四川省成都外国语学校2020届高三上学期期中考试数学（文）（Word版含答案）.doc

文科试卷共 4 页 第 1 页 成都外国语学校 19-20 学年度上期高 2017 级期中考试 数学试题(文) 出题人：彭富杰 考试时间：120 分钟 满分 150 分 一.选择题(共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，请把正确答案集中填写在答题卷上.) 1.设集合 ，集合 ，则 （　 　） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知 是虚数单位，则复数 的实部和虚部分别是（ ） A. , B. , C. , D. , 4.设 ，向量 ， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互 联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）　　 (注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生．) A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位 人数超过总人数的 C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6.已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 的 ( ){ }2log 1 0M x x= − < { }2N x x= ≥ − =NM  { }2 2x x− ≤ < { }2x x ≥ − { }2x x < { }1 2x x≤ < 0225sin 2 2 − 2 2 3 2 − 3 2 i 3 7iz i += 7− 3 7 3i− 7 3− 7− 3i Rx∈ ( ,1)a x= (1, 2)b = − ba  ⊥ a b+ =  10 11 2 3 13 1980 1989− 20% 2log , 0 ( ) 3 , 0x x x f x x >=  ≤ 1( ( ))8f f = 27− 27 1 27 − 1 27文科试卷共 4 页 第 2 页 7.已知 , , ,则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.函数 的部分图象如右图， 则 （ ） A. B. C. D. 9.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于 解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过 程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学 史上第一道数列题. 其规律是:偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号 平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， …，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个 判断框中，可以先后填入( ) A. 是偶数?， ? B. 是奇数?， ? C. 是偶数?， ? D. 是奇数?， ? 10.在 中,内角 , , 的对边分别为 , , ,其中 , ,若 ,则 的周长为（ ） A.3 B. C. D. 11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,过 作圆 的切线,交双曲线 右支于点 ,若 ,则双曲线的离心率为（ ） A. B.2 C. D. 12.已知偶函数 满足 ,且当 时, ,关于 的不等式 在区间 上有且只有 个整数解,则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. ( )1 3ln2a = ( )1 3ln3b = 2log 0.7c = cba ,, a b c< < c a b< < b a c< < c b a< < ( ) sin( ),( , 0, π)f x A x Aω φ ω ϕ= + > < ( )f x = π( ) 2sin(4 )3f x x= + π( ) 2sin(4 )3f x x= − 4 8π( ) 2sin( )3 9f x x= − 4 8π( ) 2sin( )3 9f x x= + n 100n ≥ n 100n ≥ n 100n > n 100n > ABC△ A B C a b c 1b = sin sin sin sin a b c C b A B C − + = + − 2A B= ABC△ 4 2 3+ 3 3+ ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b − = > > 1F 2F 1F 2 2 2x y a+ = M 1 2 45F MF∠ = ° 3 2 5 ( )f x (4 ) (4 )f x f x+ = − (0,4]x∈ ln(2 )( ) xf x x = x 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > [ 200 200]，− 300 a 1 3ln 2( ln 6 )3 4 − −， ]4 2ln3,6ln3 1( −− 1( ln 2 ln 6)3 − −， 1( ln 2 ln 6]3 − −，文科试卷共 4 页 第 3 页 二.填空题(共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填写在答题卷上.) 13.设函数 ,若 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程 为 ▲ ． 14.已知实数 ， 满足不等式组 且 最大值为 ▲ . 15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为 ▲ ． 16.设 为数列 的前 项和，已知 ， ， 则 ▲ ， ▲ . 三.解答题(共 6 题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.请将解答过程写在答题卷相 应题号的下面.) 17.(本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 18.(本小题满分 12 分) 自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况， 随机抽取了 100 人，调查结果整理如下： 20 以下 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 (1)现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率； (2)从被抽取的年龄在 使用的自由购顾客中,随机抽取 2 人进一步了解情况,求这 2 人年龄都在 的概率； (3)为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送 1 个环保购物袋．若某日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？ 的 ( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0， x y 2 0, 2 5 0, 2 0, x y x y y − − ≤  + − ≥  − ≤ 2z x y= − nS { }na n 1 1 2a = 1 1 2n n n n n a a+ + = + =na 100S = { }na n 14 4 ( )3 3 n nS n + = − ∈ *N { }na 2logn n nb a a= + { }nb n nT [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ ]60,70 [ )30,50 [ ]50,70 [ )50,60文科试卷共 4 页 第 4 页 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, 为等边三角形,平面 平面 . (1)证明：平面 平面 ； (2)若 , 为线段 的中点,求三棱锥 的体积. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 过点 ． (1)求椭圆 的方程，并求其离心率； (2)过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点 不在直线 上），点 关于 的对称 点为 ，直线 与 交于另一点 ．设 为原点，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由． 21. (本小题满分 12 分)设函数 ． (1)求函数 的单调区间； (2)记函数 的最小值为 ，证明： ． 22. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,曲线 的参数方程为 （ , 为参数）， 以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 经过点 ,曲线 的极坐标方 程为 ． (1)求曲线 的极坐标方程； (2)若 , 是曲线 上两点，求 的值． 2 2 2: 12 x yC a + = ( )2,1P C P x l A C A l A l A′ A P′ C B O AB OP P ABCD− ABCD PAD∆ PAD ⊥ PCD PAD ⊥ ABCD 2AB = Q PB Q PCD− ( ) ( )2 2ln 0a xf x x a x a x −= − + > ( )f x ( )f x ( )g a ( ) 1g a < 1C 2 cos sin x r y r ϕ ϕ = +  = 0r > ϕ O x 1C 2 3, 6P π     2C ( )2 2 cos2 6ρ θ+ = 1C 1, 6A πρ α −   2 , 3B πρ α +   2C 2 2 1 1 OA OB +文科试卷共 4 页 第 5 页 成都外国语学校 19-20 学年度上期高 2017 级期中考试 数学试题(文)(答案) 一.选择题 1-12 BACAD DBADD AB 二.填空题 13. 14. 15. 16. 三.解答题 17． (1)因为 ，当 时， ， 两式相减得 ，因为 也满足，综上 ． (2) ， ． 18．(1)随机抽取的 100 名顾客中，年龄在 且未使用自由购的有 人， 所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在 且未参加自由购的概率估计为 ． （2）设事件 为“这 2 人年龄都在 ”．被抽取的年龄在 的 4 人分别记为 ， ， ， ， 被抽取的年龄在 的 2 人分别记为 ， ， 从被抽取的年龄在 的自由购顾客中随机抽取 2 人，共包含 15 个基本事件，分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 事件 包含 6 个基本事件，分别为 ， ， ， ， ， ，则 ． （3）随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的有 人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 ． 14 4 ( )3 3 n nS n + = − ∈ *N 2n ≥ 1 4 4 ( )3 3 n nS n− = − ∈ *N 4 ( 2, )n na n n= ≥ ∈ *N 1 4a = 4 ( )n na n= ∈ *N 4 2n nb n= + 2 3(4 4 4 4 ) 2(1 2 3 )n nT n= + + + + + + + + +  1 1 24 4 (1 ) 4 4= 21 4 2 3 n nn n n n + +− + −+ = + +− xy = 6 3 21 n n 2 992 512 − [ )30,50 3 14 17+ = [ )30,50 17 100P = A [ )50,60 [ )50,60 1a 2a 3a 4a [ ]60,70 1b 2b [ ]50,70 1 2a a 1 3a a 1 4a a 1 1a b 1 2a b 2 3a a 2 4a a 2 1a b 2 2a b 3 4a a 3 1a b 3 2a b 4 1a b 4 2a b 1 2b b A 1 2a a 1 3a a 1 4a a 2 3a a 2 4a a 3 4a a ( ) 6 2 15 5P A = = 3 12 17 6 4 2 44+ + + + + = 44 5000 2200100 × =文科试卷共 4 页 第 6 页 19.证明：(1)取 的中点 ，连结 ，因为 为等边三角形，所以 . 又因为 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 因为底面 为正方形，所以 . 因为 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以平面 平面 . (2)由(1)得 平面 ， 所以 到平面 的距离 . 因为底面 为正方形， 所以 . 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 所以 ， 两点到平面 的距离相等，均为 . 又 为线段 的中点，所以 到平面 的距离 . 由(1)知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ， 所以 . 20.(1)由椭圆方程椭圆 过点 ，可得 ， ∴ ，∴椭圆 的方程为 ，离心率 ． （2）直线 与直线 平行．证明如下：设直线 ， ， 设点 的坐标为 ， ， 由 得 ， ∴ ，∴ ，同理 ，∴ ， 2 2 2: 12 x yC a + = ( )2,1P 2 8a = 2 2 2 8 2 6c a= − = − = C 2 2 18 2 x y+ = 6 3 22 2 e = = AB OP ( ): 1 2PA y k x− = − ( ): 1 2PB y k x− = − − A ( )1 1,x y ( )2 2,B x y 2 2 18 2 2 1 x y y kx k  + =  = − + ( ) ( )2 2 24 1 8 1 2 16 16 4 0k x k k x k k+ + − + − − = ( ) 1 2 8 2 12 4 1 k kx k −+ = + 2 1 2 8 8 2 1 4 k kx k − −= + 2 2 2 8 8 2 4 1 k kx k + −= + 1 2 2 16 4 1 kx x k − = − + PD O AO PAD∆ AO PD⊥ AO ⊂ PAD PAD ∩ PCD PD= PAD ⊥ PCD AO ⊥ PCD CD ⊂ PCD AO CD⊥ ABCD CD AD⊥ AO AD A∩ = CD ⊥ PAD CD ⊂ ABCD PAD ⊥ ABCD AO ⊥ PCD A PCD 3d AO= = ABCD / /AB CD AB ⊄ PCD CD ⊂ PCD / /AB PCD A B PCD d Q PB Q PCD 3 2 2 dh = = CD ⊥ PAD PD ⊂ PAD CD PD⊥ 1 1 1 3 32 23 3 2 2 3Q PCD PCDV S h− ∆= × × = × × × × =文科试卷共 4 页 第 7 页 由 ， ，有 ， ∵ 在第四象限，∴ ，且 不在直线 上．∴ ， 又 ，故 ，∴直线 与直线 平行． 21. (1)显然 的定义域为 ． ． ∵ ， ， ∴若 ， ，此时 ， 在 上单调递减； 若 ， ，此时 ， 在 上单调递增； 综上所述： 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）由（1）知： ， 即 ． 要证 ，即证明 ，即证明 ， 令 ，则只需证明 ， ∵ ，且 ， ∴当 ， ，此时 ， 在 上单调递减； 当 ， ，此时 ， 在 上单调递增， ∴ ． ∴ ．∴ ． 1 1 2 1y kx k= − + 2 2 2 1y kx k= − + + ( )1 2 1 2 2 84 4 1 ky y k x x k k − = + − = − + A 0k ≠ A OP 1 2 1 2 1 2AB y yk x x −= =− 1 2OPk = AB OPk k= AB OP ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )( )22 2 2 4 2 3 3 22 2 2 2 21 x x ax x a xa x xf x ax x x x x + −− − − + += − ⋅ =′ − + = 2 2 0x + > 0x > ( )0,x a∈ 0x a− < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,a ( ),x a∈ +∞ 0x a− > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),a +∞ ( )f x ( )0,a ( ),a +∞ ( ) ( ) 2min 2 1 1ln lnf x f a a a a a a aa aa  = = − − − = − −   ( ) 1lng a a a a a = − − ( ) 1g a < 1ln 1a a a a − − < 2 1 11 lna aa − − < ( ) 2 1 1ln 1h a a a a = + + − ( ) 2 1 1ln 1 0h a a a a = + + − > ( ) ( )( )2 2 3 3 3 2 11 1 2 2 a aa ah a a a a a a ′ − +− −= − − = = 0a > ( )0,2a∈ 2 0a − < ( ) 0h a′ < ( )h a ( )0,2 ( )2,a∈ +∞ 2 0a − > ( ) 0h a′ > ( )h a ( )2,+∞ ( ) ( )min 1 1 12 ln2 1 ln2 02 4 4h a h= = + + − = − > ( ) 2 1 1ln 1 0h a a a a = + + − > ( ) 1g a