文科数学
一、单选题
1．已知命题 ,总有 ,则 为
A． ,使得 B． ,使得
C． ,总有 D． ,总有
2．在一个棱长为 的正方体的表面涂上颜色，将其分割成 27 个棱长为 的小正方体，
全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有
颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣2，则判断框①中可以填入的条件是（ ）
: 0p x∀ > ( )1 e 1xx + ≥ p¬
0 0x∃ > ( ) 0
0 1 e 1xx + < 0 0x∃ < ( ) 0
0 1 e 1xx + <
0x∀ > ( )1 e 1xx + ≤ 0x∀ ≤ ( )1 e 1xx + ≤
3cm 1cm
4
9
8
27
2
9
1
27
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0, 0,| | 2A
πω ϕ> > <
( ) sing x A xω= ( )y f x=
6
π
6
π
12
π
12
πA．n≥999 B．n＜9999 C．n≤9999 D．n 1 2,F F 2F C
H 2F H 3
3
− C
3 2
889
127
1111
31
840
31
0 1a a> ≠且 ( ) logx
af x a x= − a ( )f x
A B C A 1 2 3 4 5 6
BA． B． C． D．
11．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时，
，则不等式 的解集为
A． ， B． C． ， D．
12．定义在 上的函数 若满足：①对任意 、 ，都有
；②对任意 ，都有 ，则称函数
为“中心撇函数”，点 称为函数 的中心.已知函数 是以
为中心的“中心撇函数”，且满足不等式 ，当
时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．
已知复数 ，则
14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 的准线为 l,直线 l 与双曲线
的两条渐近线分别交于 A,B 两点, ,则 p 的值为______．
69 64 61 63
R ( )g x ( )g x′ 3( ) ( )g x g x x= − + 0x
23( ) 2g x x>′ 22 ( 1) 2 ( ) 3 3 1g x g x x x< ++ − + ( )
1( 2
− 0) 1( , )2
−∞ − 1(2
)+∞ 1( , )2
−∞
R ( )f x 1x ( )2 1 2x x x≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − > x ( ) ( ) 2f a x f a x b+ + − =
( )f x ( ),a b ( )f x ( )3 2y f x= + +
( )3,2− ( ) ( )2 23 3f m n f n m− ≤ − − + 3 ,02n ∈ −
2m n+
[ ]6,0− [ ]2,0− [ ]2,4 1 ,12
1
1
iz i
−= +
(i为虚数单位） ____z =
2 2
12 3
x y− = 3AB =15.在中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 ,且 ,则
的面积为______．
16．如图，在边长为 3 正方体 中， 为 的中点，点 在正方体的表面
上移动，且满足 ，当 P 在 CC1 上时，AP=_______,点 和满足条件的所有点 构
成的平面图形的面积是_______.
三、解答题
17．已知向量 ，函数 ，且
当 ，时， 的最大值为 .
（1）求 的值，并求 的单调递减区间；
（2）先将函数 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变），再将所
得图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求方程 在区间 上
所有根之和.
18．已知函数 ，函数 在 上的零点按从小到大的顺序构
成数列 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
2 2 2 2a b c ab+ − = sin 3sinac B C=
1 1 1 1ABCD A B C D− E BC P
1 1B P D E⊥ 1B P
( 2 cos , 6 sin ), ( 3cos , 3 cos )a x x b x x= = − ( ) 2f x a b m= ⋅ −
0, 2x
π ∈ ( )f x 1−
m ( )f x
( )y f x= 2
3
6
π ( )y g x= 11( ) 2g x = − 2[0, ]3
π
( ) tanf x x= − ( ) 3y f x= − ( )0, ∞+
{ }( )Nna n ∗∈
{ }na
2
3
2
( 3)(3 2 1)
n
n
a
b n n n
π= + + −
{ }nb n nS19 ． 在 四 棱 锥 中 ， , ，
， 为 中点， 为 中点， 为 中点, ．
（1）求证： 平面 ；
（2）证明： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
20．已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦
点，离心率等于 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点(异于左右顶点)，椭圆 C 的左顶点为 D，
试判断直线 AD 的斜率与直线 BD 的斜率之积与 的大小，并说明理由.
21．已知函数 .
（1）若函数 存在不小于 的极小值，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.
22．已知曲线 ： 和 ： ，以原点 为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
P ABCD− 090ABC ACD∠ = ∠ = 060BAC CAD∠ = ∠ =
PA ABCD⊥ 平面 E PD M AD F PC 2 3PA AB= =
/ /EF ABCD
AF ⊥ PCD
E ACF−
C x 2 4 2x y= −
2
2
C
C F l C ,A B
1
2
−
( ) ( )ln 1 ,f x mx x e m R e= − + + ∈ 为自然数2. 71828
( )f x 3e + m
1m = − [ ),x e∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 0x ex e e af x−− + ≥ a
1C sin 24
πρ θ + = 2C 3 cos (
sin
x
y
θ θ
θ
= =
为参数） O
x（Ⅰ）求出 ， 的普通方程.
（Ⅱ）若曲线 上的点 到曲线 的距离等于为 ，求 的最大值并求出此时点 的坐标；
23．已知函数 .
（I）当 时，求不等式 的解集；
（II）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
1C 2C
2C M 1C d d M
( ) 1f x x x x a= − − −
2a = ( ) 1f x <
( )1,x∈ +∞ ( ) 2f x x> − a文科数学
一、单选题
1．已知命题 ,总有 ,则 为
A． ,使得 B． ,使得
C． ,总有 D． ,总有
【答案】A
【解析】
【详解】
命题的否定是对命题结论的否定，全称命题的否定是特称命题，
因此 为 ,使得 ，
故选 A.
2．在一个棱长为 的正方体的表面涂上颜色，将其分割成 27 个棱长为 的小正方体，
全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有
颜色的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由在 27 个小正方体中选一个正方体，共有 27 种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表
面有三个面涂有颜色，有 8 种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．
【详解】
由题意，在 27 个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有 8 个，恰好有两个都涂有颜
色的共 12 个，恰好有一个面都涂有颜色的共 6 个，表面没涂颜色的 1 个，
可得试验发生包含的事件是从 27 个小正方体中选一个正方体，共有 27 种结果，满足条件的
事件是取出的小正方体表面有三个面都涂色，有 8 种结果，所以所求概率为 ．
故选：B．
: 0p x∀ > ( )1 e 1xx + ≥ p¬
0 0x∃ > ( ) 0
0 1 e 1xx + < 0 0x∃ < ( ) 0
0 1 e 1xx + <
0x∀ > ( )1 e 1xx + ≤ 0x∀ ≤ ( )1 e 1xx + ≤
p¬
0 0x∃ > ( ) 0
0 1 e 1xx + <
3cm 1cm
4
9
8
27
2
9
1
27
8
273．函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方
法求解.
【详解】
由图象可知 ，又 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，又 ，所以
所以 ，又因为 ，故只需向右平移 个单位长度.
故选 A.
4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣2，则判断框①中可以填入的条件是（ ）
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0, 0,| | 2A
πω ϕ> > <
( ) sing x A xω= ( )y f x=
6
π
6
π
12
π
12
π
1A = 7
12 3 4 4
Tπ π π− = = T π=
2T
π
ω= 2ω = ( ) ( )sin 2f x x ϕ= +
7 71, sin 2 112 12f
π π ϕ = − ∴ × + = − | | 2
ϕ π< ,3
πϕ =
( ) sin 2 3f x x
π = + ( ) sin 2g x x=
6
πA．n≥999 B．n＜9999 C．n≤9999 D．n 1 2,F F 2F C
H 2F H 3
3
− C
3 2
by xa
= ± 2 2
3 , 303F Hk HF O= − ∠ = 所以
2 60 , tan 60 3bHOF a
∠ = = = 所以 即
2
2 4c
a
=所以 2c
a
=
889
127
1111
31
840
31
5 5
1 1
5
(1 ) (1 2 ) 1201 1 2
a q aS q
− −= = =− − 1
120
31a =故得银最少的 3 个人一共得银数为 (两．
故选 D．
9．设 ，设函数 ，则当 变化时，函数 的零点个数可能
是（ ）
A.1 个或 2 个 B.1 个或 3 个 C.2 个或 3 个 D.1 个或 2 个或 3 个
【答案】D
【解析】将零点问题化归为函数图像交点问题，然后由数形结合可知，存在以下三种情况：
10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的
奥妙：有 、 、 三个木桩， 木桩上套有编号分别为 、 、 、 、 、 的六个圆环，
规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较
大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到 木桩上，则所需的最
少次数为（ ）
2
1 2 3
120 840(1 2 2 )31 31a a a+ + = + + =
0 1a a> ≠且 ( ) logx
af x a x= − a ( )f x
A B C A 1 2 3 4 5 6
BA． B． C． D．
【答案】D
【解析】
假设 桩上有 个圆环，将 个圆环从 木桩全部套到 木桩上，需要最少的次数为
，可这样操作，先将 个圆环从 木桩全部套到 木桩上，至少需要的次数为 ，然后
将最大的圆环从 木桩套在 木桩上，需要 次，在将 木桩上 个圆环从 木桩套到 木
桩上，至少需要的次数为 ，所以， ，易知 .
设 ，得 ，对比 得 ，
， 且 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
，因此， ，故选：D.
11．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时，
，则不等式 的解集为
A． ， B． C． ， D．
【答案】B
【详解】
定义在 上的函数 ， ，
，
令 ，则 为偶函数
，又当 时， ，
， 在 ， 为增函数，且 在 为减函数
69 64 61 63
A 1n + 1n + A B
1na + n A C na
A B 1 C n C B
na 1 2 1n na a+ = + 1 1a =
( )1 2n na x a x+ + = + 1 2n na a x+ = + 1 2 1n na a+ = + 1x =
( )1 1 2 1n na a+∴ + = + 1 1 21
n
n
a
a
+ +∴ =+ 1 1 2a + =
{ }1na + 2 2
5
6 1 2 2 64a∴ + = × = 6 63a =
R ( )g x ( )g x′ 3( ) ( )g x g x x= − + 0x
23( ) 2g x x>′ 22 ( 1) 2 ( ) 3 3 1g x g x x x< ++ − + ( )
1( 2
− 0) 1( , )2
−∞ − 1(2
)+∞ 1( , )2
−∞
R ( )g x 3( ) ( )g x g x x= − +
( )33 3
( ) ( ) ( )2 2 2
xx xg x g x g x
−− = − + = − −
3
( ) ( ) 2
xh x g x= − ( ) ( )h x h x= − ( )h x∴
23( ) ( ) 2
xh x g x′ = ′ − 0x
23( ) 2
xg x >′
( ) 0h x∴ ′ > ( )h x [0 )+∞ ( )h x ( ,0)−∞不等式
即 解得 ，故选 ．
12．定义在 上的函数 若满足：①对任意 、 ，都有
；②对任意 ，都有 ，则称函数
为“中心撇函数”，点 称为函数 的中心.已知函数 是以
为中心的“中心撇函数”，且满足不等式 ，当
时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 知此函数为增函数.
由函数 是关于 的“中心撇函数”，知曲线 关于点
对称，故曲线 关于原点对称，故函数 为奇函数，且函数
在 上递增，
于是得 ， .
， .
则问题转化为在线性约束条件 下，求 的取值范围。
易得 故选：A.
3 3
2 ( 1)2 ( 1) 2 ( ) 3 3 1 ( ) ( 1)2 2
x xg x g x x x g x g x
++ − < + ⇔ −+ − > +
( ) ( 1) 1h x h x x x> + ∴ > + 1
2x < − B
R ( )f x 1x ( )2 1 2x x x≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − > x ( ) ( ) 2f a x f a x b+ + − =
( )f x ( ),a b ( )f x ( )3 2y f x= + +
( )3,2− ( ) ( )2 23 3f m n f n m− ≤ − − + 3 ,02n ∈ −
2m n+
[ ]6,0− [ ]2,0− [ ]2,4 1 ,12
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − >
( )3 2y f x= + + ( )3,2− ( )3 2y f x= + +
( )3,2− ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x=
R
( ) ( )2 23 3f m n f n m− ≤ − 2 23 3m n n m∴ − ≤ −
2 2 3 3 0m n m n∴ − + − ≤ ( ) ( ) 3 0m n m n∴ − + + ≤
( ) ( ) 3 0
3 02
m n m n
n
− + + ≤
− ≤ ≤
2m n+
[ ]2 6,0m n+ ∈ −三、填空题
14．
已知复数 ，则
【答案】
【解答】
，
14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 的准线为 l,直线 l 与双曲线
的两条渐近线分别交于 A,B 两点, ,则 p 的值为______．
【答案】
【解答】
解：抛物线 的准线为 l： ,
双曲线 的两条渐近线方程为 ,
可得 ,
则 ,可得 ．
故答案为 ．
15.在中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 ,且 ,则
的面积为______．
【答案】
【解答】
解：在中, ,
由余弦定理得 ,则 ,
1
1
iz i
−= +
(i为虚数单位） ____z =
1
( )2
2 2
1 2
1 2
i iz ii
− −= = = −−
1z∴ =
2 2
12 3
x y− = 3AB =
2
2 2
12 3
x y− = 6
2y x= ±
6 6, , ,2 4 2 4
p pA p B p
− − −
6 6 34 4AB p p
= − − = 2p =
2
2 2 2 2a b c ab+ − = sin 3sinac B C=
3 2
4
2 2 2 2a b c ab+ − =
2 2 2 2 2cos 2 2 2
a b c abC ab ab
+ −= = =
4C
π=,由正弦定理得 ,
16．如图，在边长为 3 正方体 中， 为 的中点，点 在正方体的表面
上移动，且满足 ，当 P 在 CC1 上时，AP=_______,点 和满足条件的所有点 构
成的平面图形的面积是_______.
【答案】 , .
【详解】
取 ， 的中点分别为 ，连结 ，
由于 ，所以 四点共面，且四边形 为梯形，
因为 ，所以 面 ，
因为点 在正方体表面上移动，所以点 的运动轨迹为梯形 ，如图所示：
sin 3sinac B C= 3 , 3ac b c ab⋅ = =则
1 1 2 3 2sin 32 2 2 4ABCS ab C∆∴ = = ⋅ ⋅ =
1 1 1 1ABCD A B C D− E BC P
1 1B P D E⊥ 1B P
9
2
81
8
1CC CD ,N M 1 1, , ,AM MN B N AB
1 / /AB MN 1AB NM 1AB NM
1 1, ,D E MN D E AM MN AM M⊥ ⊥ ∩ = 1D E ⊥ 1AB NM
P P 1AB NM因为正方体 的边长为 3，所以
当点 P 在 CC1 上时，点 P 为 CC1 的中点 N，
又 ，
所以梯形 为等腰梯形，所以 。
三、解答题
17．已知向量 ，函数 ，且
当 ，时， 的最大值为 .
（1）求 的值，并求 的单调递减区间；
（2）先将函数 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变），再将所
得图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求方程 在区间 上
所有根之和.
【答案】（1） ， ；（2） .
【详解】（1）函数
，
得 .
即 ，由题意得
，
1 1 1 1ABCD A B C D−
( ) 222 2 3 93 2 2 2AP AN AC CN = = + = + =
1 1
3 2 3 5, 3 2,2 2NM AB AM B N= = = =
1AB NM 1
1 ( )2S MN AB= + 1 3 2 9 2 81(3 2 )2 2 4 8h⋅ = + =
( 2 cos , 6 sin ), ( 3cos , 3 cos )a x x b x x= = − ( ) 2f x a b m= ⋅ −
0, 2x
π ∈ ( )f x 1−
m ( )f x
( )y f x= 2
3
6
π ( )y g x= 11( ) 2g x = − 2[0, ]3
π
3 22 4
−
8 8
3 7, ( )k k k Z
π ππ π + + ∈
5
6
π
2 3( ) 3 2 cos 3 sin cos 2 3sin 2
42 22 2f x x x x m x m
π = − + − = − − −
max4
3 3 20, , 2 , , ( ) 3 2 12 4 4 2x x f x m
π π π π ∈ ∴ − ∈ − = − − = −
3 22 4m = −
( ) 3sin 2 44f x x
π = − −
32 2 22 4 2k x k
π π ππ π+ ≤ − ≤ +得
所以，函数 的单调减区间为 .
（2）由题意，
，
又 ，得
解得： 或
即 或
或 故所有根之和为 .
18．已知函数 ，函数 在 上的零点按从小到大的顺序构
成数列 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ．（2）
【解析】
解：（1） ，
由 及 得 ，
则数列 是首项 ，公差 的等差数列，所以 ．
8 ,8
3 7k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
( )f x
8 8
3 7, ( )k k k Z
π ππ π + + ∈
( ) 3sin 3 6 4 44 3sin 3 4g x x x
π π π = + − − = + −
11( ) 2g x = − 1sin 3 4 2x
π + = −
3 24 6x k
π ππ+ = − 53 2 ( )4 6x k k Z
π ππ+ = − ∈
2 5
3 36
kx
π π= − 2 13 ,3 36
kx k Z
π π= − ∈
20, 3x
π ∈ 3
9
6
1x
π∴ = 11
36x
π= 19 11 5
36 36 6
π π π+ =
( ) tanf x x= − ( ) 3y f x= − ( )0, ∞+
{ }( )Nna n ∗∈
{ }na
2
3
2
( 3)(3 2 1)
n
n
a
b n n n
π= + + −
{ }nb n nS
3na n
ππ= −
2
24 4( 2)( 3) 24( 2)(
5 2 5 5 1
3)
3
n
n nS n
n
n n n
+ += − + + + +或
( )f x tanx= −
tan 3x = − 0x > 2 ,3x k k N
ππ= + ∈
{ }na
3
2π
d π=
3na n
ππ= −（2）由（1）得
，
则
19 ． 在 四 棱 锥 中 ， , ，
， 为 中点， 为 中点， 为 中点, ．
（1）求证： 平面 ；
（2）证明： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
解析：（1）因为 为 的中点， 为 中点，则在 中， ∥ ， 平面
, 平面 , 则 ∥平面
2
3
2
( 3)(3 2 1)
n
n
a
b n n n
π= + + −
2
3 ( ) 3 1 1 1 12 3 ( )( 3)(3 2 1) 2( 3)( 1)(3 1) 4 1 3
n n
n n n n n n n n
πππ − −= = = −+ + − + + − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 1 34 4 3 5 4 32 2 3nS n n n n
= − + − + + − = + − − + + + +
2
24 4( 2)( 3)
5 2 5 5
24( 2)( 3
13
)
n n n
n n n n
+ += − + + + +或
P ABCD− 090ABC ACD∠ = ∠ = 060BAC CAD∠ = ∠ =
PA ABCD⊥ 平面 E PD M AD F PC 2 3PA AB= =
/ /EF ABCD
AF ⊥ PCD
E ACF−
9 3
8
E PD F PC PCD∆ EF CD CD ⊂
ABCD EF ⊄ ABCD EF ABCD
(2)
,
90 ,
3 , 32 cos60
3,
PA ABCD
PA CD PA AC
ACD CD AC
PA AC PAC
CD PAC
CD AF
ABABC AB AC
PA AC F PC
AF PC CD AF
PC CD PCD
AF PCD
⊥
∴ ⊥ ⊥
∠ = ⊥
∴ ⊥
∴ ⊥
∆ = = =
∴ = =
∴ ⊥ ⊥
∴ ⊥
证法一： 平面
由题知 即
而 ， 是平面 内两条相交直线
平面
在 中，
且 为 中点
又
而 ， 是平面 内两条相交直线
平面
,
CD PAC
CD PCD
PCD PAC PC
AF PAC AF PCDAF PC
⊥
⊂
∴ ⊥
⊂ ⇒ ⊥ ⊥
证法二：由证法一知： 平面
而 平面
平面 平面 交线为
平面由 平面
2 2 2
2 3
3,
1 3 2 1 3 3 1 3 5, , ,2 2 2 2 2 2
,
,
AC AB
PA AC PA AC
AF PC EF CD AE PD
AF EF AE AF EF AF PC
EF PC PCD
AF PCD
= =
= = ⊥
∴ = = = = = =
∴ + = ⊥ ⊥
⊥
证法三：由
则 又
即 又
而 是平面 内两条相交直线
平面20．已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦
点，离心率等于 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点(异于左右顶点)，椭圆 C 的左顶点为 D，
试判断直线 AD 的斜率与直线 BD 的斜率之积与 的大小，并说明理由.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】
(1)设椭圆的标准方程为为 ，
由题 ， .即 ,
∴椭圆 C 的方程为 .
(2)直线 AD 与直线 BD 的斜率之积为定值，且定值为
由题易知
当直线 AB 的斜率不存在时， ，
易求
当直线 AB 的斜率存在时，可设直线 AB 的方程为 ，
设
, / /
,
1 1 1 1 9 1 3 33 3 ,2 2 2 2 4 2 2
1 1 9 3 3 9 3
3 3 4 2 8
ACF PAC
E ACF ACF
CD PAC EF CD
EF PAC EF ACF
S S PA AC EF CD
V S EF
∆ ∆
− ∆
⊥
∴ ⊥ ⊥
= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = =
∴ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( 3) 由( 1) ( 2) 知 平面
平面 即 平面
C x 2 4 2x y= −
2
2
C
C F l C ,A B
1
2
−
2 2
24 1x y+ = 3 12 2 2
− > −
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
+ = > >
2b =
2 2
2
2
2
c a be a a
−∴ = = = 2
2
2
2
21 , 4aa
− = ∴ =
2 2
24 1x y+ =
3 12 2 2
− > −
( 2,0)D −
( 2,1), ( 2, 1)A B −
1 1 32 22 2 2 2DA DBk k
−⋅ = ⋅ = −
+ +
( 2)( 0)y k x k= − ≠
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y联立 可得
，
则
故直线 AD 与直线 BD 的斜率之积为定值 .
21．已知函数 .
（1）若函数 存在不小于 的极小值，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）函数 的定义域为 ， .
当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
此时，函数 无极值；
当 时，令 ，得 ，
又当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 时取得极小值，且极小值为 .
2 2
14 2
( 2)
x y
y k x
+ =
= −
2 2 2 2(2 1) 4 2 4 4 0k x k x k+ − + − =
2 2
1 2 1 22 2
4 2 4 4,1 2 1 2
k kx x x xk k
−+ = ⋅ =+ +
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 21 2 1 2
2 2
1 2 1 2
( 2)( 2)
2 2 ( 2)( 2)
2( ) 2 2 322( ) 4 212 8 2
DA DB
y y k x xk k x x x x
k x x x x k
x x x x k k
− −⋅ = ⋅ =+ + + +
− + + − = = = −+ + + +
3 12 2 2
− > −
( ) ( )ln 1 ,f x mx x e m R e= − + + ∈ 为自然数2. 71828
( )f x 3e + m
1m = − [ ),x e∀ ∈ +∞ ( ) ( ) 0x ex e e af x−− + ≥ a
[ , )e +∞ , 1
e
e
−∞ +
( )y f x= ( )0, ∞+ ( ) 1 1mxf x m x x
−′ = − =
0m ≤ ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )0, ∞+
( )y f x=
0m > ( ) 0f x′ = 1x m
=
10,x m
∈
( ) 0f x′ < 1 ,x m
∈ +∞
( ) 0f x′ >
( )y f x= 1x m
= 1 ln 2f m em
= + + 令 ，即 ，得 .
综上所述，实数 的取值范围为 ；
（2）当 时，问题等价于 ，
记 ，
由（1）知， 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
①当 时，由 可知， ，
所以 成立；
②当 时，
设
恒成立，所以 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上单调递增，所以 .
所以，函数 在区间 上单调递增，从而 ，命题成立.
③当 时，显然 在区间 上单调递增，
记 ，则 ，当 时， ，
所以，函数 在区间 上为增函数，即当 时，
.
ln 2 3m e e+ + ≥ + ln 1m ≥ m e≥
m [ , )e +∞
1m = − ( ) ( )ln 1 0x ex e e a x x e−− − + − − ≥
( ) ( ) ( )ln 1x ex e e a x x eh x −− − + − −=
( ) ln 1f x x x e= − − + + [ ),e +∞
ln 1y x x e= + − − [ ),e +∞ ln 1 ln 1 0x x e e e e+ − − ≥ + − − =
0a ≤ x e≥ ( ) 0x ex e e −− ≥ ( )ln 1 0a x x e− + − − ≥
( ) 0h x ≥
0 1ea e< ≤ +
( ) 1( 1) 1x eh x x e e a x
− ′ = − + − +
( ) 1( ) ( 1) 1x eg x h x x e e a x
− ′= = − + − +
( ) 2+2 + 0x e ag x x e e x
−′ = − >（ ） ( )g x [ ),e +∞
( )h x′ [ ),e +∞ ( ) ( ) 11 0eh x h e a e
+′ ′≥ = − ≥
( )y h x= [ ),e +∞ ( ) ( ) 0h x h e≥ =
1
ea e
> +
( ) 1( 1) 1x eh x x e e a x
− ′ = − + − +
[ ),e +∞
1 1( ) ( ) 1 ( 1) 1 0eh x h e a ae e
+′ ′∴ ≥ = − + = − <
( ) ( 1)x em x e x e−= − − + ( ) 1x em x e −′ = − x e≥ ( )' 0m x ≥
( )y m x= [ , )e +∞ x e≥ ( ) ( ) 0m x m e≥ =
( 1) 0x ee x e−∴ ≥ − + >
( ) 21 1( 1) 1 ( 1) 1x eh x x e e a x e ax x
− ′∴ = − + − + > − + − + ，由于 ，显然
设
， ，
由②可知 在区间 上单调递增
所以在区间 内，存在唯一的 ，使得 ，
故当 时， ，即当 时， ，不符合题意，舍去.
综上所述，实数 的取值范围是 .
22．已知曲线 ： 和 ： ，以原点 为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
（Ⅰ）求出 ， 的普通方程.
（Ⅱ）若曲线 上的点 到曲线 的距离等于为 ，求 的最大值并求出此时点 的坐标；
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）
【详解】
（Ⅰ）
则
，又
( ) 2 14 (4 1) 14h a a e a a
′∴ > − + − + 1
ea e
> + 4
ea ≥
2 2 21 3( ) (4 1) 1 16 7 8 24 4t a a e a a a ea e ea
= − + − + = + − + − +
( ) 32 7 8 8(4 ) 7 0t a a e a e′ = + − = − + >则 3( ) ( ) 04 4
e et a t
−∴ ≥ = >
( )4 = ( ) 0h a t a′∴ >
1 1( ) 1 ( 1) 1 0eh e a ae e
+′ = − + = −
( )h x′ [ ),e +∞
( ),4e a ( )0 ,4x e a∈ ( )0 0h x′ =
0e x x< < ( )' 0h x < 0e x x< < ( ) ( ) 0h x h e< =
a , 1
e
e
−∞ +
1C sin 24
πρ θ + = 2C 3 cos (
sin
x
y
θ θ
θ
= =
为参数） O
x
1C 2C
2C M 1C d d M
2 0x y+ − =
2
2
3 1x y+ = 3 12 2; ,2 2M − −
1 : sin( ) 2, sin cos 24C
πρ θ ρ θ ρ θ+ = + =即
1 : 2 0C x y+ − =
2
cos3 cos: 3sin sin
xxC
y y
θθ
θ θ
= = ⇒ = =
2 2sin cos 1θ θ+ =则
（Ⅱ）方法一：（利用椭圆的参数方程）
设椭圆
则点 到曲线 的距离：
当
此时，
所以
方法二：（利用平行相切）
设
联立方程组
由 ，得
则直线 都和椭圆 相切
则 即为直线 的距离
即
此时，
则 ，故点
23．已知函数 .
（I）当 时，求不等式 的解集；
2
2
2 3: 1xC y+ =
2 ( 3 cos ,sin ),(0 2 )C M α α α π≤
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