山西省太原市第五中学2020届高三上学期11月阶段性考试数学（理）（Word版含答案）.docx

高三数学(理) 第 1 页(共 10 页) 高三数学(理) 第 2 页(共 10 页) 密 封 线 学校 班级 姓名 学号 密 封 线 内 不 得 答 题 太原五中 2019—2020 学年度第一学期阶段性检测 高 三 数 学（理） 命题、校对：王萍、王泽宇（2019.11） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项) 1. 已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 已知 是 的共轭复数，且 ，则 的模是（ ） A．3 B． C．5 D． 3. 若 可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 (a+1)(b+1)的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 函数 ，则 A．0 B． C．4 D．1 5. 已知 ，则 的大小关系是（ ） A． B. C． D． 6. 已知曲线 向左平移 个单位，得到的曲线 经过点 ，则（ ） A．函数 的最小正周期 B．函数 在 上单调递增 C．曲线 关于直线 对称 D．曲线 关于点 对称 7. 函数 y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.6 8．函数 的图象大致为（ ） A B C D 9. 已知正数 a、b 满足 ，则 的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 10. 平面 过棱长为1的正方体 的面对角线 ，且 平面 ， 平面 ，点 在直线 上， 则 AS 的长度为（ ） A. B. C. D.1 11. 已知实数 a,b 满足 ，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 12．如图，腰长为 4 的等腰三角形 中， ，动圆 的半径 ,圆心 在 线 段 （ 含 端 点 ） 上 运 动 ， 为 圆 上 及 其 内 部 的 动 点 ， 若 2 1 1| log - , | , 02 2 x A x y x B y y x      = = = = a b a b 2( ) ln( 1 ) 2= + − +f x x x 2 1 2 (log 3) (log 3)+ =（ ）f f 22log 3 8 2 2log 5, log 3, 3a b c= = = , ,a b c > >a b c > >b a c > >b c a > >c a b πsin(2 )6y x= + ( 0)ϕ ϕ > ( )y g x= π( ,1)12 − ( )y g x= π 2T = ( )y g x= 11π 17π[ , ]12 12 ( )y g x= π 6x = ( )y g x= 2π( ,0)3 3( ) exf x x= 1 1 1+ = a b 9 4 -1 -1 + a b α 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB α ⊥ 1C BD α  1 1ADD A AS= S 1 1A D 5 2 5 2 22 5ln 0,a a b c R− − = ∈ 2 2( ) ( )a c b c− + + 2 2 3 2 2 9 2 1 2 ABC 120A∠ =  Q 1R = Q BC P Q 高三数学(理) 第 3 页(共 10 页) 高三数学(理) 第 4 页(共 10 页) 密 封 线 内 不 得 答 题 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最小值 为 ． 14.设当 时，函数 的最大值为______. 15. 如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、 对立统一的哲学理念．定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 的一个“太极函数”，则下列命题正确的是_____ (1) 函数 可以同时是无数个圆的“太极函数”； (2) 函数 可以是某个圆的“太极函数”； (3) 若函数 是某个圆的“太极函数”，则函数 的图象一 定是中心对称图形； (4) 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个. 16． 已知 ，集合 ，集合 所有非空子集的最小元素 之和为 ，则使得 的最小正整数 的值为　　　　． 三、解答题(本大题 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（12分）在△ABC中，D是BC的中点，AB=1，AC=2，AD= . （1）求△ABC 的面积. （2）若 E 为 BC 上一点，且 ，求 λ 的值. 18.（12 分）已知函数 （1）若 a= 且 x 是锐角，当 ，求 x 的取值. （2）若函数 f(x)在区间 上单调递增,求实数 的取值范围. 19.（12 分）已知数列 满足 ，且 . (1) 求证：数列 是等比数列. (2) 设 为 数 列 的 前 n 项 的 和 ， 记 为 数 列 的 前 n 项 和 ， 若 ， 求 m 的最小值. 20.（12 分）如图，在三棱锥 中，顶点 在底面 上的投影 在棱 上， ， ， ， 为 的中点． （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值； （3 ）已知点 为 的中点，在棱 上是否存在 点 P ，使得 ，若存在，求 的值；若 不存在，说明理由． ( , )AP mAB nAC m n R= + ∈   m n+ 1 3,2 2      31, 2      3 ,22      52, 2      x y 2 0 3 0 2 6 x y x y x y − ≤  + − ≥  + ≤ | 2 |z x y= − 0, 2x π ∈   ( ) sin 2 2cosf x x x= + ( ) sinf x x= ( ) ln( )f x x= ( )f x ( )f x *n N∈ 1 3 5 2 1{ , , , , }2 4 8 2n n nM −=  nM nT 180≥nT n 3 2 = ( )+     AB ACAE AB AC λ sin( ) cos a xf x x −= 3 ( ) 3=f x π π( , )6 3 a { }na 1 12 3 2 , 2n n na a n− −− = ≥ 1 23 2a a= { }2n na − nS { }na nT 1 n na S    +  , nn N T m∗∀ ∈ < ,m N ∗∈ BD ABEPQ ⊥ 平面 BP BD高三数学(理) 第 5 页(共 10 页) 高三数学(理) 第 6 页(共 10 页) 密 封 线 学校 班级 姓名 学号 密 封 线 内 不 得 答 题 21.（12 分）已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程. （2）若正实数 满足 ，求证： . 说明：请在 22、23 题中任选一题做答，写清题号．如果多做，则按所做第一题记分． 22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数， 为 的倾斜角，且 ），曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 C2 的普通方程及曲线 C3 的直角坐标方程； （2）已知点 ，曲线 与 交于 两点，与 交于点 ，且 ， 求 的普通方程. 23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分） 已知 为正数,且 ,证明: (1) ； (2) . 高三数学理答案 一.选择题. ACACB DBCBC BA 二.填空题. 13. 14. 15.（1）（4） 16. 三、解答题 17.( 1) 由 可得： 求得 ， 所以 ， （ 2 ） 由 可 得 从而 ，由 可得 18.(1)由 得： ,即 又 为锐角， 所以 (2)因为函数 在区间 上单调递增 所以 在区间 恒成立, 2C 1 1( )2 1 1( )2 x t t y t t  = +  = − t x 3C π ( )2 θ ρ= ∈R ( 2,0)P − 1C 2C ,A B 3C Q 2PA PB PQ⋅ = l cba ,, 1=++ cba 1 3ab bc ac+ + ≤ 1222 ≤+⋅+⋅+ ca ac cb bc ba ab 2( ) 2lnf x x x x= + + ( )y f x= ( )1, (1)f 1 2,x x 1 2( ) ( ) 4f x f x+ = 1 2 2x x+ ≥ xOy 1C 2 cos , sin , x t y t α α = − +  = t α l π(0, )2 α ∈ 3 3 3 2 19 1 ( )2 = +  AD AB AC 2 21 ( )4 = +  AD AB AC = -1⋅ AB AC 1cos BAC 2 AB AC AB AC ⋅∠ = = − ⋅     BAC=120∠  ABC 3S = 2∆ ABC ABE ACES =S +S∆ ∆ ∆ 1 1 1 2sin + sin = sin2 3 2 3 2 3AB AE AC AE AB AC π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2AE= 3 +AB ACAE AB AC λ=    （ ） 2= 3 λ sin( ) cos a xf x x −= 3-sin 3 cosx x= 3sin + =3 2x π（ ） x 3x π= sin( ) cos a xf x x −= π π( , )6 3 ( ) 0f x′ ≥ π π( , )6 3 高三数学(理) 第 7 页(共 10 页) 高三数学(理) 第 8 页(共 10 页) 密 封 线 内 不 得 答 题 因为 ,所以 在区间 恒成立所以 19.（1）由已知条件可得： 由 得 所以 则数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列 （2）由上可知 ， 所以 ，故 可得 m 的最小值为 1. 20.（1）因为顶点 在底面 上的射影 在棱 上， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 由 ， ，得 ， 所以 ， 因为 且 ， ， ， 所以 ． （2）连接 ， 因为 为 的中点， 为 的中点， ， 所以 ， 如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间 直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 为平面 的一个法向量，则 取 ，得 ， 设平面 的一个法向量 ，则 取 ，则 ，平面 的法向量 ， 设二面角 的平面角为 ，则 ， 所以二面角 的余弦值为 ． （3）设 ， ， 因为 ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 . 2 2 cos sin ( sin ) ( sin ) sin 1( ) cos cos x x a x x a xf x x x − ⋅ − − ⋅ − −′ = = 2cos 0x > sin 1 0a x − ≥ π π( , )6 3 1 sina x ≥ 1 2 93 2a a= =， 1 12 3 2 , 2n n na a n− −− = ≥ 1 12( 2 ) 2n n n na a − −− = − 1 1 2 1 2 2 n n n n a a − − − =− { }2n na − 1 2 112 ( )2 n n na −= + +1 112 -( )2 n n nS −= n nn Sa )2 1(•3 1=+ 1 3 1