27.2.3 第1课时 切线的判定与性质
知识点 1 切线的判定
1．(1)如图27－2－25①，⊙O的半径OB＝5 cm，点A，B在直线l上，且OA＝13 cm，则只要AB＝______cm，就可判定直线l是⊙O的切线；
(2)如图①，已知点B在⊙O上，直线l经过点B，只要补充条件________，就可判定直线l是⊙O的切线；
(3)如图②，MN是⊙O的直径，l1是⊙O的切线，切点为N，l2过点M，只要再补充条件__________或____________，就可判定直线l2是⊙O的切线．
图27－2－25
2．如图27－2－26，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC所在的直线是⊙O的切线，你所添加的条件为________．
图27－2－26
3．下列直线中，一定是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B．垂直于圆的半径的直线
C．圆心与其距离等于半径的直线
D．经过圆心和直径的一端的直线
4．教材练习第2题变式如图27－2－27所示，OC是⊙O的半径，A是圆上一点，延长OC到点B，使BC＝OC，且AC＝BC.求证：AB为⊙O的切线．
图27－2－27
知识点 2 切线的性质
5．2018·眉山如图27－2－28所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )
图27－2－28
A．27° B．32° C．36° D．54°
6．如图27－2－29，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )
图27－2－29
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
7．2017·长春如图27－2－30，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的度数为( )
图27－2－30
A．29° B．32° C．42° D．58°
8．2018·朝阳区一模如图27－2－31，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连结OB交⊙O于点C，D是优弧上一点，连结AD，CD.若∠ABO＝40°，则∠D的大小是( )
图27－2－31
A．50° B．40° C．35° D．25°
9．如图27－2－32，AB和⊙O相切于点B，AB＝4，OA＝5，则cosA＝________．
图27－2－32
10．如图27－2－33，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB.若⊙O的半径为，CD＝4，则弦AC的长为________．
图27－2－33
11．已知：如图27－2－34，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
图27－2－34
12．如图27－2－35，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )
图27－2－35
A．(5，3) B．(5，4) C．(3，5) D．(4，5)
13．如图27－2－36，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( )
图27－2－36
A．40°或80° B．50°或100°
C．50°或110° D．60°或120°
14．如图27－2－37，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是( )
图27－2－37
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
15．如图27－2－38，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(Q为切点)，则PQ的最小值为________．
图27－2－38
16．2018·黄冈如图27－2－39，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.
(1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
图27－2－39
17．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图24－2－40①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________或者________；
(2)如图24－2－40②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的结论．
图24－2－40
详解详析
1．(1)12
(2)答案不唯一，如OB⊥l或∠OBA＝90°
(3)l1∥l2 l2⊥MN于点M
2．答案不唯一，如∠ABC＝90°(或AB⊥BC或∠A＋∠C＝90°)
[解析] 当△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°时，BC所在的直线是⊙O的切线．
3．C
4．证明：连结OA.
∵OC＝BC，AC＝BC，∴OC＝AC.
又∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°.
又∵AC＝BC，∠OCA＝∠CAB＋∠B，
∴∠CAB＝30°，
∴∠OAB＝∠OAC＋∠CAB＝90°.
又∵A是圆上一点，∴AB为⊙O的切线．
5．A [解析] ∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B＝27°.
故选A.
6．C [解析] 如图所示，
设圆心为O，切点为C，连结OA，OC，则OC⊥AB，
∴AC＝BC.
在Rt△AOC中，OA＝5 cm，
OC＝4 cm，根据勾股定理，得AC＝＝3(cm)，
∴AB＝AC＋BC＝3＋3＝6(cm)．故选C.
7．B [解析] ∵∠ABC＝29°，
∴∠DOC＝2∠ABC＝58°.
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°－58°＝32°.
故选B.
8．D [解析] ∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°.
∵∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝90°－40°＝50°，
∴∠D＝∠AOB＝25°.
故选D.
9. [解析] ∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴cosA＝＝.
10．2 [解析] 连结AO并延长，交CD于点E，连结OC，易证OE⊥CD，
CE＝DE＝2.由勾股定理得OE＝，故AE＝4.由勾股定理得AC＝2 .
11．解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，
∴∠D＝∠COD.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，
∴∠D＝45°.
(2)由(1)知△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2.
由勾股定理，得OD＝＝2 ，
∴BD＝OD－OB＝2 －2.
12．D [解析] 如图，过点P作PC⊥AB于点C，PD⊥x轴于点D，连结PB.
∵P为圆心，
∴AC＝BC.
∵A(0，2)，B(0，8)，
∴AB＝8－2＝6，
∴AC＝BC＝3，
∴OC＝8－3＝5.
∵⊙P与x轴相切，
∴PD＝PB＝OC＝5.
在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC＝＝＝4，
∴点P的坐标为(4，5)．
13．C [解析] 如图．
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连结OP，则∠OPB＝90°.
Rt△OPB中，OB＝2OP，
∴∠A′BO＝30°，
∴∠ABA′＝50°.
②当BA″与⊙O相切，且BA″位于BC下方时；
同①，可求得∠A″BO＝30°，
此时∠ABA″＝80°＋30°＝110°.
故旋转角的度数为50°或110°.
14．B [解析] 如图，作直线y＝x－，与x轴、y轴分别交于点B，A.令x＝0，则y＝－；令y＝0，则x＝，
∴A(0，－)，B(，0)，
∴OA＝OB＝，
∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝2.
过点O作OD⊥AB，
则OD＝BD＝AB＝×2＝1，
∴直线y＝x－与⊙O相切．故选B.
15.2 [解析] 如图，连结OP，OQ.∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ.由勾股定理，得PQ2＝OP2－OQ2，∴当OP⊥AB时，OP最短，则线段PQ最短．∵AB＝＝6，∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝2 .
16．解：(1)证明：连结OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，∴∠A＋∠ADB＝90°.
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，
∴∠OBA＋∠CBP＝90°.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，
∴∠CBP＝∠ADB.
(2)∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，
∴∠P＋∠A＝90°，∴∠P＝∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴BP＝7.
17．解：(1)答案不唯一，如①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC.
理由：①∵∠BAE＝90°，∴AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，
即AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
(2)EF是⊙O的切线．
证明：如图，作直径AM，连接CM，
则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.
∵∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠CAM＝90°，
即AE⊥AM.
∵AM是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
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