四川省成都外国语学校2020届高三上学期期中考试数学（理）（Word版含答案）.doc

理科试卷共 4 页 第 1 页 成都外国语学校 19-20 学年度上期高 2017 级期中考试 数学试题(理) 出题人：彭富杰 考试时间：120 分钟 满分 150 分 一.选择题(共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，请把正确答案集中填写在答题卷上.) 1.设集合 ，集合 ，则 （　 　） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知 是虚数单位，则复数 的实部和虚部分别是（ ） A. , B. , C. , D. , 4.设 ，向量 ， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互 联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）　　 (注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生．) A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位 人数超过总人数的 C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6.已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 的 ( ){ }2log 1 0M x x= − < { }2N x x= ≥ − =NM  { }2 2x x− ≤ < { }2x x ≥ − { }2x x < { }1 2x x≤ < 0225sin 2 2 − 2 2 3 2 − 3 2 i 3 7iz i += 7− 3 7 3i− 7 3− 7− 3i Rx∈ ( ,1)a x= (1, 2)b = − ba  ⊥ a b+ =  10 11 2 3 13 1980 1989− 20% 2log , 0 ( ) 3 , 0x x x f x x >=  ≤ 1( ( ))8f f = 27− 27 1 27 − 1 27理科试卷共 4 页 第 2 页 7.已知 , , ,则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.函数 的部分图象如右图， 则 （ ） A. B. C. D. 9.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于 解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过 程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史 上第一道数列题. 其规律是:偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方 减 1 再除以 2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…， 如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个 判断框中，可以先后填入( ) A. 是偶数?， ? B. 是奇数?， ? C. 是偶数?， ? D. 是奇数?， ? 10.在 中,内角 , , 的对边分别为 , , ,其中 , ,若 ,则 的周长为（ ） A.3 B. C. D. 11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,过 作圆 的切线,交双曲线 右支于点 ,若 ,则双曲线的离心率为（ ） A. B.2 C. D. 12.已知偶函数 满足 ,且当 时, ,关于 的不等式 在区间 上有且只有 个整数解,则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. ( )1 3ln2a = ( )1 3ln3b = 2log 0.7c = cba ,, a b c< < c a b< < b a c< < c b a< < ( ) sin( ),( , 0, π)f x A x Aω φ ω ϕ= + > < ( )f x = π( ) 2sin(4 )3f x x= + π( ) 2sin(4 )3f x x= − 4 8π( ) 2sin( )3 9f x x= − 4 8π( ) 2sin( )3 9f x x= + n 100n ≥ n 100n ≥ n 100n > n 100n > ABC△ A B C a b c 1b = sin sin sin sin a b c C b A B C − + = + − 2A B= ABC△ 4 2 3+ 3 3+ ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b − = > > 1F 2F 1F 2 2 2x y a+ = M 1 2 45F MF∠ = ° 3 2 5 ( )f x (4 ) (4 )f x f x+ = − (0,4]x∈ ln(2 )( ) xf x x = x 2 ( ) ( ) 0f x af x+ > [ 200 200]，− 300 a 1 3ln 2( ln 6 )3 4 − −， ]4 2ln3,6ln3 1( −− 1( ln 2 ln 6)3 − −， 1( ln 2 ln 6]3 − −，理科试卷共 4 页 第 3 页 二.填空题(共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填写在答题卷上.) 13.设函数 ,若 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程 为 ▲ ． 14.已知实数 ， 满足不等式组 且 最大值为 ，则 ▲ ． 15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为 ▲ ． 16.设 为数列 的前 项和，已知 ， ， 则 ▲ ， ▲ . 三.解答题(共 6 题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.请将解答过程写在答题卷相 应题号的下面.) 17.(本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 18.(本小题满分 12 分)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的 情况，随机抽取了 100 人，统计结果整理如下： 20 以下 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 (1)现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率； (2)从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况，用 表示这 3 人中年 龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望； (3)为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋．若某日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋． 的 ( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0， x y 2 0, 2 5 0, 2 0, x y x y y − − ≤  + − ≥  − ≤ 2z x y= − a =∫ dxx ae 1 nS { }na n 1 1 2a = 1 1 2n n n n n a a+ + = + =na 100S = { }na n 14 4 ( )3 3 n nS n + = − ∈ *N { }na 2logn n nb a a= + { }nb n nT [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ ]60,70 [ )30,50 [ ]50,70 X [ )50,60 X理科试卷共 4 页 第 4 页 19. (本小题满分 12 分)如图，在底面是菱形的四棱锥 中, 平面 ， ， ，点 分别为 的中点，设直线 与平面 交于点 . (1)已知平面 平面 ，求证： . (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 过点 ． (1)求椭圆 的方程，并求其离心率； (2)过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点 不在直线 上），点 关于 的对称 点为 ，直线 与 交于另一点 ．设 为原点，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由． 21. (本小题满分 12 分)函数 ， (1)讨论函数 在区间 上的极值点的个数； (2)已知对任意的 , 恒成立，求实数 的最大值． 22. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,曲线 的参数方程为 （ , 为参数）， 以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 经过点 ,曲线 的极坐标方 程为 ． (1)求曲线 的极坐标方程； (2)若 , 是曲线 上两点，求 的值． 2 2 2: 12 x yC a + = ( )2,1P C P x l A C A l A l A′ A P′ C B O AB OP P ABCD− PA ⊥ ABCD 060=∠ABC 2== ABPA E F、 BC PD、 PC AEF Q PAB PCD l= / /AB l AQ PCD ( ) ( )sin 2 1f x k x x k= + + ∈R ( )f x ( )0,2π 0x > ( )ex f x> k 1C 2 cos sin x r y r ϕ ϕ = +  = 0r > ϕ O x 1C 2 3, 6P π     2C ( )2 2 cos2 6ρ θ+ = 1C 1, 6A πρ α −   2 , 3B πρ α +   2C 2 2 1 1 OA OB +理科试卷共 4 页 第 5 页 成都外国语学校 19-20 学年度上期高 2017 级期中考试 数学试题(理)(答案) 一.选择题 1-12 BACAD DBADD AB 二.填空题 13. 14. 15. 16. 三.解答题 17． (1)因为 ，当 时， ， 两式相减得 ，因为 也满足，综上 ． (2) ， ． 18.(1)在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在 且未使用自由购的共有 人， 所以随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率为 ． (2) 所有的可能取值为 1，2，3， ； ； ． 所以 的分布列为: 1 2 3 所以 的数学期望为 ． （3）在随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的共有 人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 ． 14 4 ( )3 3 n nS n + = − ∈ *N 2n ≥ 1 4 4 ( )3 3 n nS n− = − ∈ *N 4 ( 2, )n na n n= ≥ ∈ *N 1 4a = 4 ( )n na n= ∈ *N 4 2n nb n= + 2 3(4 4 4 4 ) 2(1 2 3 )n nT n= + + + + + + + + +  1 1 24 4 (1 ) 4 4= 21 4 2 3 n nn n n n + +− + −+ = + +− xy = 6 3 21 n n 2 992 512 − [ )30,50 3 14 17+ = [ )30,50 17 100P = X ( ) 1 2 4 2 3 6 C C 11 5C P X = = = ( ) 2 1 4 2 3 6 C C 32 5C P X = = = ( ) 3 0 4 2 3 6 C C 13 5C P X = = = X X P 1 5 3 5 1 5 X 1 3 11 2 3 25 5 5EX = × + × + × = 3 12 17 6 4 2 44+ + + + + = 44 5000 2200100 × =理科试卷共 4 页 第 6 页 19.(1)∵ , 平面 , 平面 .∴ 平面 ∵ 平面 ,平面 平面 ∴ . (2)∵底面是菱形， 为 的中点 ∴ ∴ ∵ 平面 ，则以点 为原点，直线 分别为轴建立如图所示 空间直角坐标系则 ∴ ， ， 设平面 的法向量为 ，有 得 设 ，则 ， 则 解之得 ，∴ ， 设直线 与平面 所成角为 则 20．(1)由椭圆方程椭圆 过点 ，可得 ， ∴ ，∴椭圆 的方程为 ，离心率 ． (2)直线 与直线 平行．证明如下：设直线 ， ， 设点 的坐标为 ， ，由 得 ， ∴ ，∴ ，同理 ，∴ ， 由 ， ，有 ， ∵ 在第四象限，∴ ，且 不在直线 上．∴ ， 又 ，故 ，∴直线 与直线 平行． , 2 2 2: 12 x yC a + = ( )2,1P 2 8a = 2 2 2 8 2 6c a= − = − = C 2 2 18 2 x y+ = 6 3 22 2 e = = AB OP ( ): 1 2PA y k x− = − ( ): 1 2PB y k x− = − − A ( )1 1,x y ( )2 2,B x y 2 2 18 2 2 1 x y y kx k  + =  = − + ( ) ( )2 2 24 1 8 1 2 16 16 4 0k x k k x k k+ + − + − − = ( ) 1 2 8 2 12 4 1 k kx k −+ = + 2 1 2 8 8 2 1 4 k kx k − −= + 2 2 2 8 8 2 4 1 k kx k + −= + 1 2 2 16 4 1 kx x k − = − + 1 1 2 1y kx k= − + 2 2 2 1y kx k= − + + ( )1 2 1 2 2 84 4 1 ky y k x x k k − = + − = − + A 0k ≠ A OP 1 2 1 2 1 2AB y yk x x −= =− 1 2OPk = AB OPk k= AB OP / /AB CD AB ⊄ PCD CD ⊂ PCD / /AB PCD AB ⊂ PAB PAB ∩ PCD l= / /AB l E BC 2AB = 1, 3,BE AE AE BC= = ⊥ AE AD⊥ PA ⊥ ABCD A AE AD AP、 、 ( ) ( ) ( ) ( )0,2,0 , 0,0,2 , 3,1,0 , 3,0,0D P C E ( )0,1,1F ( ) ( ) ( ) ( )3,0,0 , 0,1,1 , 3, 1,0 , 0, 2,2AE AF DC DP   = = = − = − PCD ( ), ,n x y z = 0, 0AE n AF n⋅ = ⋅ =   ( )1, 3, 3n = ( )1AQ AC APλ λ= + −   ( )( )3 , ,2 1AQ λ λ λ= − AQ mAE nAF= +   ( ) 3 3 2 1 m n n λ λ λ  =  =  − = 2 3m n λ= = = 2 2 23, ,3 3 3AQ  =     AQ PCD α 3 105sin cos , 35n AQα = =理科试卷共 4 页 第 7 页 21．(1) ，①当 时， ， ， ， 单调递增，在 上无极值点； ②当 时， 在 上单调递减， ， ， 存在 ，使得 ，则 为 的极大值点， 在 上单调递增， ， ， 存在 使得 ，则 为 的极小值点， 在 上存在两个极值点； ③当 时， 在 上单调递增， ， ， 存在 使得 ，则 为 的极小值点， 在 上单调递减， ， ， 存在 使得 ，则 为 的极大值点， 在 上存在两个极值点， 综上所述：当 时， 在 上无极值点；当 或 时， 在 上有两个极 值点． （2）设 ， ①先证明 时成立，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ， 即对任意的 ， 恒成立， ②下证对 ，总存在 ， ， ， ， ， 当 时， ， ， （i）当 时， ， ( ) cos 2f x k x′ = + 2 2k− ≤ ≤ cos 1x ≤ cos 2k x∴ ≤ ( ) cos 2 0f x k x′∴ = + ≥ ( )f x∴ ( )0,2π 2k > ( ) cos 2f x k x′ = + ( )0,π ( )0 2 0f k +′ = > ( ) 2 0πf k′ = − + < ∴ ( )1 0,πx ∈ ( )1 0f x′ = 1x ( )f x ( ) cos 2f x k x′ = + ( )π,2π ( ) 2 0πf k′ = − + < ( )2π 2 0f k +′ = > ∴ ( )2 π,2πx ∈ ( )2 0f x′ = 2x ( )f x ( )f x∴ ( )0,2π 2k < − ( ) cos 2f x k x′ = + ( )0,π ( )0 2 0f k +′ = < ( ) 2 0πf k′ = − + > ∴ ( )3 0,πx ∈ ( )3 0f x′ = 3x ( )f x ( ) cos 2f x k x′ = + ( )π,2π ( ) 2 0πf k′ = − + > ( )2π 2 0f k +′ = < ∴ ( )4 π,2πx ∈ ( )4 0f x′ = 4x ( )f x ( )f x∴ ( )0,2π 2 2k− ≤ ≤ ( )f x ( )0,2π 2k < − 2k > ( )f x ( )0,2π ( ) ( )e sin 2 1 0xg x k x x x= − − − > 1k = − ( ) e sin 2 1xg x x x= + − − ( ) e cos 2xg x x= + −′ ( ) e sinxg x x′′ = − 0x > e 1x∴ > sin 1x ≤ ( ) e sin 0xg x x′′∴ = − > ( ) e cos 2xg x x∴ = + −′ ( )0,+∞ ( ) ( )0 1 1 2 0g x g∴ ≥ = + −′ =′ ( ) e sin 2 1xg x x x∴ = + − − ( )0,+∞ ( ) ( )0 1 1 0g x g∴ ≥ = − = 0x > ( )ex f x> 1k ≥ − 0 0x > ( )ex f x≤ ( ) e sin 2 1xg x k x x= − − − ( ) e cos 2xg x k x′ = − − ( ) e sinxg x k x′′ = + 2 π0,x  ∈   0 sin 1x< < e 0x > 0k ≥ ( ) e sin 0xg x k x′′ = + >理科试卷共 4 页 第 8 页 （ii）当 时， ， ， 综（i）（ii）可知，当 时， ， 在 上单调递增， ， ， ，使得 ； 时， ， 在 上单调递减， 时， ，即存在 ， ， 综上所述， 的最大值为 ． 22. (1)将 的参数方程化为普通方程得： 由 ， 得 的极坐标方程为： 将点 代入 中得： ，解得： 代入 的极坐标方程整理可得： 的极坐标方程为： (2)将点 ， 代入曲线 的极坐标方程得： ， 1 0k− < < 0 sin 1k x> > − ( ) e sin 1 1 0xg x k x′′∴ = + > − = π0, 2x  ∈   ( ) 0g x′′ > ( ) e cos 2xg x k x∴ = − −′ π0, 2      ( )0 1 0g k= − −′  ′   1 π0, 2x  ∴∃ ∈   ( )1 0g x′ = ( )10,x x∴ ∈ ( ) 0g x′ < ( ) e sin 2 1xg x k x x∴ = − − − ( )10, x ( )10,x x∴ ∈ ( ) ( )0 0g x g< = ( )0 10,x x∈ ( )ex f x≤ k 1− 1C ( )2 2 22x y r− + = cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C 2 24 cos 4 0rρ ρ θ− + − = 2 3, 6P π     1C 212 8 3 cos 4 06 r π− + − = 2 4r = 1C 4cosρ θ= 1C∴ 4cosρ θ= 1, 6A πρ α −   2 , 3B πρ α +   2C 2 1 2 cos 2 63 πρ α  + − =     2 2 2 2 22 cos 2 2 cos 2 63 3 π πρ α ρ α      + + = − − =             2 2 2 2 1 2 2 cos 2 2 cos 21 1 1 1 23 3 6 3OA OB π πα α ρ ρ    + − + − −      ∴ + = + = =