2019-2020 学年度秋四川省泸县二中高三期中考试
理科数学试题
第 I 卷(选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知全集 ， ， ，则集合
A. B. C. D.
2．设 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为
A．1 B．-1 C．-2 D．2
3．已知命题 ： ， ，则 为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4．
A． B． C． D．
5．函数 在 上单调递减，关于 的不等式 的解集是
A. B.
C. D.
6．已知实数 满足 ，则 的最大值为
A.-4 B. C.-1 D.-2
7．若方程 的解为 ，则 所在区间为
A． B． C． D．
8．曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为
U = R { | 0}A x x= ≤ { | 1}B x x= ≥ ( )UC A B =
{ | 0}x x ≥ { | 1}x x ≤ { | 0 1}x x≤ ≤ { | 0 1}x x< <
i z ( )1 3z i z− = + z
p x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + > p¬
x R∃ ∉ 2 1 0x x+ + ≤ x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + ≤
x R∃ ∉ 2 1 0x x+ + > x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + >
sin40 sin10 cos40 sin80+ =
1
2
3
2
− cos50 3
2
( )f x R x 2( ) (2)f x f>
{ }| 2x x > { }| 2x x <
{ | 2 2}x x− < < { | 2 2}x x x− 或
,x y
1 0
2 0
0
x y
x y
x
− + ≤
+ − ≤
≥
2z x y= −
5
2
−
3( ) 2f x x x= + − P 4 1 0x y+ + = PA． B． 或 C． D． 或
9．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递减 D．在区间 上单调递增
10．设函数 ，若 是奇函数，则 的值是
A.1 B.3 C.－3 D.－1
11．已知函数 ，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 ，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．已知向量 ，若向量 与 垂直，则 ______．
14．函数 的一段图象如图所示 则 的解析
式为______．
15．已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0，则 a－b＝________．
16．若点 P 是曲线 上的任意一点，则点 P 到直线 的最小距离是
________.
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，
(1,0) (1,0) ( 1, 4)− − (2,8) (2,8) ( 1, 4)− −
3 2 3y sin x
π
＝ ＋
2
π
7,12 12
π π
7,12 12
π π
,6 3
π π − ,6 3
π π −
( ) 2
21 log 2
xf x x
+ = −
( )f a b= ( )4f a− =
b 2 b− b− 4 b−
( ) ( )1 2 1a b m= − = ， ， ， a b+ a m =
( ) ( )sin ( 0, 0, )2f x A x A
πω ϕ ω ϕ= + > > < . ( )f x
2 lny x x= − 2y x= −每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）若 ，求函数 的最大值以及取得最大值时 的值.
18．已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小值；
(Ⅱ)求实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
19．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
（Ⅰ）求证： 成等差数列；
(Ⅱ)若 ， 的面积为 ，求 .
2 2( ) 2 3sin cos cos sinf x x x x x= + −
( )f x
(0, )2x
π∈ ( )f x x
2( ) 2 2, [ 5,5]f x x ax x= + + ∈ −
( )f x
a ( )y f x= [ 5,5]−
ABC∆ , ,A B C , ,a b c (1 cos ) (2 cos )b C c B+ = −
, ,a c b
3C
π= ABC∆ 4 3 c20. （本小题满分 12 分）
如图，平面 内等腰直角三角形 ，其中 ，点 C，D 分别为 和 的中点，
现将 沿 折起构成二面角 ，连接 ，取 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
(Ⅱ)当二面角 为 时，求二面角 的余弦值．
21．已知函数 有两个零点．
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
(Ⅱ)设 ， （ ）是 的两个零点，证明： ．
α ABP AB AP= BP AP
PCD∆ CD P CD A− − ,PB PA E PB
PAB ⊥ CDE
P CD A− − 60° A DE C− −
( ) ( 1)xf x e a x= − −
a
1x 2x 1 2x x< ( )f x 1 2 1 2x x x x⋅ < +（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以平面直角坐标系的
原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程，并指明曲线 C 的形状；
(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且｜OA｜ R ( )f x R
0a > ( )' 0f x = lnx a=
x ( ),lna−∞ lna ( )ln ,a +∞
( )'f x - 0 +
( )f x
x +∞ x −∞ ( )f x +∞
( ) ( )ln 2 ln 0f a a a= − < 2a e> ( )f x
1 2 1 2x x x x< + ( )( )1 21 1 1x x− − <
( )1
1 1xe a x= − ( )2
2 1xe a x= −
( )( ) 1 2
1 21 1 1
x xex x a
+
− − = ( )f x ( )ln ,a +∞
( ) ( )2 12lnf x f a x< − ( ) ( )1 12lnf x f a x< −
( ) ( ) ( )2lng x f a x f x= − − lnx a<
( ) 2
' 2x
x
ag x e ae
= − − +
2 2 2x x
x
a e ae
e
+ −= − ( )2
0
x
x
e a
e
−
= − <
( )g x ( ),lna−∞ ( ) ( ) ( ) ( )ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a> = − − =
( ) ( )2lnf a x f x− > ( ),lna−∞
( ) ( )1 12lnf a x f x− >
5
5
2 5
5
x t
y t
=
=
2 π2 2 sin 14
ρ ρ θ = + −
2 2 cos 2 1 0sinρ ρ θ ρ θ− − + =
2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + =
( ) ( )2 21 1 1x y− + − =
2 2 2 1 0
2
sin sin
tan
ρ ρ θ ρ θ
θ
− − + =
=
θ
2 6 5 1 05
ρ ρ− + =
1 2
ρ ρ， 1 2
6 5
5
ρ ρ+ = 1 2 1ρ ρ⋅ =
( )2
1 2 1 21 2
1 2 1 2
41 1 4 5
5OA OB
ρ ρ ρ ρρ ρ
ρ ρ ρ ρ
+ −−− = = =23：（1） ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， 恒成立；
综合以上：
（2）证明 ，
只需 ，
只需
∵
又∵ ，
∴ 因此结果成立.
2 , 1
( ) 1 1 { 2 , 1
2, 1 1
x x
f x x x x x
x
>
= + + − = − < −
− ≤ ≤
1x > 2 4x < 1 2x< <
1x < − 2 4x− < 2 1x− < < −
1 1x− ≤ ≤ 2 4<
{ }| 2 2x x− < <
2 4a b ab+ < +
2 2 2 24( 2 ) 16 8a ab b ab a b+ + < + +
2 2 2 24 4 16a b a b+ < +
2 2 2 2 2 24 4 16 ( 4)( 4)a b a b a b− − + = − −
2 2(0,4), (0,4)a b∈ ∈
2 2 2 24 4 16 0a b a b− − + >
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