高三第三次月考理科数学试卷 第 1 页(共 2 页)
银川一中 2020 届高三年级第三次月考
理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 CRA=
A． B． C． D．
2．设 是虚数单位，如果复数 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 的值为
A． B． C． D．
3．若向量 =（0，-2）， =（ ，1），则与 共线的向量可以是
A．（ ，-1） B．（-1， ） C．（ ，-1） D．（ ）
4．设 ， ，那么“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
A．2 B．3
C．2 D．2
6．等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，则当 时， 的最
小值与最大值的比值为
A． B． C． D．
7．某汽车公司的 A,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若 A 厂每小时可装配 1
辆甲型车和 2 辆乙型车,B 厂每小时可装配 3 辆甲型车和 1 辆乙型车.现要装配 40 辆甲型
车和 40 辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为
A．16,8 B．15,9
C．17,7 D．14,10
8．已知正数 满足 ，则 的最小值为
A．5 B． C． D．2
9．已知函数 ，把函数 的图象向右平移 个单位，再把图象的
横坐标缩小到原来的一半，得到函数 的图象，当 时，方程
有两个不同的实根，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
10．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
A． B． C． D．
11．甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;甲的
年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是
A．甲是教师,乙是医生,丙是记者 B．甲是医生,乙是记者,丙是教师
C．甲是医生,乙是教师,丙是记者 D．甲是记者,乙是医生,丙是教师
12．已知定义在 上的连续奇函数 的导函数为 ，当 时， ，
则使得 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
a b R∈ 1a
b
> 0a b> >
2
2 3
{ }05| 2 >−= xxxA
{ }50| ≤≤ xx { }0| xx { }05| ≤≤− xx
i 2
a i
i
−
+ a
3 1
3
1
3
− 3−
m n 3 nm +2
3 3 3− 3,1 −−
{ }na 3
2
1
2
− n nS *n N∈ 1
n
n
S S
−
12
5−
10
7−
10
9
12
5
,x y 1=+ yx 1 4
1x y
+ +
3
14 9
2
( ) 3sin cosf x x x= + ( )f x 3
π
( )g x 0, 2x
π ∈ ( ) 0g x k− =
k
1, 3 )3,2 [ ]1,2 [ )1,2
12017 − 12018 − 12019 − 12020 −
R ( )f x ( )f x′ 0x > ( ) ( )
0f xf x x
′ + >
( ) ( ) ( )2 2 1 3 3 1 0xf x x f x+ − − > x
( )1,+∞ ( )11, 1,5
− +∞
1 ,15
( ),1−∞
开始 n=1,s=0 1
1
++
+=
nn
ss
n=n+1
n ( )1,3−
( )2 0f x− <
31 =1 3 3 21 +2 =3 3 3 3 21 +2 +3 =6 3 3 3 3 21 +2 +3 +4 =10
3 3 3 31 +2 +3 +n =
( ) sin( )( 0, 0)6f x A x A
πω ω= − > >
2
1
)80(53
≤≤+= xx
kp
ABCD 7 , 2 ,AC CD AD= =
2 .3ADC
π∠ =
CAD∠
2BAC CAD∠ = ∠ ABC ACD AB
{ }na 1 52, 512, na a T= = { }2log na
{ }na
nT
2013
1011)11()11)(11(
32
>−−−
nTTT
( ) ln 3f x a x ax= − − ( 0)a ≠
( )f x
( ) ( 1) 4 0f x a x e+ + + − ≤ 2[ , ]x e e∈ a e
2 2 2 2
1 1 1 1ln( 1) ln( 1) ln( 1) ... ln( 1) 12 3 4 n
+ + + + + + + + < *( 2, )n n N≥ ∈
xOy C
ϕ=
ϕ+=
sin
cos1
y
x ϕ O
x
C
l 2 sin( ) 3 33
πρ θ + = : 3OM
πθ = C
,O P l Q PQ
|1|)( −= xxf
( ) ( 4) 8f x f x+ + ≥
| | 1, | | 1, 0a b a< < ≠ )(||)( a
bfaabf >
3
π−
1−
1
x2
3
πO
y高三第三次月考理科数学试卷 第 3 页(共 2 页)
银川一中 2020 届高三年级第三次月考（理科）参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A B B D B A C D D C C
二、填空题：
13． 14． 15. 16.
三、解答题：
17．解：(1)由题意得 则 -----------------------------------2 分
又当 n≥2 时,由 a n+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得 an+1=3an,-------4 分
所以数列{a n}是以 1 为首项,公比为 3 的等比数列,所以 a n=3n-1,n∈N *.---6 分
(2)记 Sn=(a1-1-2)+(a2-2-2)+(a3-3-2)+……+(a n-n-2) ------8 分
=(a1+a2+……+a n)-[3+4+5+……+(n+2)] ------10 分
= -----12 分
18．解(1)根据题意，距离为 1km 时，测算宿舍建造费用为 100 万元
-------------3 分
-------------6 分
(2) =75 -------------8 分
当且仅当 即 x＝5 时 -------------11 分
答：宿舍应建在离厂 5km 处可使总费用 f(x)最小为 75 万元. ------12 分
19.（Ⅰ）在△ 中，设 ，
由余弦定理得 ，-----------------2 分
整理得 ，解得 .
所以 ---------------------------------------------------4 分
由正弦定理得 ，解得
.......................6 分
（Ⅱ）由已知得 ，
所以 ，
化简得
------------------------------8 分
所以
于是 --------------------------------------------------10 分
因为 ，且 为锐角，
所以 .----------------------------12 分
因此 ...............12 分
20．
}2
1
2
3|{ >−< xxx 或
4
)1( 22 +nn
2
31− π+ )2
2
3
1(
1 2
2 1
a a 4,
a 2a 1,
+ = = +
1
2
a 1,
a 3.
= =
2
513
2
5
2
13
2
)23(
31
31 22 nnnnnn nnn −−−=+−−=++−−
−
800,513100 =∴+×= kk
80,6553
800)( ≤≤+++=∴ xxxxf
5805)53(253
800)( −≥−+++= xxxf
)53(253
800 +=+ xx 75)( min =xf
ACD ( 0)AD x x= >
2 2 27= 4 2 2 cos 3x x x x+ − × ⋅ π
27 7x = 1x =
1, 2.AD CD= =
2sin sin 3
DC AC
DAC
=∠ π
21sin .7DAC∠ =
4ABC ACDS S∆ ∆=
1 1sin 4 sin2 2AB AC BAC AD AC CAD⋅ ⋅ ∠ = × ⋅ ⋅ ∠
sin 4 sin .AB BAC AD CAD⋅ ∠ = ⋅ ∠
2sin cos 4 sin ,AB CAD CAD AD CAD⋅ ∠ ⋅ ∠ = ⋅ ∠
cos 2 .AB CAD AD⋅ ∠ =
21sin 7CAD∠ = CAD∠
2 2 7cos 1 sin 7CAD CAD∠ = − ∠ =
7.AB =高三第三次月考理科数学试卷 第 4 页(共 2 页)
21．解：（1）函数的定义域为 ， , 2 分
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 3 分
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 4 分
（2）令 ,
则 ，令 ，则 5 分
（a）若 ,即 则 在 是增函数,
无解. 6 分
（b）若 即 ，则 在 是减函数,
所以 7 分
（c）若 ,即 ， 在 是减函数, 在 是增函数,
可得 可得
所以
综上所述 8 分
（3）令 （或 ）此时 ，所以 ，
由（1）知 在 上单调递增，∴当 时， 即
，∴ 对一切 成立， 9 分
∵ ，则有 ， 10 分
所以
12 分
22.(1)曲线 的普通方程为 ，
极坐标方程为 ------4 分
(2)设 ，则有 解得 --6 分
设 ，则有 解得 --8 分
所以 . --10 分
23.解：（1）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝{－2x－2，x＜－3，
4，－3 ≤ x ≤ 1，
2x＋2，x＞1．
当 x＜－3 时，由－2x－2≥8，解得 x≤－5；
当－3≤x≤1 时，f(x)≤8 不成立；
当 x＞1 时，由 2x＋2≥8，解得 x≥3．……………………………………………4 分
所以，不等式 f(x)≤4 的解集为{x|x≤－5，或 x≥3}．……………………………5 分
（2）f(ab)＞|a|f(b
a)，即|ab－1|＞|a－b|． …………………………………………6 分
∵因为|a|＜1，|b|＜1，
∴|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以，|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．…………………………………10 分
' (1 )( ) a xf x x
−=
0a > ( )f x (0,1] [1, )+∞
0a < ( )f x [1, )+∞ (0,1]
( ) ln 3 ( 1) 4 ln 1F x a x ax a x e a x x e= − − + + + − = + + −
' ( ) a xF x x
+= ' ( ) 0a xF x x
+= = x a= −
a e− ≤ a e≥ − ( )F x 2[ , ]e e
2 2
max( ) ( ) 2 1 0F x F e a e e= = + + − ≤
2 1
2
e ea
− −≤
2a e− ≥ 2a e≤ − ( )F x 2[ , ]e e
max( ) ( ) 1 0F x F e a= = + ≤ 1a ≤ − 2a e≤ −
2e a e< − < 2e a e− < < − ( )F x [ , ]e a− 2[ , ]a e−
2 2( ) 2 1 0F e a e e= + + − ≤
2 1
2
e ea
− −≤ ( ) 1 0F e a= + ≤ 1a ≤ −
2
2 1
2
e ee a
− −− ≤ ≤
2 1
2
e ea
− −≤
1a = − 1a = ( ) ln 3f x x x= − + − (1) 2f = −
( ) ln 3f x x x= − + − [1, )+∞ (1, )x∈ +∞ ( ) (1)f x f>
ln 1 0x x− + − > ln 1x x< − (1, )x∈ +∞
*2,n n N≥ ∈ 2 2
1 1 1 1 1ln( 1) ( 1) 1n n n n n n
+ < < = −− −
2 2 2 2
1 1 1 1ln( 1) ln( 1) ln( 1) ... ln( 1)2 3 4 n
+ + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ...( )2 2 3 3 4 1n n
< − + − + − + −−
11 1n
= − <
C 2 2( 1) 1x y− + =
2cosρ θ=
1 1( , )P ρ θ
2cos
3
ρ θ
πθ
= =
1 11, 3
πρ θ= =
2 2( , )Q ρ θ
2 sin( ) 3 33
3
πρ θ
πθ
+ =
=
2 23, 3
πρ θ= =
2PQ =
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