) 在 △ 퐴푃퐶中，因为∠푃퐴퐶 = 60∘，푃퐶 = 2，퐴푃 + 퐴퐶 = 4，
由余弦定理得푃퐶2 = 퐴푃2 +퐴퐶2 ―2 ⋅ 퐴푃 ⋅ 퐴퐶 ⋅ cos∠푃퐴퐶，……………………………1 分
所以22 = 퐴푃2 +(4 ― 퐴푃)2 ―2 ⋅ 퐴푃 ⋅ (4 ― 퐴푃) ⋅ cos60∘，
整理得퐴푃2 ―4퐴푃 + 4 = 0， …………………………………………………………2 分
解得 ……………………………………………………………………………3 分
所以 ……………………………………………………………………………4 分
所以 △ 퐴푃퐶是等边三角形 ……………………………………………^………………5 分
所以 …………………………………………………………………6 分
(Ⅱ) 法 1：由于∠퐴푃퐵是 △ 퐴푃퐶的外角，所以 …………………7 分
因为 △ 퐴푃퐵的面积是3 3
2 ，所以1
2 ⋅ 퐴푃 ⋅ 푃퐵 ⋅ sin∠퐴푃퐵 = 3 3
2 . ………………………8 分
所以푃퐵 = 3 ……………………………………………………………………………9 分
在 △ 퐴푃퐵中，퐴퐵2 = 퐴푃2 +푃퐵2 ―2 ⋅ 퐴푃 ⋅ 푃퐵 ⋅ cos∠퐴푃퐵 = 22 + 32 ―2 × 2 × 3 × cos120∘ = 19，
所以퐴퐵 = 19 ……………………………………………………………………10 分
在 △ 퐴푃퐵中，由正弦定理得 퐴퐵
sin∠퐴푃퐵 = 푃퐵
sin∠퐵퐴푃， …………………………………………11 分
所以sin∠퐵퐴푃 = 3sin120∘
19 = 3 57
38 . ……………………12 分
法 2：作퐴퐷 ⊥ 퐵퐶，垂足为 D，
因为 △ 퐴푃퐶是边长为 2 的等边三角形，
所以푃퐷 = 1,퐴퐷 = 3,∠푃퐴퐷 = 30∘. ……………………7 分
因为 △ 퐴푃퐵的面积是3 3
2 ，所以1
2 ⋅ 퐴퐷 ⋅ 푃퐵 = 3 3
2 . ………………………………………8 分
所以푃퐵 = 3. ……………………………………………………………………………9 分
所以퐵퐷 = 4．
在푅푡 △ 퐴퐷퐵中，퐴퐵 = 퐵퐷2 + 퐴퐷2 = 19，……………………………………………10 分
所以sin∠퐵퐴퐷 = 퐵퐷
퐴퐵 = 4
19，cos∠퐵퐴퐷 = 퐴퐷
퐴퐵 = 3
19．
所以sin∠퐵퐴푃 = sin(∠퐵퐴퐷 ― 30∘) = sin∠퐵퐴퐷cos30∘ ― cos∠퐵퐴퐷sin30∘ ……………11 分
= 4
19 × 3
2 ― 3
19 × 1
2 = 3 57
38 . ……………………………………………………………12 分
2
3
2222
122 112
11 −−=−−++−=−= +++
++
nnnbTT nnn
nnn
−+
−−
=
+
+
为偶数
为奇数
nn
nn
T
n
n
n
,222
,2
3
22
1
1
2=AP
2=AC
°=∠ 60ACP
°=∠ 120APB佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 7 页 共 10 页
19. （1）证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°．
∴AB⊥AP，CD⊥PD，…………………………………………………………………1 分
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，
∴AB⊥PD，………………………………………………………………………………2 分
又 PA∩PD＝P，PA⊂平面 PAD，PD⊂平面 PAD， …………………………………3 分
∴AB⊥平面 PAD， …………………………………………………………………4 分
又 AB⊂平面 PAB，
∴平面 PAB⊥平面 PAD．………………………………………………………………5 分
（2）解：取 AD，BC 的中点 M，N，连接 PM，MN，PN，
由（1）知 AB⊥平面 PAD，故 AB⊥AD，AB⊥PM，……………………………………6 分
∴MN＝AB，MN∥AB，∴BC⊥MN，
∵PA＝PD，M 是 AD 的中点，∴PM⊥AD，
又 ，
∴PM⊥平面 ABCD，………………………………………………………………………7 分
∴PM⊥BC，
∴BC⊥平面 PMN，故 BC⊥PN． ………………………………………………………8 分
设 AB＝PA＝PD＝x，则 AD = 2x，PM = 2
2 x，MN＝x，
∴PN = 푀푁2 + 푃푀2 =
6
2 x， ……………………………………………………………9 分
∴四棱锥 P﹣ABCD 的侧面积为1
2푥2 × 2 +
1
2 × 2푥 ×
2
2 푥 +
1
2 × 2푥 ×
6
2 푥 = 6+2 3，
解得 x＝2，即 AB＝2，∴AD＝2 2，PM = 6， ……………………………………11 分
∴四棱锥的体积 V = 1
3푆矩形퐴퐵퐶퐷 ⋅ 푃푀 =
1
3 × 2 × 2 2 × 2 =
8
3． …………………12 分
20.解：(1)由题意知,4푎 = 8,则푎 = 2, …………………………………………………1 分
由椭圆离心率푒 = 푐
푎 = 1 ― 푏2
푎2 = 1
2,则푏2 = 3．……………………………………………3 分
∴ 椭圆 C 的方程푥2
4 + 푦2
3 = 1； ……………………………………………………………4 分
(2)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设퐴(푥0,푥0),퐵(푥0, ― 푥0).
AADAB = ABCDADAB 面⊂,佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 8 页 共 10 页
又 A,B 两点在椭圆 C 上,
∴ 푥20
4 + 푥20
3 = 1,푥20 = 12
7 ,
∴ 点 O 到直线 AB 的距离푑 = 12
7 = 2 21
7 , ………………………………………………5 分
当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为푦 = 푘푥 + 푚． …………………………6 分
设퐴(푥1,푦1),퐵(푥2,푦2)
联立方程{푦 = 푘푥 + 푚
푥2
4 + 푦2
3 = 1 ,消去 y 得(3 + 4푘2)푥2 +8푘푚푥 + 4푚2 ―12 = 0． ……………7 分
由已知훥 > 0,푥1 + 푥2 = ― 8푘푚
3 + 4푘2,푥1푥2 = 4푚2 ― 12
3 + 4푘2 , ………………………………………8 分
由푂퐴 ⊥ 푂퐵,则푥1푥2 + 푦1푦2 = 0,即푥1푥2 +(푘푥1 +푚)(푘푥2 +푚) = 0, …………………9 分
整理得：(푘2 +1)푥1푥2 +푘푚(푥1 + 푥2) + 푚2 = 0,
∴ (푘2 +1)4푚2 ― 12
3 + 4푘2 ― 8푘2푚2
3 + 4푘2 + 푚2 = 0．
∴ 7푚2 = 12(푘2 +1),满足훥 > 0． ……………………………………………………10 分
∴ 点 O 到直线 AB 的距离 为定值．…………………………11 分
综上可知：点 O 到直线 AB 的距离푑 = 2 21
7 为定值． …………………………………12 分
21.解：(Ⅰ)法 1：函数푓(푥) = 푙푛푥 + 푎
푥的定义域为(0, + ∞)．
由푓(푥) = 푙푛푥 + 푎
푥,得푓′(푥) = 1
푥 ― 푎
푥2 = 푥 ― 푎
푥2 . ……………………………………………1 分
因为푎 > 0,则푥 ∈ (0,푎)时, ；푥 ∈ (푎, + ∞)时, ．
所以函数푓(푥)在(0,푎)上单调递减,在(푎, + ∞)上单调递增 ………………………2 分
当푥 = 푎时,[푓(푥)]푚푖푛 = 푙푛푎 + 1. ………………………………………………………3 分
当푙푛푎 + 1 ≤ 0,即0 < 푎 ≤ 1
푒时,又푓(1) = 푙푛1 + 푎 = 푎 > 0函数푓(푥)有零点 …………4 分
所以实数 a 的取值范围为 …………………………………………………………5 分
法 2：函数푓(푥) = 푙푛푥 + 푎
푥的定义域为(0, + ∞)．
由푓(푥) = 푙푛푥 + 푎
푥 = 0,得푎 = ―푥푙푛푥. ……………………………………………………1 分
令푔(푥) = ―푥푙푛푥,则 ．
当푥 ∈ (0,1
푒)时, ； 当푥 ∈ (1
푒, + ∞)时, ．
]1,0( e佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 9 页 共 10 页
所以函数푔(푥)在(0,1
푒)上单调递增,在(1
푒, + ∞)上单调递减. ……………………………2 分
故푥 = 1
푒时,函数푔(푥)取得最大值푔(1
푒) = ― 1
푒ln1
푒 = 1
푒. …………………………………3 分
因而函数푓(푥) = 푙푛푥 + 푎
푥有零点,则0 < 푎 ≤ 1
푒. …………………………………………4 分
所以实数 a 的取值范围为 ……………………………………………………5 分
(Ⅱ)证明：令ℎ(푥) = 푥푙푛푥 + 푎,则 ．
当0 < 푥 < 1
푒时, ；当푥 > 1
푒时, ．
所以函数ℎ(푥)在(0,1
푒)上单调递减,在(1
푒, + ∞)上单调递增．
当푥 = 1
푒时,[ℎ(푥)]푚푖푛 = ― 1
푒 +푎. …………………………………………………………6 分
于是,当푎 ≥ 2
푒时,ℎ(푥) ≥ ― 1
푒 +푎 ≥ 1
푒.① …………………………………………………7 分
令휑(푥) = 푥푒―푥,则 ．
当0 < 푥 < 1时, ；当푥 > 1时, ．
所以函数휑(푥)在(0,1)上单调递增,在(1, + ∞)上单调递减．
当푥 = 1时,[휑(푥)]푚푎푥 = 1
푒. ………………………………………………………………8 分
于是,当푥 > 0时,휑(푥) ≤ 1
푒.②………………………………………………………………9 分
显然,不等式①、②中的等号不能同时成立．
故当푥 > 0,푎 ≥ 2
푒时,푥푙푛푥 + 푎 > 푥푒―푥. …………………………………………………10 分
因为푏 > 1,所以푙푛푏 > 0．
所以푙푛푏 ⋅ ln(푙푛푏) +푎 > 푙푛푏 ⋅ 푒―푙푛푏.
所以ln(푙푛푏) + 푎
푙푛푏 > 1
푏,即푓(푙푛푏) > 1
푏. ……………………………………………………12 分
22. 解(1) 因 ， ，……………………………………………1 分
曲线퐶1的极坐标方程为휌(푐표푠휃 + 푠푖푛휃) = 1,即휌푠푖푛(휃 + 휋
4) = 2
2 ．……………………2 分
曲线퐶2 的普通方程为(푥 ― 2)2 + 푦2 = 4,即푥2 + 푦2 ―4푥 = 0, ………………………3 分
所以曲线퐶2 的极坐标方程为휌 = 4푐표푠휃． ……………………………………………4 分
(2)由(1)知|푂퐴| = 휌퐴 = 1
cos훼 + sin훼,|푂퐵| = 휌퐵 = 4푐표푠훼,
]1,0( e
θρ cos=x θρ sin=y佛山一中 2019-2020 学年上学期高三期中考试（文科数学） 第 10 页 共 10 页
∵ |푂퐵|
|푂퐴| = 4푐표푠훼(푐표푠훼 + 푠푖푛훼) = 4(1 + 푐표푠2훼 + 푠푖푛2훼) = 4 + 4 2sin(2훼 + 휋
4) ……7 分 ∵ |푂퐵|
|푂퐴|
= 4 ∴ 4 + 4 2sin(2훼 + 휋
4) = 4, ∴ sin(2훼 + 휋
4) = 0 ………………………………8 分
由0 < 훼 < 휋
2,知휋
4 < 2훼 + 휋
4 < 5휋
4 , ………………………………………………………9 分
当2훼 + 휋
4 = 휋时, ∴ 훼 = 3휋
8 ．………………………………………………………………10 分
23.解：(1)由푓(푥) > 2,即|푥 ― 1| + |푥 ― 2| > 2．
而|푥 ― 1| + |푥 ― 2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和, …………1 分
而数轴上满足|푥 ― 1| + |푥 ― 2| = 2的点的坐标为1
2和5
2, ……………………………3 分
故不等式|푥 ― 1| + |푥 ― 2| > 2的解集为{푥|푥 < 1
2或푥 > 5
2}, ………………………5 分
(2)证明：要证|푎 + 푏| + |푎 ― 푏| ≥ |푎|푓(푥),
只需证 푓(푥) ≤ |푎 + 푏| + |푎 ― 푏|
|푎| ， ………………………………………………………6 分
∵ |푎 + 푏| + |푎 ― 푏| ≥ |푎 + 푏 + 푎 ― 푏| = 2|푎|,当且仅当(푎 + 푏)(푎 ― 푏) ≥ 0时取等号 ,
∴ |푎 + 푏| + |푎 ― 푏|
|푎| ≥ 2, ………………………………………………………………………8 分
由（1），当 时， ………………………………………………9 分
原命题成立. ………………………………………………………………………10 分
MCx R∈ 2)( ≤xf
a
babaxf
−++≤∴ )(
∴
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