泉港一中 2020 届高三上学期文科数学期中考试
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．等差数列 中， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
4．设 ，则( )
A． B． C． D．
5. 在正方体 中， 分别为 的中点，则 与平面
的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
6. 下列函数：① ；② ；
③ ；④ ．其中最小值为 的函数有( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．若数列 满足 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
8．函数 的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单
位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象( )
A．关于点 对称 B．关于点 对称
{ }2 1 6A x x= + ≤ [ 1,4]B = − A B =
5( , ]2
−∞ ( ,4]−∞ 5[ 1, ]2
− [ 1,3]−
3sin( ) ,02 2
π ϕ ϕ π+ = < < tanϕ =
3
3
3
3
− 3− 3
{ }na 1 1= −a 2 4 6+ =a a 5 4
− =S S
5 6 7 9
0.3
2
1log 3, 2 , log 3a b cπ= = =
a b c> > a c b> > c a b> > b a c> >
1 1 1 1
−ABCD A B C D ,M N 1 ，A B AC MN 1 1BB C C
( )4 0y x xx
= + > ( )1 1 11y x xx
= + + >−
1cos (0 )cos 2y x xx
π= + < < ( )4ln 0lny x xx
= + > 4
1 2 3 4
{ }na 1 12, 1n n na a a a+= = − 2019a
2 1
2 1− 1
( ) ( ) πsin 0, 2f x xω φ ω φ = + > f x x
3≥x ( ) ( )2 1≥ −f x a x a
{ }na n nS 2 2 3
12 , 22a S a= + =
{ }na
2log 3n nb a= +
1
1
n nb b +
n nT 1
3nT > n20.（12 分）
已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ， ， 是
的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 ，若 为 上的动点，若 面积的最小值为 ，求四棱锥
的体积．
21．（12 分）
已知函数 ．
（1） 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的极值；
（3）若对任意的 ，恒有 ，求实数 的取值范围．
ABCDP − ABCD ⊥PA ABCD 060=∠ABC E BC
PBD ⊥ PAC
2=AB H PD AHE∆
2
6 ABCDP −
1ln)( +−= pxxxf ( )p R∈
1p = ( )y f x= (1, (1))f
( )f x
0>x 2 2( )f x p x≤ p
泉港一中 2020 届高三上学期文科数学期中考试
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分，每小题只有一个答案是正确的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C D B B A C D D A B
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题：（本题共 6 个小题，共 70 分.）
17. （本小题满分 10 分）
解：（1）∵ ，且 ，∴ ．又∵ ，
∴ ．∴ ． ……2 分
∵ , ，
∴ ； ……5 分
5 1−
6
π
4038（2） ∵ ，
且 , ， ，
∴ ，∴ ． ……7 分
又∵ ， ……9 分
∴ ， ……10 分
又∵在 中, ,∴ ,即 ,
∴ ． ……12 分（也可分离参数求解，相应得分）
19．（本题满分 12 分）
(1)由题意知, ,∴ ,得 , ……2 分
设等比数列 的公比为 ,
又∵ ,∴ ,化简得 , ……4 分
解得 . ……5 分
∴ . ……6 分
(2)由(1)知, . ……7 分
2 2
12 2a S= + 2 1 2
12 2a a a= + + 2 1
1
2a a= +
{ }na q
3 2a = 2
2 2 1
2q q
= + 2 4 4 0q q− + =
2q =
3 3 2
3 2 2 2n n n
na a q − − −= ⋅ = ⋅ =
2log 3n nb a= + 2
2log 2 3 2 3 1n n n−= + = − + = +∴ ,
.
……10 分
令 ,得 ,解得 ,
∴满足 的正整数 的最小值是 5. ……12 分
20．（本题满分 12 分）（1）∵四边形 是菱形 ∴
平面
∴
又 ∴
又∵
∴ ……4 分
（2）∵四边形 是菱形， ，
∴ 为等边三角形。
∵ 是 的中点，∴
平面 ，
又∵ ,且
……7 分源:学_科_网]
为直角三角形，
中， ，
当 最短时，即 时， 面积的最小存在 ……9 分源
此时， ．
又 ，所以 ， 所以
( )( )1
1 1 1 1
1 2 1 2n nb b n n n n+
= = −+ + + +
( )
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 1 2
1 1
2 2 2 2
+
∴ = + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ −+ +
= − =+ +
n
n
n
T b b b b b b n n
n
n n
1
3nT > ( )
1
2 2 3
n
n
>+ 4n >
1
3nT > n
ABCD AC BD⊥
PA ⊥ ABCD BD ABCD⊂ 平面
PA BD⊥
PA AC A= BD PAC⊥ 平面
BD PBD⊂ 平面
PBD PAC⊥平面 平面
ABCD 060=∠ABC
ABC∆
E BC ,AE BC⊥
/ / ,BC AD AE AD∴ ⊥又
PA ⊥ ABCD ,AE ABCD PA AE⊂ ∴ ⊥平面
PA AD A∩ = ,PA PAD AD PAD⊂ ⊂平面 平面
AE PAD∴ ⊥ 平面
,AE AH AEH∴ ⊥ ∴∆
Rt EAH△ 3AE =
AH AH PD⊥ AHE∆
1 6
2 2EAHS EA AH∆ = ⋅ = 即 2AH =
2AD = 45ADH∠ = 2PA =所以 ……12 分
21．（本小题满分 12 分）
解：（1） ，
曲线 在点 处的切线方程为： ……2 分
（2）
当 时， 在 上递增，函数 无极值； ……4 分
当 时， 上 单调递增； 上 单调递减
的极大值为 ， 无极小值 ……6 分
（3）记
……7 分
当 时， 不符合条件 ……8 分
当 时， 上 单调递增；
上 单调递减
的最大值为 ……10 分
当 时， 上 单调递增；
上 单调递减
的最大值为
3
34=− ABCDPV
1, '(1) 1 1 0, (1) 0 1 1 0p f f= = − = = − + =
∴ ( )y f x= (1, (1))f 0y =
1'( ) ( 0)f x p xx
= − >
0p ≤ '( ) 0, ( )f x f x> (0, )+∞ ( )f x
0p > 1(0, )p '( ) 0, ( )f x f x> 1( , )p
+∞ '( ) 0, ( )f x f x<
( )f x∴ 1( ) lnf pp
= − ( )f x
2 2 2 2( ) ( ) ln 1 ( 0)g x f x p x x px p x x= − = − + − >
21 ( 1)(2 1)'( ) 2 px pxg x p p xx x
+ −∴ = − − = −
0p = ( ) ln 1, ( ) 0g x x g e= + >
0p > 1 0,px + > 1(0, )2p '( ) 0, ( )g x g x>
1( , )2p
+∞ '( ) 0, ( )g x g x<
( )g x∴
41 1( ) ln(2 ) 0,2 4 2
eg p pp
= − + ≤ ∴ ≥
0p < 2 1 0,px − < 1(0, )p
−
'( ) 0, ( )g x g x>
1( , )p
− +∞ '( ) 0, ( )g x g x<
( )g x∴ 1( ) ln( ) 1 0,g p p ep
− = − − + ≤ ∴ ≤ −所以 的取值范围是 ……12 分
泉港一中 2020 届高三上学期文科数学期中考试
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分，每小题只有一个答案是正确的）
p
4
( , ] [ , )2
ee−∞ − +∞题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C D B B A C D D A B
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题：（本题共 6 个小题，共 70 分.）
17. （本小题满分 10 分）
解：（1）∵ ，且 ，∴ ．又∵ ，
∴ ．∴ ． ……2 分
∵ , ，
∴ ； ……5 分
（2） ∵ ，
且 , ， ，
∴ ，∴ ． ……7 分
又∵ ， ……9 分
∴ ， ……10 分
又∵在 中, ,∴ ,即 ,
∴ ． ……12 分
5 1−
6
π
4038（也可分离参数求解，相应得分）
19．（本题满分 12 分）
(1)由题意知, ,∴ ,得 , ……2 分
设等比数列 的公比为 ,
2 2
12 2a S= + 2 1 2
12 2a a a= + + 2 1
1
2a a= +
{ }na q又∵ ,∴ ,化简得 , ……4 分
解得 . ……5 分
∴ . ……6 分
(2)由(1)知, . ……7 分
∴ ,
.
……10 分
令 ,得 ,解得 ,
∴满足 的正整数 的最小值是 5. ……12 分
20．（本题满分 12 分）（1）∵四边形 是菱形 ∴
平面
∴
又 ∴
又∵
∴ ……4 分
（2）∵四边形 是菱形， ，
∴ 为等边三角形。
∵ 是 的中点，∴
平面 ，
又∵ ,且
……7 分源:学_科_网]
为直角三角形，
3 2a = 2
2 2 1
2q q
= + 2 4 4 0q q− + =
2q =
3 3 2
3 2 2 2n n n
na a q − − −= ⋅ = ⋅ =
2log 3n nb a= + 2
2log 2 3 2 3 1n n n−= + = − + = +
( )( )1
1 1 1 1
1 2 1 2n nb b n n n n+
= = −+ + + +
( )
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 1 2
1 1
2 2 2 2
+
∴ = + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ −+ +
= − =+ +
n
n
n
T b b b b b b n n
n
n n
1
3nT > ( )
1
2 2 3
n
n
>+ 4n >
1
3nT > n
ABCD AC BD⊥
PA ⊥ ABCD BD ABCD⊂ 平面
PA BD⊥
PA AC A= BD PAC⊥ 平面
BD PBD⊂ 平面
PBD PAC⊥平面 平面
ABCD 060=∠ABC
ABC∆
E BC ,AE BC⊥
/ / ,BC AD AE AD∴ ⊥又
PA ⊥ ABCD ,AE ABCD PA AE⊂ ∴ ⊥平面
PA AD A∩ = ,PA PAD AD PAD⊂ ⊂平面 平面
AE PAD∴ ⊥ 平面
,AE AH AEH∴ ⊥ ∴∆中， ，
当 最短时，即 时， 面积的最小存在 ……9 分源
此时， ．
又 ，所以 ， 所以
所以 ……12 分
21．（本小题满分 12 分）
解：（1） ，
曲线 在点 处的切线方程为： ……2 分
（2）
当 时， 在 上递增，函数 无极值； ……4 分
当 时， 上 单调递增； 上 单调递减
的极大值为 ， 无极小值 ……6 分
（3）记
……7 分
当 时， 不符合条件 ……8 分
当 时， 上 单调递增；
上 单调递减
的最大值为 ……10 分
当 时， 上 单调递增；
Rt EAH△ 3AE =
AH AH PD⊥ AHE∆
1 6
2 2EAHS EA AH∆ = ⋅ = 即 2AH =
2AD = 45ADH∠ = 2PA =
3
34=− ABCDPV
1, '(1) 1 1 0, (1) 0 1 1 0p f f= = − = = − + =
∴ ( )y f x= (1, (1))f 0y =
1'( ) ( 0)f x p xx
= − >
0p ≤ '( ) 0, ( )f x f x> (0, )+∞ ( )f x
0p > 1(0, )p '( ) 0, ( )f x f x> 1( , )p
+∞ '( ) 0, ( )f x f x<
( )f x∴ 1( ) lnf pp
= − ( )f x
2 2 2 2( ) ( ) ln 1 ( 0)g x f x p x x px p x x= − = − + − >
21 ( 1)(2 1)'( ) 2 px pxg x p p xx x
+ −∴ = − − = −
0p = ( ) ln 1, ( ) 0g x x g e= + >
0p > 1 0,px + > 1(0, )2p '( ) 0, ( )g x g x>
1( , )2p
+∞ '( ) 0, ( )g x g x<
( )g x∴
41 1( ) ln(2 ) 0,2 4 2
eg p pp
= − + ≤ ∴ ≥
0p < 2 1 0,px − < 1(0, )p
−
'( ) 0, ( )g x g x>上 单调递减
的最大值为
所以 的取值范围是 ……12 分
1( , )p
− +∞ '( ) 0, ( )g x g x<
( )g x∴ 1( ) ln( ) 1 0,g p p ep
− = − − + ≤ ∴ ≤ −
p
4
( , ] [ , )2
ee−∞ − +∞
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