江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题（Word版有答案）.doc

临川二中 临川二中实验学校 2019─2020 学年度上学期期中考试 高三年级数学试卷（理） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项．） 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数 所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A． B． C． D． 5．已知 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2019 年 10 月 1 日 12 35000 2019 年 10 月 15 日 48 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为（ ） A．6 升 B．8 升 C．10 升 D．12 升 7．在 中，角 、 、 的对边长分别为 、 、 ．命题甲： ，且 1( )f x x = − ( ) 3 1xf x = − 3( )f x x x= + 3( ) logf x x= { }RxyyA x ∈== ,3 { }RxxyxB ∈−== ,21 =BA ∅ )1,0( )2 1,0( ]2 1,0( 2 1 iz i = + 1, 0( ) sin , 0 x xf x x xπ  − >=  ≤ 4[ ( )]9f f = 1 2 1 2 − 3 2 3 2 − 4cos 5 θ = 3 22 < 2 π ω ( )g x ( )g x 4 ωπ ( )g x ( ,0)6 π− ( ,0)3 π ( ,0)3 π− 2( ,0)3 π− ln( ) xf x x = ( )f x x e= 1 e ( )f x ( ) (2) (3)f f f< 0x∀ > 2( ) lnf x x x e < + 4 3 2 1二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13．若 ，则 __________． 14．已知向量 ， ，且 ，则实数 m 的值为 ． 15 ． 若 曲 线 在 点 处 的 切 线 过 点 ， 则 实 数 的 值 为 ． 16．在 中，角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ，当 C 取最大 值时， ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17~2 1 题为必考题，每道试题考试必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共 60 分 17．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）求 的单调递增区间； （2）在 中，角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，若 ，且 ， ，求 的值． 18．（本小题满分 12 分） 已 知 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， 四 边 形 是 边 长 为 4 的 正 方 形 ， ， ， 与 相交于点 ． （1）在 上作一点 ，使得 面 ABC，并证明； （2）求直线 与平面 BDE 所成角的正弦值． 21 5( )0 3a x dx− =∫ a = (2,3)a = ( 1, )b m= − ( )a a b⊥ +   2( ) ( 1) xf x ax e −= − (2, (2))f (3,3) a ABC△ A B C a b c 2 2c a b= + 2 2 ABCS a b ∆ =+ ( ) sin( ) cos6f x x x= + −π ( )f x ABC△ A B C a b c 1( ) 2f B = 5a = 8c = b 1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 3AC = AB AC⊥ 1AC 1AC D 1AB E DE  1B D19．（本小题满 分 12 分） 已知数列 满足 ， ， （ ）． （1）证明数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （ 2 ） 数 列 的 前 n 项 和 为 ， ， （ ），求 证 ． 20．（本小题满分 12 分） 过点 的直线 与抛物线 C： 交于 A、B 两点，以 A、B 两点为切点分别作 抛物线 C 的切线 、 ，且 与 相交于点 ． （1）求 的值； （2）设过点 、 的直线交抛物线 C 于 、 两点，求四边形 AMBN 面积的最小 值． { }na 1 1a = 2 2 3a = 1 1 1 1 2 n n n n n a a a a a − + − + += 2,n n N+≥ ∈ 1 na       { }na { }nb nT 1 1 2b = 14 n n nb a a−= 2,n n N+≥ ∈ 1nT < (0,2)P l 2 4x y= 1l 2l 1l 2l 0 0( , )Q x y 0y P Q M N21．（本小题满分 12 分） 已知函数 （ ）． （1 ）讨论 零点的个数； （2）若 有两个解 、 ， ，且 恒成 立，求正 整数 的最大值． （ 二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目， 如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方 程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为 极 点 ， 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点 ，若直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点，求 的值． xOy ( ) ln 1xf x ae x= + + a R∈ ( )f x ( ) ln 1f x x x= + + 1x 2x 1 2x x< 1 2 1nx x n+ > + n 1 3 1 x t y t = + = − t x C 4 2 cos( )4 πρ = θ + (1, 1)M − MP MQ⋅§23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ， ． （1）解不等式 ； （2）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围． 临川二中 2020 届高三期中考试 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C A B C B B A C B 12．解析：正确的结论为①④⑤， 只有一个零点，且 ；研究 和 的图像可证明结论④和⑤，结论②中的比较大小可通过 极值点偏移 的性 质 来解释． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ( ) | 5|f x x= − ( ) 5 | 2 3|g x x= − − ( ) ( )f x g x< Rx ∈ axgxf ≤− )()(2 a ( )f x (2) ( ) (3)f f f< π < ln xy x = lny x x= ln( ) xf x x =13． 14． 15． 16． 16．解析： ，当且仅当 时取“=”，即 ，再计算便可 得到答案． 三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分． 17．解析：（1） ． （3 分） 的单调递增区间为 ． （6 分） （2） ． （9 分） ． （12 分） 18．解析：（1） ， ． （6 分） （2） 面 BDE 的法向量为 ， ． （12 分） 19．解析：（1） ， ． （6 分） （2）当 时， ， 故当 时， ； 当 时， ． 因此 ． （12 分） 20．解析：本题考察阿基米德三角形，极点与极线的性质． 1 2 06 4 33 9 2 6 2cos 4C −≥ 6 2b a= max 5 12C = π ( ) sin( )6f x x π= − ( )f x 2[ 2 , 2 ],3 3k k k Z π π− + π + π ∈ 3B π= 7b = 1AE EB= DE BC (4,3,3)n = 1 12 3026cos , 1513B D n −< >=  1 1 2 1 1+ n n na a a+ − = 2 1na n = + 2n ≥ 1 1 1nb n n = − + 1n = 1 12nT = < 2n ≥ 11 1nT n = − < 1nT 2n ≥ 1 2 1nx x n+ > + 3 3 1y x= − − 2 24 4 0x x y y− + + = 2 2 6MP MQ R CM⋅ = − = (1,3)x∈ 2a ≥