吉林省实验中学 2019-2020 学年度上学期高二年级
期中考试数学（文）试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.命题“所有矩形都有外接圆”的否定是（ ）
A．所有矩形都没有外接圆 B．若一个四边形不是矩形，则它没有外接圆
C．至少存在一个矩形，它有外接圆 D．至少存在一个矩形，它没有外接圆
2.已知点 是椭圆 的左焦点，则点 到椭圆 的右顶点 的距离是（ ）
A． B． C． D．
3.已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上任
一点，若 ，则 （ ）
A.4 B.23 C.2 D.
4.抛物线 的准线方程是（ ）
5.已知抛物线 x2＝2y 的焦点与椭圆
y2
m ＋
x2
2 ＝1 的一个焦点重合，则 m＝( )
A．1 B．2 C．3 D.
9
4
6.在曲线 的图象上取一点（1，2）及附近一点( )，则 为（ ）
A． B． C． D．
7.设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 、 两点，则
（ ）
A． B．6 C．12 D．
F
2 2
: 14 3
x yC + = F C M
2 3 3 1+ 3 2+
C
2 2
2 1( 0)4
x y aa
+ = > 1F 2F C P C
1 2 4 2PF PF+ = 1 2F F =
3
21
8y x=
12 += xy 1 ,2x y+ ∆ + ∆
x
y
∆
∆
21 +∆+∆
xx 21 −∆−∆
xx 2+∆x 21 +∆−∆
xx
F C xy 32 = F 30 C A B
=AB
3
30 37
2A. −=y 2B. −=x 32
1C. =x 32
1D. =y8.过椭圆 的左顶点 A 的斜率为 的直线交椭圆 C 于另一点 B，且点
B 在 轴上的射影恰好为右焦点 F，若椭圆的离心率为 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
9.设 a，b∈R，则 “a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.若直线 mx＋ny＝4 与⊙O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x2
9 ＋y2
4 ＝1 的
交点个数是( )
A. 至多为 1 B. 2 C. 1 D. 0
11.已知 P 为椭圆
x2
25＋
y2
16＝1 上的点，点 M 为圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 上的动点，点 N 为圆 C2：(x
－3)2＋y2＝1 上的动点，则|PM|＋|PN|的最大值为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
12.如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ，过椭圆上的点 作 轴的
垂线，垂足为 ，若四边形 为菱形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则该椭圆的离心率为 .
14.由“∃x0∈R，x02＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数 m 的取值范围是(a，＋∞)，
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > k
x 2
3 k
1
3
− 1
3
1
3
± 1
2
±
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2F F、 P y
Q 1 2F F PQ
2 1
2
− 3 1
2
−
2 1− 3 1−
2则实数 a＝________．
15.设抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，经过点 P(1，4)的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，且点 P
恰为 AB 的中点，则|AF|＋|BF|＝________．
16.双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b＞0)的离心率为 3，左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线右支
上一点，∠F1PF2 的平分线为 l，点 F1 关于 l 的对称点为 Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为
________．
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1） ，焦点在 轴上的椭圆的标准方程；
（2） ，焦点在 轴上的双曲线的标准方程；
（3）焦点在 轴上，且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程.
18.命题 ：方程 有实数解，命题 ：方程 表示焦点在 轴
上的椭圆．
(1) 若命题 为真，求 的取值范围；
(2) 若命题 为真，求 的取值范围．
4, 1a b= = x
4, 3a b= = y
y
p 2 3 0x x m− + = q 2 2
19 2
x y
m m
+ =− − x
p m
p q∧ m19.已知抛物线 C：y2＝4x，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 AB 中点 P 的坐标为
(2，1)，求原点 O 到直线 l 的距离.
20.已知抛物线 的准线方程为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）直线 交抛物线于 A、 两点，求弦长 .
21.已知两点 A（-1，0），B（1，0）分别求满足下列条件的点 M 的轨迹方程：
（1）M 到两定点 A、 的距离之和等于 4；
2 2 ( 0)y px p= > 1x = −
p
: 1l y x= − B AB
B（2）直线 AM、BM 相交于点 M，且它们的斜率之和是 2.
22.已知椭圆 ： 经过点 ，离心率为 ，点 为椭圆 的右
顶点，直线 与椭圆相交于不同于点 的两个点 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）当 时，求 面积的最大值；
（Ⅲ）若直线 的斜率为 2，求证： 的外接圆恒过一个异于点 的定点.
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3(1, )2
3
2
A C
l A 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
C
• 0AP AQ = OPQ∆
l APQ∆ A
二、选择题
1. D 2.B 3.A 4.A 5.D 6.C 7.C 8.C 9.C 10.B 11.B 12.B
三、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 14.1 15.10 16.x2－y2
2 ＝1
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(1) ；
(2) ；
(3) 或 .
18.【答案】（1） .（2）
【详解】
（1）∵ 有实数解，∴
（2）∵椭圆焦点在 轴上,所以 ，∴
∵ 为真， ， .
19.l:2x－y－3＝0，
∴原点 O 到直线 l 的距离为 d＝
|－3|
22＋12＝
3 5
5
2
2
2
2 116
x y+ =
1916
22
=− xy
2 4x y= 2 4x y= −
9
4m ≤ 92 4m< ≤
2 3 0x x m− + = 2 93) 4 0, 4m m（∆ = − − ≥ ∴ ≤
x
9 0
2 0
9 2
m
m
m m
− >
− >
− > −
112 2m< <
p q∧ 11 92 2 4m m∴ < < ≤且 92 4m∴ < ≤
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期中考试数学（文）试卷参考答案20.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.
【详解】
（Ⅰ）依已知得 ，所以 ；
（Ⅱ）设 ， ，由 消去 ，得 ，
则 ， ，
所以
.
21.
【答案】（1） ；（2）
【详解】
（1）依题意得，设点 的轨迹方程为椭圆 ，
所以 ， ，即 ，
所求点 轨迹方程为 .
（2）设 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所求点 轨迹方程为 .
12
p = 2p =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
1
4
y x
y x
= −
=
y 2 6 1 0x x− + =
1 2 6x x+ = 1 2 1x x =
( ) ( )2 2
1 2 1 2AB x x y y= − + − ( )2
1 22 x x= ⋅ −
( )2
1 2 1 22 4x x x x= ⋅ + − 2 32 8= ⋅ =
2 2
14 3
x y+ = 1 ( 1)y x xx
= − ≠ ±
M
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2a = 1c = 2 2 2 3b a c= − =
M
2 2
14 3
x y+ =
( )( ), 1M x y x ≠ ±
1AM
yk x
= + 1BM
yk x
= −
2
2 21 1 1AM BM
y y xyk k x x x
+ = + = =+ − −
1y x x
= −
M ( )1 1y x xx
= − ≠ ±22.【答案】（I） ；（II） ；（III） .
解：（Ⅰ）由题意知：且 ，
可得： ，
椭圆 的标准方程为 .
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，设 ，与 联立得：
.
由于 ，得 ，解得 或 （舍去）.
此时 ， 的面积为 .
当直线 的斜率存在时，设 ，与 联立得：
.
由 ，得 ；
由于 ，
得： .
由韦达定理得： ，
2
2 14
x y+ = 24
25
30 8,17 17
2 2 2
2 2
3
2
{
1 4 1
c
a
a b c
a b
=
= +
+ =
2
{ 1
3
a
b
c
=
=
=
C
2
2 14
x y+ =
l : =l x m
2
2 14
x y+ =
2 2
, 1 , , 14 4
m mP m Q m
− − −
0AP AQ• = ( ) 2
22 1 04
mm
− − − =
6
5m = 2m =
8
5PQ = OPQ∆ 24
25
l :l y kx m= + 2
2 14
x y+ =
( ) ( )2 2 24 1 8 4 1 0k x kmx m+ + + − =
> 0∆ 2 24 1 0k m− + >
0AP AQ• =
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4 0x x y y k x x km x x m− − + = + + − + + + =
2 212 5 16 0k m km+ + =即 或 （此时直线 过点 ，舍去）.
，
点 到直线 的距离为： .
的面积为 ，将 代入得：
的面积为 .
面积的最大值为 .
（Ⅲ）设直线 的方程为 ，联立方程 得：
①.
设 的外接圆方程为 ：联立直线 的方程 的：
②.
方程①②为同解方程，所以： .
又由于外接圆过点 ，则 .
从而可得到关于 的三元一次方程组：
，解得： .
代入圆的方程为： .
整理得： ；
6
5m k= − 2m k= − l A
( ) ( )( )22 2 2 2
1 2 1 2 2
41 4 1 4 14 1PQ k x x x x k k mk
= + + − = + − ++
O l 2 1
md
k
=
+
OPQ∆ 2 2
2
2 4 1
4 1
m k m
k
− +
+
6
5m k= −
OPQ∆
2
2 2
24 9 1 7 1 2411 125 256 64 25
4 4k k
× − × − × +
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