文数试卷
范围：除算法和统计概率外的全部内容 命题人：安素敏
一、单选题(每题 5 分，共 60 分)
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知复数 (i 为虚数单位），则 =（ ）
A.1+3i B.3+i C.1+i D.1-i
3．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A． B． C．(1+ ) D．
4．已知数列 的前 项和 满足 ( ）且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知命题： ；命题 ．则下列命题中
的真命题为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 y= sin2x 的图象可能是
A. B. C. D
{ }2log 1A x x= < { }2 2 0B x x x= + − < A B =
( ,2)−∞ (0,1) (0,2) ( 2,1)−
( )2z 1 2 2i i− = + 2z z+
{ }na n nS n m m nS S S ++ = m n， N∗∈ 1 5a = 8a =
40 35 5 12
2 x7．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
8．如图，在△ABC 中， ，过点 M 的直线分别交射线 AB、AC 于不同的两点 P、Q，
若 ，则 的最小值为( )
A.2 B. C.6 D.
9．在 中， ， ， ， 是边 上的点， ， 关于直线 的对称点分别为 ，
，则 面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10．已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
11．设 为双曲线 上的点， ， 分别为 的左、右焦点，且
， 与 轴交于点 ， 为坐标原点，若四边形 有内切圆，则 的离
心率为（ ） A. B. C. D.
2CM MB=
,AP mAB AQ nAC= = mn m+
2 3 6 3
2
2016( ) 2016 log ( 1 ) 2016 2x xf x x x −= + + + − + x
(3 1) ( ) 4f x f x+ + >
(0, )+∞ ( ,0)−∞ 1( , )4
− +∞ 1( , )4
−∞ −
P ( )2 2
2 2: 1 , 0x yC a ba b
− = > 1F 2F C
2 1 2PF F F⊥ 1PF y Q O 2OF PQ C
2 3 2 312．已知函数 ．若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，记过点 A
（x1，f（x1））和 B（x2，f（x2））的直线斜率为 k，若 0＜k≤2e，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. B.（e，2e] C. D.
二、填空题( 每空 5 分，共 20 分）
13．已知函数 ,则函数 的图象在点 处的切线方程是______.
14．已知实数 满足约束条件 则 的最大值为__________．
15．已知 分别是正四面体的棱 上的点，且 ，若 ，
,则四面体 的体积是_________.
16．已知 的最大值为 A，若存在实数 使得对任
意实数 总有 成立，则 的最小值为____________
三、解答题
17．在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c，且
（1）求角 A； （2）若 ，求 bc 的取值范围．
18．若数列 的前 项和为 ， 且 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，令 ，求数列 的前
项和 ，并比较 与 1 的大小关系.
19．在平行四边形 中， ， ，过 点作 的垂线，交 的延长线于
点 ， .连结 ，交 于点 ，如图 1，将 沿 折起，使得点 到达
点 的位置，如图 2.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 为 的中点， 为 的中点，且平面 平面 ，求三棱锥
( ) ( )
0
0
mx lnx xf x mx ln x x
−= + −
， ＞
， ＜
1 2e
， 1 ee
， 12 e e
+ ，
( ) ( )22 ' 2f x x xf= −
,x y
3 0,
0,
2,
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤
2 2x y+
D E F、 、 PA PB PC、 、 PD PE≠ 2DE =
7DF EF= = P DEF−
( ) sin(2019 ) cos(2019 )6 3f x x x
π π= + + − 1 2,x x
x 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ 1 2A x x−
{ }na n nS 1 0a > 22 n n nS a a= + ( )n ∗∈N
{ }na 0na > 1 2 1( 1) ( +1)
n
n
n n
nb a a
− += − { }nb n
nT nT
ABCD 3AB = 2BC = A CD CD
E 3AE = EB AD F ADE∆ AD E
P
BFP ⊥ BCP
G PB H CD ADP ⊥ ABCD G BCH−的体积.
20．已知椭圆 ，点 是 长轴上的一个动点，过点 的直线 与
交于 两点，与 轴交于点 ，弦 的中点为 ．当 为 的右焦点且 的倾斜角
为 时， ， 重合， ． （1）求椭圆 的方程；
（2）当 均与原点 不重合时，过点 且垂直于 的直线 与 轴交于点 ．求证：
为定值．
21．已知函数
（1）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若函数 有两个极值点 ,求
的最大值.
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，其中 为参数，在以
坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 的极坐标为 ， 直线
的极坐标方程为 .
（1）求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程；
（2）若 是曲线 上的动点， 为线段 的中点.求点 到直线 的距离的最大值.
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > M C M l
C P Q， y N PQ R M C l
5
6
π
N P 2PM = C
M N， O N OR 'l x H
OM
OH
( ) ln 1f x a x x= − +
( ) 0f x < ( )1,x∈ +∞ a
10 a e e
< ≤ + ( ) ( ) 1 1g x f x x
= + − 1 2 1 2, ( )x x x x<
( ) ( )2 1g x g x−
xOy C 2 3 cos
2sin
x
y
α
α
= =
α
O x P 4 2, 4
π
l sin 5 2 04
πρ θ − + =
l C
Q C M PQ M l参考答案
1．B
【解析】
【分析】
分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可．
【详解】
由 A 中不等式变形得：log2x＜1=log22，
解得：0＜x＜2，即 A=（0，2），
由 B 中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜1，即 B=（﹣2，1），
则 A∩B=（0，1），
故选：B．
【点睛】
本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
由题意可得 ，进而得到 .
【详解】
∵
∴
∴ 1-i
故选：D
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的概念 ，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
3．A
【解析】
z 1 i= − + 2z z+
( )2z 1 2 2i i− = +
( )
( )
2
2 22 2 2 2z 1 i2 21
i ii i
i i ii
++ += = = = − +− −−
2 1 i 2z z+ = − − + =由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的,其中半圆锥的底面半径为 1,
四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形,它们的高均为 ,则 V= ×( +4)× = ,故选
A.
4．C
【解析】
【分析】
数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且 a1=5，令 m=1，可得 Sn+1=Sn+S1，可得
an+1=5．即可得出．
【详解】
数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且 a1=5，
令 m=1，则 Sn+1=Sn+S1=Sn+5．可得 an+1=5．
则 a8=5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．
5．B
【解析】
试题分析： ，∴ 为真命题．
当 时， ， ， ，
∴ ，∴ 为假命题，∴ 为真命题．选 B．
考点：命题真假
【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简
单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，
做出判断即可．
以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据
“p∨q”“p∧q”“非 p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．
6．D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.
详解：令 ，
因为 ，所以 为奇函数，
排除选项 A,B;
因为 时， ，所以排除选项 C，选 D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的
左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变
化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循
环往复．
7．B
【解析】
试题分析：由题意知 ，不等式 有解，只需
即可，解得 或 .
【方法点睛】在数学运算中,为了解题方便,我们常将“ ”代换成另一种形式.高中数学中有
不少题目，如果能巧妙地利用 的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的
良效.本题就是巧妙运用 ，把 变换成 ，然后再利用均值不等式求出
的最小值，从而得到关于 的不等式，进一步求得 的范围．
考点：1、均值不等式；2、不等式有解成立的条件．
8．A
【解析】
【分析】
根据的向量的几何意义，利用 P，M，Q 三点共线，得出 m，n 的关系，利用基本不等式求最小
值．
【详解】
π( ,π)2
( ) 2 sin 2xf x x=
, ( ) 2 sin 2( ) 2 sin 2 ( )x xx R f x x x f x−∈ − = − = − = − ( ) 2 sin 2xf x x=
π( ,π)2x∈ ( ) 0f x ⇔ + + > ⇔ + > − ⇔ + > − ⇔ > −
( ( )) ( ( ))f g x f h x>
f ( )g x ( )h x详解：F1（﹣c，0），F2（c，0），P（c， ），
直线 PF1 的方程为 y= x+ ，即 b2x﹣2acy+b2c=0，
四边形 OF2PQ 的内切圆的圆心为 M（ ， ），半径为 ，
∴M 到直线 PF1 的距离 d= = ，
化简得：9b2﹣12abc﹣b4=0，
令 b=1 可得 ac= ，又 c2﹣a2=1，
∴a= ，c= ．
∴e= =2．
故选 C．
点睛：求离心率的取值，一般是找到关于离心率的方程，再解方程.关键是找方程，本
题是根据直线和圆相切得到圆心到直线的距离等于半径找到的方程.
12．C
【解析】
【分析】
当 x＞0 时，函数 f（x）=mx﹣lnx 的导函数为 ，不妨设 x2=﹣x1＞0，
则有 ，∴ 可得： ．由直线的斜率公式得
，m＞0，又 k＞0，可得 1+lnm＞0， ，令
，得 h′（m）=2+lnm=1+（1+lnm）＞0，得：
，所以 ．
【详解】
2b
a
2
2
b
ac
2
2
b
a
2
c
2
c
2
c
2
2
2 2 4
3
2
4
b c ac
a c b
−
+ 2
c
2
3
3
3
2
3
c
a
( ) 1 1mxf x m x x
=′ −= −
2
1x m
= 1 1B lnmm
+ ， ( )1 1A lnmm
− − + ，
( ) ( ) ( )2 1
2 1
1f x f xk m lnmx x
−= = +−
1m e
＞
( ) ( ) 11k h m m lnm m e
= = + ， ＞
( ) ( )1h h m h ee
≤ ＜ 1 m ee
≤＜当 x＞0 时，函数 f（x）=mx﹣lnx 的导函数为 ，
由函数 f（x）有两个极值点得 m＞0，又 f（x）为奇函数，不妨设 x2=﹣x1＞0，
则有 ，∴ 可得： ．
由直线的斜率公式得 ，m＞0，
又 k＞0，∴1+lnm＞0，∴ ，（当 时，k≤0，不合题意）
令 得 h′（m）=2+lnm=1+（1+lnm）＞0，
∴h（m）在 上单调递增，又 ，
由 0＜k≤2e 得： ，所以 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点及不等式问题，考查逻辑推理能力及运算能力，属
于中档题．
13．4x-y-8=0
【解析】解：∵函数 f（x）=2x 2-xf′（2），∴f′（x）=4x-f′（2），∴f′（2）=8-f′
（2），、∴f′（2）=4∴f（2）=8-2×4=0∴函数 f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方
程是 y-0=4（x-2）即 4x-y-8=0
故答案为：4x-y-8=0
14．
【解析】
分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z= 表示（0，0）到可
行域的距离，只需求出（0，0）到可行域的距离的最大值即可．
详解：根据约束条件 画出可行域：
( ) 1 1mxf x m x x
=′ −= −
2
1x m
= 1 1B lnmm
+ ， ( )1 1A lnmm
− − + ，
( ) ( ) ( )2 1
2 1
1f x f xk m lnmx x
−= = +−
1m e
＞ 10 m e
≤＜
( ) ( ) 11k h m m lnm m e
= = + ， ＞
1
e
+ ∞ ， ( )1 0 2h h e ee
= = ，
( ) ( )1h h m h ee
≤ ＜ 1 m ee
≤＜
29
2 2x y+
3 0
0
2
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤z=x2+y2 表示（0，0）到可行域的距离的平方，
当在区域内点 A 时，距离最大， ，可得 A（2，5）最大距离为 ，
的最大值为： ．
故答案为： ．
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是
虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、
还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
15．
【解析】
【分析】
由题意画出图形，设 PD=x，PE=y，PF=z，由余弦定理得到关于 x，y，z 的方程组，求解可得
x，y，z 的值，然后分别求出三角形 PDE 的面积及 F 到平面 PDE 的高，代入棱锥体积公式得答
案．
【详解】
如图，
3 0
2
x y
x
− + =
= 29
2 2x y+ 29
29
17
8设 PD=x，PE=y，PF=z，则
∵DE=2，DF=EF= ，
∴由余弦定理得，x2+y2﹣2xy• =4①
y2+z2﹣2yz• =7②
z2+x2﹣2zx• =7③
③﹣②得，x2﹣y2=xz﹣yz，
即（x+y）（x﹣y）=z（x﹣y），
∵x≠y，则 z=x+y，
代入②，得 x2+y2+xy=7，
又 x2+y2﹣xy=4，不妨设 x＞y，
解得，x= ，y= ，z= ．
则 = ，
F 到平面 PDE 的距离 d= ．
∴VP﹣DEF= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，属于中档题．
7
1
2
1
2
1
2
34 10
4
+ 34 10
4
− 34
2
1 34 10 34 10 3
2 4 4 2PDES
+ −= × × ×
3 3
8
6 6 34 51
3 3 2 3z = × =
1 3 3 51 17
3 8 3 8
× × =
17
816．
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换可得 f（x）=2sin（2019x+ ），依题意可知 A=2，|x1﹣x2|的最小值为 T=
，从而可得答案．
【详解】
∵f（x）=sin（2019x+ ）+cos（2019x﹣ ），
= sin2019x+ cos2019x+ cos2019x+ sin2019x，
= sin2019x+cos2019x
=2sin（2019x+ ），
∴A=f（x）max=2，周期 T= ，
又存在实数 x1，x2，对任意实数 x 总有 f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，
|x1﹣x2|的最小值为 T= ，又 A=2，
∴A|x1﹣x2|的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正
弦函数的周期性的考查，属于中档题．
17．（1） ;(2) .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题根据余弦定理化简所给条件可得 ，所以 ，
根据角的范围可得角 A；（Ⅱ）由题根据所给条件可得 ，根据正弦定理可得
，所以 ，然后根据
2
2019
π
6
π 1
2
2019
π
6
π
3
π
3
2
1
2
1
2
3
2
3
6
π
2
2019
π
1
2 2019
π
2
2019
π
2
2019
π可得 bc 的范围．
试题解析：（1）由
且 4 分
（2） 又
8 分
12 分
考点：正弦定理、余弦定理的应用
18．（1） 或 ；
（2） ,当 为奇数时, ,
当 为偶数时， .
【解析】
【分析】
（1）由 可得可得 或 ，从而得到数列 的通项公式；
（2） ，利裂项相消法得到数列 的前 项和 ，分奇偶判断
与 1 的大小
【详解】
（1）当 时， ，则
当 时， ，
即 ，由 可得 或
则 或 .
（2）
na n= ( ) 11 n
na −= −
( ) 1 11 1 +1
n
nT n
−= + − n 11 11nT n
= + >+
n 11 11nT n
= − 1 1n na a −= + 1 0n na a −+ =
na n= ( ) 11 n
na −= −
0na >
当 n 为奇数时,
当 n 为偶数时，
【点睛】
已知 求 的一般步骤：（1）当 时，由 求 的值；（2）当 时，由
，求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则
分段表示 ；（4）写出 的完整表达式.
19．（1）见解析； （2） .
【解析】
【分析】
（1）证明 ． ， ．推出 ， ，得到
平面 BFP，然后证明平面 平面 BCP．（2）解法一：证明 平面 ABCD．取 BF 的中点
为 O，连结 GO，得到 平面 ABCD．然后求解棱锥的高．解法二：证明 平面
ABCD．三棱锥 的高等于 ．说明 的面积是四边形 ABCD 的面积的 ，通
过 ，求解三棱锥 的体积．
【详解】
（1）证明：如题图 1，在 中， ， ，所以 ．
在 中， ，所以 ．
所以 ．
如题图 2， ．又因为 ，所以 ， ，
，
所以 平面 BFP，又因为 平面 BCP，所以平面 平面 BCP．
（2）解法一：因为平面 平面 ABCD，
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 1 2 1 1 11 1 1+1 1 1
n n n
n
n n
n nb a a n n n n
− − −+ + = − = − = − + + +
( ) ( )1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 12 2 3 3 4 1 +1
n n
nT n n n
− − ∴ = + − + + + − + − + = + − +
11 11nT n
= + >+
11 11nT n
= − ( )f' x 0= x a= ( )x 1,a∈ ( )f' x 0> ( )f x ( )1,a
( ) ( )f x 1 0f> > ( )f x 0<
a a 1≤
( ) ( ) 1 1g x f x 1 alnx xx x
= + − = − + ( ) 2
2 2
a 1 x ax 1g x 1x x x
− + −= − − =′
( )g x 0′ = 2x ax 1 0− + − = 1 2 1 2x ,x (x x )<
1 2
1 2
x x
x x 1
0
a+ =
=
∆ >
1
2
2
2
1x x
1x x
2
a
a
=
= +
>
1 20 x 1 x< < <
2
1
x 1
1
x
2
1
x
x 2
1
x 1
1
x
2
1
x 2
1
x 2
1
x
2
1
x 2
1
x
12 ,ea e< ≤ + 2
2
1 12 x ex e
< + ≤ +
2x 1> 21 x e< ≤
( ) 1 2t x 2 x lnx 2xx x
= + + − 1 x e< ≤，由 ，则 ，故
所以 在 单调递增，当 时， 取得最大值，最大值为
【点睛】
本题考查函数的单调性的讨论，考查实数的取值范围、函数最大值的求法，考查导数性质、
构造法等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
22．(1) 曲线 的普通方程为 直线 的直角坐标方程为 ;(2) 最大值
为 .
【解析】
试题分析：（1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角
坐标方程．
（2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，再利用三角函数
的最值求出结果．
试题解析：
（1）∵直线 的极坐标方程为 ，即 .
由 ， ，可得直线 的直角坐标方程为 .
将曲线 的参数方程 消去参数 ，得曲线 的普通方程为 .
（2）设 .
点 的极坐标 化为直角坐标为 .
则 .
∴点 到直线 的距离 .
( ) 2
1t x 2 1 lnxx
∴
′ = − 1 x e< ≤ 2
11 0, 0x lnx− > > ( )t x 0′ >
( )t x ( ]1,e x e= ( )t x ( ) 4t e e
=
C
2 2
112 4
x y+ = l 10 0x y− − =
6 2
l sin 5 2 04
πρ θ − + = sin cos 10 0ρ θ ρ θ− + =
cosx ρ θ= siny ρ θ= l 10 0x y− − =
C 2 3
2
x cos
y sin
α
α
= =
α C
2 2
1( 0)12 4
x y y+ = >
( )2 3cos ,2Q sinα α (0 )α π< <
P 4 2, 4
π
( )4,4
( )3cos 2,sin 2M α α+ +
M l 3cos sin 10
2
d
α α− −
= 2sin 103
2
πα − + = 6 2≤当 ，即 时，等号成立.
∴点 到直线 的距离的最大值为 .
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标
方程与参数方程的互化，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值问题的应用．其中把
直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，是解题的关键
sin 13
πα − =
5
6
πα =
M l 6 2
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