理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合 , ，若 ，则
A． B． C． D．
2．设复数 , 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则
A．10 B． C． D．-10
3．已知向量 ，若 ，则
A． B．1 C．2 D．3
4．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的公差为
A． B． C． D．
5．已知 ， 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C. 若 ，则
D．若 ， ，且 ，则
6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话
剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在
周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，
那么下列说法正确的是
A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或周四上演
C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都有可能在周二上演
7．函数 （其中 e 为自然对数的底数）图象的大致形状是
{1,2,4}A = 2{ | 4 0}B x x x m= − + = }1{=BA B =
{ }1, 3− { }1,0 { }1,3 { }1,5
1z 2z 1 3z i= + 1 2z z =
9 i− − 9 i− +
)4,(),3,2( xba == )( baa −⊥ x =
2
1
{ }na n nS 3 6 23a a+ = 5 35S = { }na
2 3 6 9
m n α β
βαβα //,, ⊂⊂ nm nm// βαα //,⊂m β//m
βαβ ⊥⊥ ,n α//n
βα ⊂⊂ nm , l=βα lnlm ⊥⊥ , βα ⊥
xexf x cos)11
2()( −+= A B C D
8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“ 优选法”在生产和
科研实践中得到了非常广泛的应用， 就是黄金分割比 的近似值，黄金分
割比还可以表示成 ，则
A． B． C． D．
9．已知 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 3，
则实数 m 的值为
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，
侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接
球的表面积为
A． B． C． D．
11．已知函数 在区间 上是增函数，
且在区间 上恰好取得一次最大值，则 的范围是
A． B． C． D．
12．若 均为任意实数，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13． 的内角 的对边分别为 ，若 ，
则 __________．
14．已知函数 ,若 ,则 __________．
15．已知函数 ，且 ，则
_______．
16．已知四边形 ABCD 为矩形，AB=2AD=4，M 为 AB 的中点，将 沿 DM 折起，得到四棱锥
1)1ln()( 2 +++= xxxf 2)( =af =− )( af
0.618
0.618 5 1
2m
−=
2sin18° 2
2
4
2cos 27 1
m m− =°−
4 5 1+ 2 5 1−
yx,
≤+
≤−−
≥++
0
02
02
my
yx
yx
yxz −= 2
19
3
π
8π 9π 20
3
π
)0(sin)42(cossin2)( 22 >−−= ωωπωω xxxxf ]6
5,3
2[
ππ−
],0[ π ω
]5
3,0( ]5
3,2
1[ ]4
3,2
1[ )2
5,2
1[
, ,x a b 2 2( 2) ( 3) 1a b+ + − = 2 2( ) (ln )x a x b− + −
3 2 18 3 2 1− 19 6 2−
ABC∆ CBA ,, cba ,, 1,13
5cos,5
4cos === aBA
=b
2( ) cos( )f n n nπ= ( ) ( 1)na f n f n= + + 1 2 20...a a a+ + + =
ADM∆，设 的中点为 N，在翻折过程中，得到如下三个命题：
① ，且 的长度为定值 ；
②三棱锥 的体积最大值为 ；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得
其中正确命题的序号为__________．
三、解答题：共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第 17～21 题为必考题，
第 22、23 题为选考题.
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）
已知函数 ， ， ， ． 的部分图像，
如图所示， 、 分别为该图像的最高点和最低点，
点 的坐标为 ．
（1）求 的最小正周期及 的值；
（2）若点 的坐标为 ， ，求 的值．
18.（12 分）
已知数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；
（2）设 ，求 .
19．（12 分）
如图，菱形 的边长为 ， ， 与 交于 点．将菱形
沿对角线 折起，得到三棱锥 ，
点 是棱 的中点， ．
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
20．（12 分）
DMBCA −1 CA1
DMA// 1平面BN BN 5
DMCN −
3
22
CADM 1⊥
( ) sin ( )3f x A x
π ϕ= + x R∈ 0A > 0 2
πϕ< < ( )y f x=
P Q
P (1, )A
( )f x ϕ
R (1,0) 2
3PRQ
π∠ = A
}{ na )1(2)1(,2 11 +++== + nnSnnSa nn
}{ n
Sn }{ na
naaaabn 2842 +⋅⋅⋅+++= nb
ABCD 12 60BAD∠ = AC BD O ABCD
AC B ACD−
M BC 6 2DM =
ODM ABC
M AD C− −
x
y
O
P
R
Q如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形，
∥ ， ，且 ， ， 是棱 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（3）设点 是线段 上的动点， 与平面 所成的角为 ，
求 的最大值．
21． （12 分）
已知函数
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第
一题记分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 圆 ： ( 为 参 数 ) ， 点 在 直 线 ：
上，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求圆 和直线 的极坐标方程；
（2）射线 交圆 于 ，点 在射线 上，且满足 ，求 点轨迹
的极坐标方程．
23．[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 ， .
（1）若关于 x 的不等式 的整数解有且仅有一个值 ，当 时，求不等式
的解集；
（2）若 ，若 ，使得 成立，求实数 k 的
取值范围.
S ABCD− SA ⊥ ABCD ABCD AD
BC AB AD⊥ 2SA AB BC= = = 1AD = M SB
AM SCD
SCD SAB
N CD MN SAB θ
sinθ
)()1()( 2 Raxaxexf x ∈++=
xOy C 2cos
2sin
x
y
θ
θ
=
=
θ P l
4 0x y+ − = x
C l
OP C R Q OP 2OP OR OQ= ⋅ Q
| 2|f x x k x k R= − + + ∈（ ） （ ） | 2 |g x x m m Z= + ∈（ ） （ ）
1g x ≤（ ） 4− 2k =
f x m≤（ ）
2 2 3h x x x= − +（ ） 1 2 0x R x∀ ∈ ∃ ∈ +， （ ， ）∞ 1 2f x h x≥（ ） （ ）（理科）参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A B B C A C C A B D
二、填空题：
13． 14．0 15. -20 16.
三、解答题：
17.（1）解：由题意得，
………2 分
因为 在 的图象上，
所以 ………4 分
又因为 ，所以
………6 分
（ 2 ） 解 ： 设 点 Q 的 坐 标 为 ， 由 题 意 可 知 ， 得
………8 分
连接 PQ，在 ，由余弦定理得
………10 分
解得 又
………12 分
18． 解：（1）由
得 ， ……3 分
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，即 ，
………4 分
当 时， ，由于 也满足此式，
所以 的通项公式 ． ………6 分
13
20
2 6.
3
T
π
π= =
),1( AP )3sin( ϕπ += xAy
1)3sin( =+ϕπ
0 2
πϕ< <
6
πϕ =
0( , )x A− 0
3
3 6 2x
π π π+ =
0 4, (4, )x Q A= −所以
2, 3PRQ PRQ
π∆ ∠ =中
2 2 2 2 2 2
2
9 (9 4 ) 1cos .2 22 9
RP RQ PQ A A APRQ RP RQ A A
+ − + + − +∠ = = = −⋅ ⋅ +
2 3.A = 0, 3.A A> =所以
( ) ( )1 1 2 1n nnS n S n n+ = + + +
1 21
n nS S
n n
+ − =+
nS
n
2 2
( )2 2 1 2nS n nn
= + − = 22nS n=
2n ≥ ( )22
1 2 2 1 4 2n n na S S n n n−= − = − − = − 1 2a =
{ }na 4 2na n= −（2）由 得 ， 所以 ………8 分
… …
… ． ……12 分
19.解：（1）证明： 是菱形，
, ………1 分
中， ,
又 是 中点，
………3 分
面 面 ………5 分
又 平面
平面 ⊥平面 ………6 分
（2）由题意， , 又由（Ⅰ）知 建立如图所示空间
直角坐标系，由条件易知
……7 分
故 设平面 的法向量 ，则
即 令 ，则
所以， ………9 分
由条件易证 平面 ，故取其法向量为 ………10 分
所以，
………11
分
由图知二面角 为锐二面角，故其余弦值为 ………
12 分
20．解：（1）以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
， ………1 分
设平面 的一个法向量为
ABCD
OD AC⊥
ADC∆ 12, 120AD DC ADC= = ∠ = ∴ 6OD =
M BC
,OM AC ⊂ , ,ABC OM AC O OD= ∴ ⊥ ABC
4 2na n= − 2
2 4 2 2 2 2n
n na += × − = −
2 4 8nb a a a= + + +
2na+ ( ) ( ) ( )3 4 52 2 2 2 2 2= − + − + − + ( )22 2n++ −
( 3 4 52 2 2= + + + )22 2n n++ −
( )3
32 1 2
2 2 2 81 2
n
nn n+
−
= − = − −−
AD DC∴ =
1 6, 6 22OM AB MD∴ = = =
2 2 2 ,OD OM MD DO OM+ = ∴ ⊥
OD ⊂ ODM
∴ ODM ABC
,OD OC OB OC⊥ ⊥ OB OD⊥
( ) ( ) ( )6,0,0 , 0, 6 3,0 , 0,3 3,3D A M−
)0,36,6(),3,39,0( == ADAM MAD ),,( zyxm =
=⋅
=⋅
0
0
ADm
AMm 9 3 3 0
6 6 3 0
y z
x y
+ =
+ =
3y = − 3, 9x z= =
)9,3,3( −=m
OB ⊥ ACD )1,0,0(=n
31
933
||||
,cos =⋅>=<
nm
nmnm
M AD C− − 3 93
31
A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,2,0 , 2,2,0 , 1,0,0 , 0,0,2 , 0,1,1A B C D S M
( ) ( ) ( )0,1,1 , 1,0, 2 , 1, 2,0AM SD CD∴ = = − = − −
SCD n ( ), ,x y z=则 ，令 ，得 ，
∴ ，即 ………3 分
∵ 平面 ∴ ∥平面 ． ………4 分
（2）取平面 SAB 的一个法向量 ， ………5 分
则
………7 分
∴平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ． …………8 分
（3）设 ，则 ，平面 的一个法向量为
∴
……11 分
当 ，即 时， 取得最大值，且 ． …………12 分
21.解（1） ………1 分
（ⅰ） 时，当 时， ；当 时，
所以 f(x)在 单调递减，在 单调递增； ……2 分
（ⅱ） 时
若 ，则 ，所以 f(x)在 单调递增；……3 分
若 ，则 ，故当 时， ，
， ；所以 f(x)在 单调递增，在
单调递减； ………5 分
若 ，则 ，故当 ， ，
， ；所以 f(x)在 单调递增，在
单调递减； ………6 分
（2）（ⅰ）当 a>0,则由（1）知 f(x)在 单调递减，在 单调递增，
=⋅
=⋅
0
0
nCD
nSD 2 0
2 0
x z
x y
− =∴− − = 1z = )1,1,2( −=n
0=⋅nAM nAM ⊥
AM⊄ SCD AM SCD
)0,0,1(=m
||||
,cos
nm
nmnm
⋅>=< 2 6
31 6
= =
×
SCD SAB 6
3
( ),2 2,0N x x − (1 2)x≤ ≤ )1,32,( −−= xxMN SAB
)0,0,1(=m |,cos|sin > 1)2ln( −
微信/支付宝扫码支付