高三第三次月考文科数学试卷 第 1 页(共 2 页)
银川一中 2020 届高三年级第三次月考
文 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 CRA=
A． B． C． D．
2．设复数 z 满足 z（2-i）=1+i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭的虚部为
A． B． C． D．
3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的
A．4 B．13
C．40 D．41
4．已知等差数列{an},若 a2=10,a5=1,则{an}的前 7 项和为
A．112 B．51 C．28 D．18
5．已知 ， ， ，若 ，则 =
A．-5 B．5 C．1 D．-1
6．甲、乙、丙三人参加银川一中招聘老师面试，最终只有一人能够被银川一中录用，得到面
试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”。若这三人
中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是
A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了
7．已知
A． B． C． D．
8．若 ，则 的最小值为
A．4 B．5 C．7 D．6
9．已知 m, n 是空间中两条不同的直线，α，β 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正
确的是
A． B．
C． D．若 ，则
10．在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是侧面 AA1D1D 与底面 ABCD 的
中心，则下列说法错误的个数为
①DF∥平面 D1EB1； ②异面直线 DF 与 B1C 所成的角为 600；
③ED1 与平面 B1DC 垂直; ④
A． 0 B．1 C．2 D．3
11．已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为
A． B．
C． D
12．黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为 36°，底角为 72°，底与腰的长度比值约为
0.618，这一数值也可以表示为 m=2cos72°，若 n=cos360cos720cos1440，则 mn=
A．-1 B． Ｃ． Ｄ．1
二．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为________.
14．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
15．已知数列 满足 Sn=n2+2n+1，则 an=________.
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何
体的内切球的半径为______．
{ }na
{ }05| 2 >−= xxxA
{ }50| ≤≤ xx { }0| xx { }05| ≤≤− xx
5
3
5
3− i5
3 i5
3−
B =
)3,2(=a )1,( −= mmb )3,(mc = ba // cb ⋅
3tan 3, cos( 2 )2
πθ θ= + =则
4
5
− 3
5
− 4
5
3
5
0, 0, 2 1m n m n> > + = 1 1m
m n
++
,m mα β⊂ ⊥若 则 , ,m n m nα β⊂ ⊂ ⊥若 则
, ,m n m nα β α= ⊥ ⊥若 则 β⊥α⊄ mm , α//m
1
1
12F CDBV − =
( )f x 0x > ( ) ( ) 0f x f x′ − >
2 3(2) (3)e f e f> ( ) ( )2 33 2e f e f<
( ) ( )3 22 3e f e f< ( ) ( )2 32 3e f e f<
8
1
8
1-
x y
2 4 0,
1 0,
2 1 0,
x y
x y
x y
+ − ≤
− − ≤
+ + ≥
2z x y= − +高三第三次月考文科数学试卷 第 2 页(共 2 页)
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．(12 分)
如图， 是正方形， 是正方形的中心，
平面 ， 是 的中点。
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证：平面 ⊥平面 .
18．（12 分）
在数列 中，已知 ．
（1）求数列 ,{bn}的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
19．（12 分）
如图所示，在 ΔABC 中， ， ， ，
（1）求证：ΔABD 是等腰三角形;
（2）求 的值以及 的面积.
20．（12 分）
如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠BAC= ，AA1 丄平面 ABC，AB=AC，E 是线段 BB1
上的动点，D 是线段 BC 的中点。
(1)证明：AD 丄 C1E；
(2)若 AB = 2, AA1= ,且直线 AC、C1E 所成角的余弦值为 ,
试指出点 E 在线段 BB1 上的位置，并求三棱锥 B1-A1DE 的体积.
21．(12 分)
已知函数 ．
（1）设 是函数 的极值点，求 的值，并求 的单调区间；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围．
(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一
题记分.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程 （ 为参数）．以 为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程是 ，射线 与曲线 的交点
为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长．
23．[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数
（1）解不等式 ；
（2）若 ，求证： .
ABCD O
PO ⊥ ABCD E PC
PA BDE
PAC BDE
{ }na ( )∗+ ∈=+== Nnaba
aa nn
n
n
4
1
1
1 log32,4
1,4
1
{ }na
{ }nc nnn bac += { }nc n nS
3
2π=B ( )10 高三第三次月考文科数学试卷 第 3 页(共 2 页)
高三第二次月考文科数学试卷答案
1-5 DBCCA 6-10 CBCDA 11．C 12．B
13． 2x-y-2=0 14． 7 15． 16． 20
简答题：
17、解： (1)证明 连接 OE，如图所示．
∵O、E 分别为 AC、PC 的中点，∴OE∥PA．
∵OE⊂面 BDE，PA⊄面 BDE，
∴PA∥面 BDE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
(2)证明 ∵PO⊥面 ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形 ABCD 中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面 PAC．
又∵BD⊂面 BDE，∴面 PAC⊥面 BDE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
18．试题解析：（1） ,∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ．
因为 ，所以 ．
（2）由（1）知， , 所以
所以
．
19[解析]
20．【详解】
（1）根据图象可知
代入 得， ，
把函数 的图像向右平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位，得到函数
，设 ，则 ，
此时 ，所以值域为 ．
（2）由（1）可知
对任意 都有 恒成立 令 ，
4
11 =+
n
n
a
a }{ na
4
1
4
1
*)()4
1( Nna n
n ∈=
2log3
4
1 −= nn ab 232)4
1(log3
4
1 −=−= nb n
n
23,)4
1( −== nba n
n
n ,)4
1()23( n
n nc +−=
,)4
1()23()4
1)53()4
1(7)4
1(44
11 132 nn
n nnS +−+(+−+++++++= −
])4
1()4
1)4
1()4
1(4
1[)]23()53(741[ 132 nnnn +(++++++−+−++++= −
n
n
nnnn )4
1(3
1
3
1
2
3
4
11
])4
1(1[4
1
2
)231( 2
⋅−+−=
−
−
+−+=
3
2
π
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2
1 3, 1, sin sin ,
sin 1sin , 0 , ,2 3 6
2 ,3 6 6
52 1 ,6
52 cos 6
313 3 2 3 2
AD BDABD BD B BAD
BD BBAD BAD BADAD
ADB ABD
ADC ACD
AD CD AD CD
CD CD
CD
π π
π π ππ
π
π
∆ = = ∠
×∠ = = < ∠ < ∴∠ =
∴∠ = − − = ∴∆
∠ = ∆
= + −
= + − × × −
+
证明: 在 中, AD= 由正弦定理
是等腰三角形
由 知, AB=BD=1, 在 中,
AC
3 10 0, 5(
1.3
1 1 3 3 3sin 1 3 .2 2 2 4ABC
CD CD
S AB BC B
λ
∆
− = = −
∴
∴ = × × = × × × =
解得 舍去) , CD=2
BC=BD+CD=3, =
1 71, 4 12 3A T
π π= = − 2, 2, ( ) sin(2 )T f x xT
ππ ω ϕ∴ = ∴ = = = +
7 , 112
π −
7sin 1, 2 ,6 3k k Z
π πϕ ϕ π + = − = + ∈ | | , 0,2 3k
π πϕ ϕ< ∴ = =
( ) sin 2 3f x x
π ∴ = +
( )f x
4
π ( )g x
( ) sin 2 1 sin 2 14 3 6g x x x
π π π ∴ = − + − = − − 2 6t x
π= − 5,3 4t
π π ∈
sint 2 ,12
∈ −
2 1,02
− −
( ) sin 2 [ 1,1]3f x x
π = + ∈ − ( ) ( ) 3 [ 4, 2]F x f x= − ∈ − −
x 2 ( ) (2 ) ( ) 2 0F x m F x m− + + + ≤ ( ) [ 4, 2]t F x= ∈ − −高三第三次月考文科数学试卷 第 4 页(共 2 页)
，是关于 的二次函数，开口向上 则 恒成立
而 的最大值，在 或 时取到最大值
则 ， ，
解得 所以 ，则 的最大值为 ．
21．【详解】（1）由题意，函数 ，
则 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，故 ，
即 ，令 ，解得 或
．
令 ，解得 ,
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又 ，所以 恒成立；
当 时，易知 在 上单调递增，
故存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，则 ，这与 恒成立矛盾．
综上， ．
22．(1)曲线 的普通方程为 ，极坐标方程为 ------4 分
(2)设 ，则有 解得 -------6 分
设 ，则有 解得 --------8 分
所以 ． --10 分
23．（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，
∴要使|x﹣m|+|x|＜2 有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．
∵m∈N*，∴m=1．（5 分）
（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，
∴α+β=2．
∴ + = = ≥
= ，当且仅当 α=2β= 时取等号．（10 分）
银川一中 2020 届高三年级第三次月考（文科）参考答案
2( ) (2 ) 2h t t m t m= − + + + t max( ) 0h t ≤
( )h t 4t = − 2t = −
( 2) 0
( 4) 0
h
h
− ≤
− ≤
4 (2 )( 2) 2 0
16 (2 )( 4) 2 0
m m
m m
− + − + + ≤
− + − + + ≤
10
3
26
5
m
m
≤ −
≤ −
26
5m ≤ − m 26
5
−
( ) ( )21 1ln 1 ( 0)2 2f x x x m x m x= + − + + + >
( ) 1 1f x x mx
′ = + − −
2x = ( )f x ( ) 12 2 1 02f m+′ = − − = 3
2m =
( ) 1 5
2f x x x
= + −′ ( ) 21 5 2 5 2 02 2
x xf x x x x
− +′ = + − = > 10 2x< <
2x >
( ) 22 5 2 02
x xf x x
′ − += < 1 22 x< <
( )f x 10, 2
( )2,+∞ 1 ,22
( ) 1 1f x x mx
′ = + − −
1m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,+∞
( )1 0f = ( )21 1ln 1 02 2x x m x m+ − + + + >
1m > ( ) 1 1f x x mx
′ = + − − ( )1,+∞
( )0 1,x ∈ +∞ ( )0 0f x′ =
( )f x ( )01, x ( )0 ,x +∞
( )1 0f = ( )0 0f x < ( ) 0f x >
1m ≤
C 2 2( 1) 1x y− + = 2cosρ θ=
1 1( , )P ρ θ 2cos
3
ρ θ
πθ
= =
1 11, 3
πρ θ= =
2 2( , )Q ρ θ
2 sin( ) 3 33
3
πρ θ
πθ
+ =
=
2 23, 3
πρ θ= =
2PQ =高三第三次月考文科数学试卷 第 5 页(共 2 页)
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C C A C D C D A C C
二、填空题：
13. 2x-y-2=0 14. 7 15. 16.
三、简答题：
17、解： (1)证明 连接 OE，如图所示．
∵O、E 分别为 AC、PC 的中点，∴OE∥PA.
∵OE 面 BDE，PA 面 BDE， ∴PA∥面 BDE............................................6 分
(2)证明 ∵PO⊥面 ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形 ABCD 中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面 PAC.
又∵BD 面 BDE，∴面 PAC⊥面 BDE......................12 分
18.试题解析：（1） ,∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ . 因为 ，所以 .
（2）由（1）知， , 所以
所以
.
19．
20.解析：（Ⅰ）因为 ，所以 平面 .
而 平面 ,所以平面 平面 . ………2 分
因为线段 的中点为 ，且
而 ,
. ，
（Ⅱ） ， . ，即 .又 ，
所以 ，故 ，所以 .
在三棱柱 中， ，直线 所成角的余弦为 ，
则在 中， ， ，所以 .………7 分
在 中， ，所以 .因为 ，所以点 是线段
4
11 =+
n
n
a
a }{ na 4
1
4
1
*)()4
1( Nna n
n ∈= 2log3
4
1 −= nn ab 232)4
1(log3
4
1 −=−= nb n
n
23,)4
1( −== nba n
n
n ,)4
1()23( n
n nc +−=
,)4
1()23()4
1)53()4
1(7)4
1(44
11 132 nn
n nnS +−+(+−+++++++= −
])4
1()4
1)4
1()4
1(4
1[)]23()53(741[ 132 nnnn +(++++++−+−++++= −
n
n
nnnn )4
1(3
1
3
1
2
3
4
11
])4
1(1[4
1
2
)231( 2
⋅−+−=
−
−
+−+=
1AA ABC⊥ 平面 ⊥1CC ABC
⊂1CC 11BBCC ⊥ABC 11BBCC
BC D .ABC AD BC∆ ⊥是等腰三角形，所以
BCCCBBABCABCAD =∩⊂ 11, 平面平面平面
1 1AD CBB C⊥所以 平面 1 1 1C E CBB C⊂又因为 面 1 .AD C E⊥所以
1AA ABC⊥ 平面 1AA AC⊥则 90BAC∠ = AC AB⊥ AB AC A∩ =
1 1AC ABB A⊥ 平面 1 1 1 1AC ABB A⊥ 平面 1 1A EC∆ 是直角三角形
1 1 1ABC A B C− 1 1/ /AC AC 1AC C E、 1
2
11ECARt∆ 1 1
1cos 2AC E∠ = 1 1 2AC AC= = 1 2 3A E =
EBARt 11∆ 1 1 2A B = 1 2 2B E = 1 3 2AA = E
4( 1)
2 1( 2)n
na n n
== + ≥
4 13−
⊂ ⊄
⊂
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2
1 3, 1, sin sin ,
sin 1sin , 0 , ,2 3 6
2 ,3 6 6
52 1 ,6
52 cos 6
313 3 2 3 2
AD BDABD BD B BAD
BD BBAD BAD BADAD
ADB ABD
ADC ACD
AD CD AD CD
CD CD
CD
π π
π π ππ
π
π
∆ = = ∠
×∠ = = < ∠ < ∴∠ =
∴∠ = − − = ∴∆
∠ = ∆
= + −
= + − × × −
+
证明: 在 中, AD= 由正弦定理
是等腰三角形
由 知, AB=BD=1, 在 中,
AC
3 10 0, 5(
1.3
1 1 3 3 3sin 1 3 .2 2 2 4ABC
CD CD
S AB BC B
λ
∆
− = = −
∴
∴ = × × = × × × =
解得 舍去) , CD=2
BC=BD+CD=3, =高三第三次月考文科数学试卷 第 6 页(共 2 页)
的靠近点 的三等分点.
因为
所以 = =
21.（1）由题意，函数 ，
则 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，故 ，
即 ，令 ，解得 或 .
令 ，解得 ,
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又 ，所以 恒成立；
当 时，易知 在 上单调递增，
故存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，则 ，这与 恒成立矛盾.
综上， .
22.(1)曲线 的普通方程为 ，
极坐标方程为 ------4 分
(2)设 ，则有 解得 --6 分
设 ，则有 解得 --8 分
所以 . --10 分
23.解：（1）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝{－2x－2，x＜－3，
4，－3 ≤ x ≤ 1，
2x＋2，x＞1．
当 x＜－3 时，由－2x－2≥8，解得 x≤－5；
当－3≤x≤1 时，f(x)≤8 不成立；
当 x＞1 时，由 2x＋2≥8，解得 x≥3．……………………………………………4 分
所以，不等式 f(x)≤4 的解集为{x|x≤－5，或 x≥3}．……………………………5 分
（2）f(ab)＞|a|f(b
a)，即|ab－1|＞|a－b|． …………………………………………6 分
∵因为|a|＜1，|b|＜1，
∴|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以，|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．…………………………………10 分
1BB B
,3
2422222
1
3
1
3
1
11111
=××××=⋅= ∆− CASV EBAEBAC
1 1B A DEV − 1 1D A B EV −
1 1
1
2 C A B EV − .3
22=
( ) ( )21 1ln 1 ( 0)2 2f x x x m x m x= + − + + + >
( ) 1 1f x x mx
′ = + − −
2x = ( )f x ( ) 12 2 1 02f m+′ = − − = 3
2m =
( ) 1 5
2f x x x
= + −′ ( ) 21 5 2 5 2 02 2
x xf x x x x
− +′ = + − = > 10 2x< < 2x >
( ) 22 5 2 02
x xf x x
′ − += < 1 22 x< <
( )f x 10, 2
( )2,+∞ 1 ,22
( ) 1 1f x x mx
′ = + − −
1m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,+∞
( )1 0f = ( )21 1ln 1 02 2x x m x m+ − + + + >
1m > ( ) 1 1f x x mx
′ = + − − ( )1,+∞
( )0 1,x ∈ +∞ ( )0 0f x′ =
( )f x ( )01, x ( )0 ,x +∞
( )1 0f = ( )0 0f x < ( ) 0f x >
1m ≤
C 2 2( 1) 1x y− + =
2cosρ θ=
1 1( , )P ρ θ
2cos
3
ρ θ
πθ
= =
1 11, 3
πρ θ= =
2 2( , )Q ρ θ
2 sin( ) 3 33
3
πρ θ
πθ
+ =
=
2 23, 3
πρ θ= =
2PQ =
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