高三期中考试
理科数学试题
第 I 卷(选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知集合 ，则
A． B． C． 1， D． 1，
2．复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
3．若命题 ， ，则 是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 ，高为 的矩形，俯视图是一个
圆，那么这个几何体的表面积为
A. B. C. D.
5．函数 的最大值是
A. B. C. D.
6．若实数 满足 ，则 的最小值是
( )42 3 0y x xx
= − − >
2 2 3− 2 4 3− 2 2 3+ 2 4 3+
{ } { }1,0,1,2 , | 2xA B y y= − = = A B =
{ }1,0,1− { }1,2 {0, 2} { 1,− 2}
1
i
i−
1 2
2π 5π
2 4π 5π
,x y
4
2
1
x y
x y
x
+ ≤
≤
≥ 1
x y
x
+
+A. B. C. D.
7．已知函数 的最小正周期是 ，那么正数
A． B． C． D．
8．若 ，则 等于
A. B. C. D.
9．函数 的部分图像大致为
A． B．
C． D．
10．已知 则 的大小关系是
A. B. C. D.
11．若函数 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角
是
A． B． C． D．
12．若对于任意 都有 ，则函数 的图
象的对称中心为
4
11
1
2
3
4
3
2
1tan 4 3
πα − = − cos2α
3
5
1
2
1
3 3−
1sin 1
x
x
ey x e
+= ⋅ −
ln 2 ln3 ln 6, , ,2 3 6a b c= = = , ,a b c
c b a> > b a c> > a b c> > c a b> >
( ) 33=- ln3f x x x x− + − ( )y f x= ( )( )-1, -1f
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
x∈R ( ) 2 ( ) 3cos sinf x f x x x+ − = − (2 ) cos2y f x x= −A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．已知函数 ，则 的值为__________．
14．已知函数 的图像上一个最高点的坐标为 ，由这
个最高点到其相邻的最低点间图像与 轴交于点 ，则此函数的解析式为__________．
15．己知函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数， 时， ，
的值是____.
16． 是同一球面上的四个点， , ⊥平面
， ， ,则该球的表面积为______________.
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分 12 分）
已知向量 ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值.
18．（本大题满分 12 分）
在 中， 分 别 为 角 的 对 边 ，且 .
（Ⅰ）求角 ；
（2）若 ，求 的最大值.
,0 ,4k k
ππ − ∈ Z ( ),0 ,k kπ ∈Z
,0 ,2 4
k k
π π − ∈ Z ,0 ,2
k k
π ∈ Z
( ) ( )2 2 1f x x xf ′= + ( )1f
sin( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + > > (2, 2)
x (6,0)
( )f x 0 1x< < ( ) 4xf x =
5( ) (2019)2f f− +
, , ,A B C D ,2ABC BAC AB AC
π∆ ∠ = =中， AD
ABC 6AD = 2 3AB =
)sin,(cos αα=a )sin,(cos ββ=b
5
52|| =−ba
cos( )α β−
02 2
π πβ α− < < < < 5sin 13
β = − sinα
ABC∆ , ,a b c , ,A B C ( )sin sin sinB C A C− = −
A
3a = 2b c+19．（本大题满分 12 分）
已知 为定义在 上的奇函数，当 时，函数解析式 ．
（Ⅰ）写出 在 上的解析式； （Ⅱ）求 在 上的最大值．
20．（本大题满分 12 分）
已知在三棱锥 中， 是等腰直角三角形，且
平面
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求二面角 的余弦值.
21．（本大题满分 12 分）
已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
( )f x [ ]1,1− [ ]1,0x∈ − 1( ) ( )4 2x x
af x a R= − ∈
( )f x [ ]0,1 ( )f x [ ]0,1
A BCD− ABC∆ , 2,AC BC BC⊥ =
AD ⊥ , 1.BCD AD =
ABC ⊥ ACD
E AB A CE D− −
xOy l
1
2
31 2
x t
y t
=
= − +
t O
x C 2 cos ( 0)a aρ θ= >
l C（Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 两点，设点 ，已知 ，求实
数 的值.
23．已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 的不等式 的解集不是空集，求 的取值范围．
l C ,A B (0, 1)M − 2| | | | | |MA MB AB• =
a
( ) | 4 1| | 2 |f x x x= − − +
( ) 8f x <
x 2( ) 5| 2 | 8f x x a a+ + < − a理科数学试题参考答案
1-5:BCDBB 6-10:CBABB 11-12:BD
13．-3 14． 15． 16．
17．（1） ，
又 ， ，
， ，
（2） ，
由（1）得 ， ，
又 ， ，
18．（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
由正弦定理 ，所以 ，
所以 ，
2sin 8 4y x
π π = + 2− 60π
2 5
5a b− =
2 2 42 .5a a b b∴ − ⋅ + =
(cos ,sin )a α α= (cos ,sin )b β β=
2 2 1a b∴ = = cos cos sin sin cos( )a b α β α β α β⋅ = + = −
3cos( ) .5
α β∴ − =
02 2
π πβ α− < < < 2( )f t t t= −
[ ]0,1x∈ [ ]1,2t ∈ 1t = 1 1 0− =
AD ⊥ ,BCD BC ⊂ BCD AD BC⊥
,AC BC AC AD A⊥ ∩ = BC ⊥ ,ACD BC ⊂ ABC ABC ⊥
ACD
3CD = ( )0,0,0C ( )0,2,0B
( )3,0,1A ( )3,0,0D 3 1,1,2 2E
3 1,1,2 2CE
=
( )3,0,1CA =
( )3,0,0CD = ACE ( ), ,n x y z=
3 00{ ,{ 3 10 02 2
x zn CA
n CE x y z
+ =⋅ =
⋅ = + + =
令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，有 ，令 ，得
，二面角 的余弦值 .
21：（Ⅰ）
①当 时， ，所以 .
②当 时，由 得 .
若 ，则 ；若 ，则 .
所以当 时， 在 上单调递增，所以 .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
.
当 时， 在 上单调递减，所以 .
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则 不可能恒为正，也不可能恒为负.
故 在区间 内存在零点 .
同理 在区间 内存在零点 .
所以 在区间 内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点.
1x = ( )1,0, 3n = −
CED ( ), ,m x y z=
3 00{ ,{ 3 10 02 2
xm CD
m CE x y z
=⋅ =
⋅ = + + =
1y =
( )0,1, 2m = − A CE D− − 2 3 15cos 52 5
n m
n m
θ ⋅= = =
⋅
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点.
所以 .
此时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，必有
.
由 得： ，有
;解得 .
当 时， 在区间 内有最小值 .
若 ，则 ，
从而 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 .
又 ，
故此时 在 和 内各只有一个零点 和 .
由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ， ，
故 在 内有零点.综上可知， 的取值范围是 .
22．解：（1）因为直线 的参数方程为
消去 t 化简得直线 的普通方程：
由 得 ，因为 ， 所以 ，
所以曲线 的直角坐标方程为
l
1
2
31 2
x t
y t
=
= − +
l 3 1 0x y− − =
2acosρ θ= 2 2a cosρ ρ θ= 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = 2 2 2x y ax+ =
C 2 2 2 0x y ax+ − =（2）将 代入 得
即 ，
则 ， ，
∴ ，∴
∴
∵ ，∴ ，满足 ∴
23．（1）由题意可得 ，
当 时， ，得 ，无解；
当 时， ，得 ，即 ；
当 时， ，得 ，即 .所以不等式的解集为 .
（2） ，则由题可得 ，解得 或 .
1
2
31 2
x t
y t
=
= − +
2 2 2 0x y ax+ − =
2
21 31 04 2t t at
+ − + − =
( )2 3 1 0t a t− + + = ( )2
3 4 0a∆ = + − >
1 2 3t t a+ = + 1 2 1t t =
1 2• 1MA MB t t= = 2| | 1AB =
( ) ( ) ( )22 22
1 2 1 2 1 2| | 4 3 4 1AB t t t t t t a= − = + − = + − =
0a > 5 3a = − ( )2
3 4 0a∆ = + − > 5 3a = −
( )
3 3, 2
15 1, 2 4
13 3, 4
x x
f x x x
x x
− + ≤ −
= − − − < −
12 4x− < < 5 1 8x− − < 9
5x > − 9 1
5 4x− < <
1
4x ≥ 3 3 8x − < 11
3x < 1 11
4 3x≤ < 9 11{ | }5 3x x− < <
( ) 5 2 4 1 4 8 9f x x x x+ + = − + + ≥ 2 8 9a a− > 1a < − 9a >
微信/支付宝扫码支付